数学三极坐标计算二重积分(课堂PPT).ppt

CH21-重积分重积分重积分重积分(1)(1)直角坐标下直角坐标下直角坐标下直角坐标下累次积分累次积分累次积分累次积分的计算公式的计算公式的计算公式的计算公式Y Y型型型型X X型型型型知识点回顾知识点回顾确定累次积分限确定累次积分限关键关键关键关键直角坐标系下的直角坐标系下的面积元素面积元素CH21-重积分重积分重积分重积分(2)(2)交换交换交换交换二次积分的积分二次积分的积分二次积分的积分二次积分的积分次序次序次序次序知识点回顾知识点回顾画出积分区域形状，画出积分区域形状，确定新的二次积分限确定新的二次积分限(3)(3)利用对称性和奇偶性利用对称性和奇偶性利用对称性和奇偶性利用对称性和奇偶性化简化简化简化简二重积分二重积分二重积分二重积分关键关键关键关键重要重要重要重要结论结论结论结论CH21-重积分重积分重积分重积分知识点回顾知识点回顾(4)4)应用问题应用问题应用问题应用问题-由曲面所围成的由曲面所围成的由曲面所围成的由曲面所围成的立体体积立体体积立体体积立体体积的计算的计算的计算的计算方法方法方法方法yzxCH21-重积分重积分重积分重积分解解利用极坐标系计算利用极坐标系计算利用极坐标系计算利用极坐标系计算思思考考题题考研考研考研考研填空题填空题填空题填空题CH21-重积分重积分重积分重积分利用极坐标计算利用极坐标计算二重积分二重积分数学三数学三数学三数学三CH21-重积分重积分重积分重积分利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分-249249页页极坐标系下的极坐标系下的极坐标系下的极坐标系下的面积元素面积元素面积元素面积元素的确定的确定的确定的确定主要内容主要内容主要内容主要内容二重积分转化为极坐标形式二重积分转化为极坐标形式二重积分转化为极坐标形式二重积分转化为极坐标形式表达式表达式表达式表达式极坐标系下的二重积分化为极坐标系下的二重积分化为极坐标系下的二重积分化为极坐标系下的二重积分化为累次积分累次积分累次积分累次积分极坐标系下二重积分的极坐标系下二重积分的极坐标系下二重积分的极坐标系下二重积分的-计算方法计算方法计算方法计算方法本节重点本节重点本节重点本节重点本节关键本节关键本节关键本节关键CH21-重积分重积分重积分重积分?极坐标系下的极坐标系下的面积元素面积元素面积元素面积元素如何表示？如何表示？极坐标系下的极坐标系下的区域区域区域区域如何表示？如何表示？一、极坐标系下二重积分的表达式一、极坐标系下二重积分的表达式极坐标系下极坐标系下被积函数被积函数被积函数被积函数如何表示？如何表示？CH21-重积分重积分重积分重积分利用扇形的利用扇形的利用扇形的利用扇形的面积公式面积公式面积公式面积公式（用极坐标曲线划分（用极坐标曲线划分D）面积元素面积元素面积元素面积元素1.1.极坐标系下的极坐标系下的极坐标系下的极坐标系下的面积元素面积元素面积元素面积元素的确定的确定的确定的确定极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积CH21-重积分重积分重积分重积分化边界曲线化边界曲线化边界曲线化边界曲线化化化化被被被被积积积积函函函函数数数数化面积元素化面积元素化面积元素化面积元素应用范围：应用范围：应用范围：应用范围：积分区域为圆域积分区域为圆域积分区域为圆域积分区域为圆域(或一部分或一部分或一部分或一部分)，被积，被积，被积，被积函数含函数含函数含函数含 的用此简便的用此简便的用此简便的用此简便.2.2.二重积分转化为极坐标形式的二重积分转化为极坐标形式的二重积分转化为极坐标形式的二重积分转化为极坐标形式的表达式表达式表达式表达式关键关键关键关键CH21-重积分重积分重积分重积分确定极坐标系下先确定极坐标系下先r后后 积分的方法积分的方法 =-型：型：极坐标系下的累次积分极坐标系下的累次积分极坐标系下区域如图所示：极坐标系下区域如图所示：二、极坐标系下二重积分化累次积分二、极坐标系下二重积分化累次积分方法：方法：方法：方法：三线三线三线三线法法法法CH21-重积分重积分重积分重积分区域特征（一）如图：区域特征（一）如图：区域特征（一）如图：区域特征（一）如图：极点在积分区域外极点在积分区域外二重积分化为二次积分的公式二重积分化为二次积分的公式（）（）251251页页页页CH21-重积分重积分重积分重积分二重积分二重积分化为二次积分的公式化为二次积分的公式（）（）区域特征（二）如图区域特征（二）如图区域特征（二）如图区域特征（二）如图极点在区域极点在区域极点在区域极点在区域 D D 的边界上的边界上的边界上的边界上CH21-重积分重积分重积分重积分二重积分化为二次积分的公式二重积分化为二次积分的公式（）（）区域特征（三）如图区域特征（三）如图区域特征（三）如图区域特征（三）如图极点在区域极点在区域极点在区域极点在区域D D内部内部内部内部CH21-重积分重积分重积分重积分思考思考思考思考:下列各图中区域下列各图中区域下列各图中区域下列各图中区域 D D 分别与分别与分别与分别与 x x,y y 轴相切于原点轴相切于原点轴相切于原点轴相切于原点,试问试问试问试问 的变化范围是什么的变化范围是什么的变化范围是什么的变化范围是什么?答答:(1)(2)CH21-重积分重积分重积分重积分解解例例例例题题题题分分分分析析析析印象印象印象印象复杂复杂复杂复杂问题问题问题问题简单简单简单简单化了！化了！化了！化了！考研考研考研考研填空题填空题填空题填空题CH21-重积分重积分重积分重积分解解例例例例题题题题分分分分析析析析CH21-重积分重积分重积分重积分为极坐标下的二次积分为极坐标下的二次积分.练习练习 化二重积分化二重积分1 1解解 解解 被积函数奇被积函数奇被积函数奇被积函数奇偶不确定偶不确定偶不确定偶不确定CH21-重积分重积分重积分重积分如果积分区域如果积分区域如果积分区域如果积分区域D D为圆、为圆、为圆、为圆、半圆、圆环、扇形域等，或被积函数半圆、圆环、扇形域等，或被积函数半圆、圆环、扇形域等，或被积函数半圆、圆环、扇形域等，或被积函数 f f(x x2 2+y y2 2)形式，利用极坐标常能简化计算形式，利用极坐标常能简化计算形式，利用极坐标常能简化计算形式，利用极坐标常能简化计算.通常出现下面两类问题：通常出现下面两类问题：通常出现下面两类问题：通常出现下面两类问题：1.将直角坐标系下的二重积分转化为将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分，极坐标系下的二重积分，2.将极坐标系下的二重积分转化为直角将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的二重积分坐标系下的二重积分小结小结CH21-重积分重积分重积分重积分解题步骤：解题步骤：1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分，需依下列步骤进行：的二重积分，需依下列步骤进行：(1)将将代入被积函数代入被积函数.(2)将区域将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式，的边界曲线换为极坐标系下的表达式，确定相应的积分限确定相应的积分限-做题关键做题关键做题关键做题关键(3)将面积元将面积元dxdy dxdy 换为换为.2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的二重积分步骤与二重积分步骤与1相似，只需依相似，只需依反方向反方向进行进行.CH21-重积分重积分重积分重积分休息一会儿休息一会儿作业：作业：P254-1,2P254-1,2，CH21-重积分重积分重积分重积分如果积分区域如果积分区域如果积分区域如果积分区域D D为圆、半圆、圆环、扇形域等，为圆、半圆、圆环、扇形域等，为圆、半圆、圆环、扇形域等，为圆、半圆、圆环、扇形域等，或被积函数或被积函数或被积函数或被积函数 f f(x x2 2+y y2 2)形式，形式，形式，形式，利用极坐标常能简化计算利用极坐标常能简化计算利用极坐标常能简化计算利用极坐标常能简化计算.通常出现下面两类问题：通常出现下面两类问题：通常出现下面两类问题：通常出现下面两类问题：1.将直角坐标系下的二重积分转化为将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分，极坐标系下的二重积分，2.将极坐标系下的二重积分转化为直角将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的二重积分坐标系下的二重积分CH21-重积分重积分重积分重积分解题步骤：解题步骤：1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分，需依下列步骤进行：的二重积分，需依下列步骤进行：(1)将将代入被积函数代入被积函数.(2)将区域将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式，的边界曲线换为极坐标系下的表达式，确定相应的积分限确定相应的积分限-做题关键做题关键(3)将面积元将面积元dxdy换为换为.2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的二重积分步骤与二重积分步骤与1相似，只需依反方向进行相似，只需依反方向进行.CH21-重积分重积分重积分重积分解解CH21-重积分重积分重积分重积分解解伯努利双曲线伯努利双曲线伯努利双曲线伯努利双曲线CH21-重积分重积分重积分重积分CH21-重积分重积分重积分重积分例例5 5求球面求球面x2+y2+z2=a2含在圆柱面含在圆柱面x2+y2=ax(a0)内内部的那部分面积部的那部分面积.yzx解：解：A=4A1S:Dxy:x2+y2ax,y0.zyxDxySCH21-重积分重积分重积分重积分解解 由对称性由对称性yzx例例5252-4252-4CH21-重积分重积分重积分重积分解解解解由对称性由对称性CH21-重积分重积分重积分重积分二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用（在积分中注意使用对称性对称性）小结小结CH21-重积分重积分重积分重积分极坐标系下几种形式极坐标系下几种形式CH21-重积分重积分重积分重积分CH21-重积分重积分重积分重积分解法一解法一例例5CH21-重积分重积分重积分重积分例例5解法二解法二CH21-重积分重积分重积分重积分解解的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角故本题无法用直角由于由于坐标计算坐标计算.CH21-重积分重积分重积分重积分注注:利用上例可得到一个在利用上例可得到一个在概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计及工程及工程上非常有用的反常积分公式上非常有用的反常积分公式CH21-重积分重积分重积分重积分解答：解答：思考题思考题CH21-重积分重积分重积分重积分解解CH21-重积分重积分重积分重积分CH21-重积分重积分重积分重积分练练习习题题预习预习预习预习坐标变换坐标变换坐标变换坐标变换 CH21-重积分重积分重积分重积分原式原式思考题思考题思考题解答思考题解答CH21-重积分重积分重积分重积分小结小结1.积分区域的类型；积分区域的类型；2.在直角坐标系下在直角坐标系下化二重积分为二次积分的计算公式化二重积分为二次积分的计算公式3.二重积分的计算二重积分的计算(直角坐标系、极坐标系直角坐标系、极坐标系)关于积分次序的选择关于积分次序的选择交换二次积分的次序交换二次积分的次序利用对称性计算二重积分利用对称性计算二重积分4.二重积分的几何应用二重积分的几何应用CH21-重积分重积分重积分重积分练练习习题题CH21-重积分重积分重积分重积分CH21-重积分重积分重积分重积分CH21-重积分重积分重积分重积分CH21-重积分重积分重积分重积分练习题答案练习题答案CH21-重积分重积分重积分重积分