混凝土材料动态本构特性研究进展.doc

混凝土材料动态本构特性研究进展摘 要：混凝土是一种应用广泛的结构工程材料，其材料组份复杂、变化因素多，因而力学特性也复杂多变。动态/强冲击载荷作用下，还涉及了材料应变率敏感效应和静水压力相关特性等诸多影响因素，使得其本构理论的研究更加困难。本文中，回顾了近20多年来混凝土材料动态力学特性和本构关系研究方面的进展状况，主要总结了一些混凝土材料动态本构特性研究中的经验公式、强度理论和本构模型，并在分析比较的基础上给出了相应的讨论和评述。关键词：混凝土，动态力学特性，动态本构关系，强度理论，损伤与断裂中图分类号：0347 文献标识号：A1. 引言混凝土材料主要是由水硬性材料水泥和粗、细骨料，加水混合，相继经过搅拌均匀、浇注成形、振捣密实和温湿养护等工序后逐渐凝固而成的人工建筑材料。其用于结构工程已有近百年的历史，至今已经成为世界上应用最广泛的结构材料之一，也是安全防护工程中最常用的重要工程材料。实际使用中，不论是民用的还是用于国防建设的，混凝土结构在其工作过程中除了用于承受正常设计载荷（通常是准静态载荷，有时也包括蠕变载荷）外，往往还要承受各种变化急剧的强动载荷，例如爆炸、冲击和撞击等。因此，研究混凝土材料在不同载荷形式（包括准静态、动态和冲击载荷）作用下的力学特性及其本构关系具有十分重要的理论意义和实际指导作用。混凝土是一种非均质、不等向的多相复合材料，其主要组成成分包括了：固体颗粒和硬化水泥砂浆，以及二者之间存在着的大量的微裂纹和微空洞。其中固体颗粒和硬化水泥砂浆的力学性能如应力强度和弹性模量等存在着很大的差异，再加上这些随机分布的微裂纹和微空洞的存在，都决定了混凝土材料力学特性的复杂、多变和离散。同时，在制备和硬化过程中的时间因素和外部环境（如温度、湿度等）条件等，对混凝土材料的力学特性也有不同程度的影响。就准静态载荷情况而言，混凝土材料在简单受力（单向拉伸、压缩）和多轴应力状态下的力学特性及其本构关系的研究已基本完善。学者们在大量实验研究和理论分析的基础上，提出了多种多样的本构模型，根据这些模型对混凝土材料力学特性的概括，可分成4个大类：线弹性模型，非线弹性模型，塑性理论模型，其它理论模型。其中，、类模型是将一些成熟的力学体系（即弹性力学和塑性力学理论等）的观点和方法作为基础，移植到混凝土材料，这方面的工作可参见综述性文献【1】和近期研究文献【2,3,4】；类模型则是借鉴一些新兴的力学分支，如损伤、断裂理论等的概念和方法，结合混凝土材料的特点而提出，有关内容可参见综述性文献【5,6】和近期研究文献【4,79】；类模型主要是依据混凝土材料准静态实验数据和规律，进行总结和回归分析而得到的，具体可参见文献【10,11,12】。一般认为，在动态载荷作用下引起混凝土材料力学特性显著区别于其准静态下情况的主要影响因素是材料的应变率敏感效应。因此，混凝土材料率敏感效应的研究一直都得到了研究者们的重视和关注。早在1917年，Abrams13就对混凝土材料进行了应变率响应为和下的压缩实验，发现混凝土材料抗压强度存在应变率敏感性。从此，学者们对混凝土材料在不同载荷形式作用下的力学特性进行了系统的实验研究，其中也包括了对水泥品种、水灰比、试件湿度、试件制备、养护条件和养护时间以及骨料粒径等影响因素的研究。Bischoff14在分析比较这些实验研究结果的基础上对混凝土材料在高应变率下的抗压特性从各个方面进行了总结性的综述说明。由于受到实验设备和实验技术条件所限，人们对混凝土材料动态拉伸下力学特性的认识相对还比较粗浅，所进行的实验研究也较晚且较少。日本学者竹田仁一等15于1960年最先进行了混凝土材料在快速加载下的直接拉伸实验。当应变率响应为时，抗拉强度提高33%，当应变率响应为时，抗拉强度提高了55%。此后，陆续有人对混凝土材料动态拉伸特性进行了实验研究。通过总结前人的实验研究结果，Malvar16,17在其综述性文献中描述了混凝土材料抗拉强度的应变率敏感性。图118给出了在不同载荷形式（蠕变、准静态、动态和冲击载荷等）作用下材料应变率响应的大致范围。一般来说，随着应变率的提高混凝土材料的抗拉强度和抗压强度都会有明显的增强，并且在同一应变率量级变化范围内抗拉强度的相对增强效果比抗压强度的相对增强效果更显著一些，如图2和图3比较所示。图1不同载荷形式下材料应变率响应图示动态/准静态抗拉强度动态/准静态抗压强度应变率应变率图2相对抗压强度随应变率的变化图3相对抗拉强度随应变率的变化（a）冲击压缩情况 （b）冲击拉伸情况图4混凝土受力状态图Bischoff14，Grote19和Li20等人认为，冲击载荷作用下混凝土材料抗压强度的相对增强很大程度上应归于横向惯性约束作用的存在，这种约束作用是和材料的静水压力特性相关的，而并非完全是由材料率敏感效应引起的。图421给出了冲击载荷作用下混凝土材料的受力状态。冲击压缩载荷作用下，由于惯性效应的影响，在其横向产生了约束作用，如图4(a)所示；而在冲击拉伸载荷作用下，由于惯性效应的影响，在其横向产生了拉伸作用，如图4(b)所示。由此可见，与冲击压缩不同，冲击拉伸作用下横向惯性效应不可能引起混凝土材料抗拉强度的相对增强。Ragueneau21指出，应该通过别的物理现象（例如裂纹扩展速率）来解释抗拉强度的相对增强。Cadoni22采用HBB技术对冲击拉伸作用下混凝土试件进行局部分析后，利用了裂纹扩展的现象来解释抗拉强度的相对增强，即认为：在准静态情况下，裂纹沿着最弱的骨料-水泥砂浆界面扩展；而动态冲击情况下，裂纹则可以穿过骨料颗粒来扩展，且不止只有一条裂纹出现，而是会同时激活多条裂纹。Rossi23还认为：当加载速率很快的时候，由于惯性效应的影响峰值载荷将滞后于微裂纹的局部化，由此可导致抗拉强度的显著增强。当前，学者们14,19,20,23-28提出了引起混凝土材料动态力学特性变化的几种可能的解释。如果不考虑由于试件端部接触问题（对压缩情况而言，是试件端部摩擦的问题；对拉伸情况而言，是试件端部夹具或粘贴固接的问题）而引起的实验误差的影响，那么不论是拉伸还是压缩情况，混凝土材料动态力学特性的物理机制的解释都可归结为以下三点：1)粘性效应粘性效应，也称为Stefan效应。其物理模型可简化为：当一层薄膜粘性液体被包夹在两块相对运动的平板之间时，薄膜对平板所施加的反作用力正比例于平板的分离速度。这一物理模型可表示为方程： (1)式中：是作用力，是粘性系数，是平板间的距离，是平板分离速度，是粘性液体体积。当应变率响应低于时，主导材料动态力学特性的物理机制就是这种粘性机制，其抵制微裂纹的局部化（导致混凝土材料抗拉强度的增强）和宏观裂纹的扩展（导致混凝土试件的破裂）。对于压缩情况，Gary29认为物理机制的显著改变发生在的应变率量级附近。2)裂纹演化单轴（拉或压）载荷作用下，混凝土材料裂纹演化过程包括三个阶段：微裂纹弥散阶段，在低强度载荷作用下材料内部初始的微裂纹逐渐开裂扩展，同时又不断地生成新的微裂纹；微裂纹局部化阶段，随着微裂纹开裂扩展到一定程度，它们相互交枝连接形成了一个或多个宏观裂纹，此时在混凝土试件某一区域内裂纹局部化现象发生；3)宏观裂纹开裂阶段，随着裂纹局部化区的不断扩展，导致了试件的最终破坏。3)惯性效应当应变率响应大于或等于时，惯性效应占绝对主导地位。其作用依然是限制微裂纹的局部化和宏观裂纹的开裂扩展。显而易见，惯性效应和粘性效应分别在材料的不同应变率响应范围内起着同样的作用。因此，Ragueneau 21也把粘性效应看作是源自于微观的惯性响应，并把这归咎于代表性体积单元尺度的定义。由上可见，不论是在准静态加载（相应于粘性效应占主导地位）还是动态冲击载荷作用（相应于惯性效应占主导地位）下，混凝土内部裂纹的演化都经历三个阶段：微裂纹弥散阶段、微裂纹局部化阶段和宏观裂纹开裂扩展阶段，也即混凝土由材料向结构转变的演化过程。Baant30最先系统地研究了混凝土最大载荷强度随试件尺寸变化的规律，并建立了基于不同理论的尺寸效应律。Carpinteri也很早就系统地开展了对混凝土强度尺寸效应的研究，最近他又提出间隙分形是准脆性结构尺寸效应的原因，基于这种认识提出了多重分形尺寸效应理论31,32。其它有关混凝土强度尺寸效应的研究，还可参见文献【3337】。最近，钱觉时38从实验研究和理论研究两个方面对国内外有关混凝土强度尺寸效应进行了较为详尽的介绍和说明，并讨论了不同研究方法存在的问题。在动态、冲击载荷作用下，混凝土强度尺寸效应依然存在，不过这方面的研究文献相当少。Krauthammera39和Elfahala40等人做了一些工作，并从实验研究和数值模拟两个方面证实了动态冲击下混凝土强度存在一种时间相关的尺寸效应现象。单轴压缩时，试件载荷强度受两种效应的影响：一种效应与尺寸相关，相应的强度被Baant30称之为结构强度；另一种，通常对于小试件，则与尺寸无关，我们称相应的强度为应力强度。限于文章篇幅和研究视角，本文主要就混凝土材料自身的力学特性和本构关系进行论述，而不涉及混凝土结构方面的尺寸效应和响应分析。综上所述，混凝土材料具有极其复杂的动态力学特性，除上文提到的材料应变率敏感效应和静水压力相关特性以及裂纹扩展导致的各向异性特征外，还有许多其它性质，如拉压不对称特性、剪胀与体积塑性、应变软化、加卸载的非线性滞徊特性等。如何很好地描述这些动态响应特性，并包括在本构理论的描述中，进而发展相应的本构模型是一项复杂而困难的工作。下文，就混凝土材料在动态冲击载荷作用下力学特性和本构关系的研究状况，主要从三个方面进行介绍：1)经验公式，在广泛实验研究的基础上，对实验数据结果进行回归、分析建立的数学公式；2)强度理论，在宏观唯象研究和细观统计研究的基础上，给出在复杂应力状态下失稳破坏时混凝土材料参数与外部载荷及其环境因素所满足的条件；3)本构模型，在现有理论和概念基础上，对材料特性做出某些简化假设构建而得的物理模型。2. 经验公式研究混凝土材料动态力学特性，其主要目的就在于对混凝土材料基本力学性能参数的理解，即基于实验数据结果回归、分析建立动态应力强度、动态断裂应变（相应于动态应力强度时的应变）、动态弹性模量等与应变率之间的关系。1)动态应力强度有关应变率对动态应力强度（包括动态抗压强度和抗拉强度）的影响，人们已经作了大量的实验研究。由实验数据结果整理所得一维应力下的率型经验公式，主要有两种类型，即如下的指数型和对数型： (2)式中：是与响应应变率相对应的动态应力强度；是准静态情况下的应力强度，是参考应变率；和是表征材料应变率敏感性的常数。式（2）在双对数和半对数坐标系中呈直线关系，这意味着只有当应变率发生量级变化时，才会对应力强度有显著的影响作用。欧洲国际混凝土委员会（CEB）41曾建议动态抗压强度和抗拉强度分别采用如下形式： (3) (4)式（3）和（4）中：和分别是与响应应变率相对应的动态抗压强度和抗拉强度；是与参考压应变率相对应的准静态抗压强度，是与参考拉应变率相对应的准静态抗拉强度；对压缩情况而言，是立方体试样准静态抗压强度；对拉伸情况而言，是立方体试样准静态抗拉强度；“”代表其具体公式有待进一步研究。Gebbeken42提出了一个双曲线函数用来模拟在极端高应变率下抗压强度的相对增强 (5)式中：是特征化应变率，是参考应变率；是增强参数极限，当，无损伤和损伤分别对应于3.40和3.20；几何参数从2.20变化到1.83。Malvar16,17基于大量的实验研究研究结果，修正CEB动态抗拉强度公式为： (6)式中：是响应应变率，其适用范围为；是参考应变率，取为；，。Tedesco和Ross43通过实验研究得到动态抗压强度和抗拉强度与应变率之间的经验公式如下： (7) (8)式中：和分别是与参考应变率相对应的抗压强度和抗拉强度。其它相类似的经验公式还可从文献【19,4448】中得到。2)动态断裂应变Bischoff14的综述性文献中报道，与动态抗压强度相对应的动态断裂应变值与准静态值之比在70140%之间的范围内波动。由此可见，动态、冲击下断裂应变值的实验结果很不一致，既可观察到“冲击脆化”（）现象，也可观察到“冲击韧性”（）现象。这一现象既是与材料内部微裂纹的损伤演化过程密切相关，也是与准静态抗压强度、骨料类型、储存条件和实验条件等相关的。欧洲国际混凝土委员会（CEB）41的建议公式如下： (9)式中：和分别是与响应应变率和参考应变率相对应的断裂应变。也有学者取动态断裂应变和应变率的关系为双参数的形式：(10)式中：和为材料参数。陈书宇49给出的参数取值为，。董毓利47通过分析动态断裂应变与应变率数据之间的关系，得到的回归结果为： (11)这与Tedesco43和Soroushian50等人所用经验公式形式类似。3)动态杨氏模量和泊松比一般认为，初始切线杨氏模量对应变率不甚敏感，但割线杨氏模量随应变率增加有所增加。这一现象，一方面是粘性效应的表现，另一方面也与材料内部微裂纹的损伤演化有关。Rossi23还把混凝土材料动态杨氏模量的相对增加相比动态应力强度的相对增强有点小这一现象归应于：对混凝土材料杨氏模量起主要作用的骨料颗粒对粘性效应不甚敏感。欧洲国际混凝土委员会（CEB）41建议采用的经验公式如下： (12)式中：和分别是与响应应变率和参考应变率相对应的杨氏模量。尚仁杰24采用如下经验公式： (13)式中：和是材料常数。对混凝土材料，有和。Lu51在考虑到损伤演化和应变率效应对杨氏模量双重影响的基础上提出如下公式： (14)式中：是无损材料在准静态情况下的杨氏模量；是损伤变量，具体讨论可参见节4.4；材料常数，。当前，对混凝土材料泊松比与应变率之间关系的研究尚不多见。但一般认为14：混凝土在受压时，随着应变率的增加，其内部的微裂缝减少，因而导致了泊松比的减小；在受拉时，随着应变率的增加，其泊松比相应增加。也有实验48,52发现，泊松比并未随应变率的变化而发生明显的改变。因此，通常按CEB41的建议，即假设泊松比是应变率无关的。2.1率型经验公式一般的经验型应力-应变关系式都可表示为： (15)式中：是特征化应力，是特征化应变；和是相应的应力和应变；和分别是准静态下的应力强度和断裂应变。通过式（15）的特征化处理，可以消除一些变化因素（例如应力强度和断裂应变等）对材料特性的影响从而使得实验结果具有更普遍的意义。文献53,54,55中，用于表示压缩载荷下混凝土材料应力-应变曲线关系的方程式为： (16)式中：为软化系数，具体形式可参见上述文献。文献53,56,57中，用于表示拉伸载荷下混凝土材料应力-应变曲线关系的方程式为：(17)式中：是混凝土材料杨氏模量；是混凝土开裂应力，是混凝土开裂应变。文献【10,11,12】和【58,59,60】中，还列出了其它一些相类似的常用经验公式。这些经验公式形式简单，便于应用，计算精确，适用于描述准静态单调单轴加载下混凝土材料的变形行为。不过，公式中经验系数的确定需要进行大量的、繁杂的实验。另外，这些经验公式都是基于非线性弹性模型建立的，没有反映出混凝土材料的应变率敏感特性。为此，我们设想通过利用混凝土材料动态应力强度、动态断裂应变和动态弹性模量的率型关系式替代这些应力-应变经验公式中相应的应力强度、断裂应变和弹性模量，来得到一些适于工程应用的率型应力-应变关系式。当然，其可行性和应用价值还有待进一步验证。2.2 HJC强度模型文献29,61,62专门研究了混凝土材料在多轴应力状态下的动态冲击特性，但都没有得到具体的、可应用的经验公式，仅有一些定性的实验结果，即随着横向约束压力的增加，混凝土材料纵向应力强度和应变都有极大的提高。Holmqusit63等人基于等效的思想即用一维等效应力代替三维方向上应力所产生的响应效果，由此提出了HJC强度模型。其具体表达形式如下：(18)式中：为特征化等效应力、是损伤变量、为特征化压力、为特征化应变率，其中为实际等效应力、为单元内的静水压力、为准静态单轴抗压强度、为响应应变率、为参考应变率；材料常数是特征化粘性强度、是特征化压力硬化系数、是应变率影响系数、是压力硬化指数。当前，HJC模型已经被广泛应用于动态/强冲击载荷下混凝土的数值模拟。其它相类似的模型还有，广泛应用于金属等材料的Johnson-Cook模型64和应用于陶瓷材料的JH-2模型65。另外，在岩石的动态实验研究中已经发现，杨氏模量和泊松比不随横向约束压力的变化而发生变化66。而混凝土材料杨氏模量和泊松比与横向约束压力关系的研究还未见到有关的文献报道。3. 动态强度理论混凝土材料本构理论的研究最早是从Hooke定律的应用和强度准则的研究开始的。强度准则的研究一直是工程实用中的一个重要课题67,68,69。其目的在于给出混凝土在复杂应力状态下失稳破坏时混凝土材料参数与外部载荷及其环境因素所满足的条件。迄今为止，国外内学者已经给出了大量的混凝土强度准则。其中有些是以古典强度理论为蓝本，有些是以多轴强度的实验结果为基础的经验回归公式，还有些是以混凝土破坏包络曲面的几何形状为依据进行推导的纯数学模型。由于混凝土是一种复杂而又特殊的结构工程材料，其组份材料分布极其不均匀，空洞、裂纹、夹杂等大量损伤缺陷充斥其中，因而以上建立在连续介质力学理论基础上的混凝土强度准则受到了严重挑战。近年来，随着非线性科学的迅猛发展，混凝土强度理论的研究逐渐融合了损伤力学、断裂力学、物理统计学、控制论、系统论等学科，使混凝土材料强度理论的研究超越了经典固体力学的框架，逐渐从古典强度理论、广义强度理论等经典强度理论发展到考虑损伤、断裂过程和离散性、随机性等问题的强度理论。然而，针对动态、冲击载荷下混凝土强度理论的研究仍然没有取得突破性进展，而只能是通过借用或修正一般准静态条件下的强度理论而得。3.1经典强度理论在古典强度理论70的发展过程中，唯象的实验研究是主要手段，经验主义主导着研究思路。它们认为：无论材料处于什么应力状态，只要某一方面的因素达到极限值，那么材料就发生脆性断裂或屈服破坏。因此，古典强度理论仅仅适用于简单应力状态。此后，随着实验测试技术和数学分析方法的发展，人们又提出了各种广义强度理论，用于建立复杂应力状态下固体材料屈服破坏的临界准则。俞茂宏71通过对这些强度理论进行归纳，将其分为三大系列，即单剪强度理论、三剪强度理论和双剪强度理论。不过，以上这些强度破坏准则都是适用于某一材料的单一强度理论。为此，俞茂宏72又发展了统一强度理论。所有这些强度理论都具有一致的力学模型，可统一用如下数学形式来表示：(19)式中：是应力张量；是材料的强度参数。这里，只需根据不同的应力状态将取为不同形式的率型应力强度函数（如式（2）所示），那么强度准则式（19）就可用于描述混凝土的动态破坏。考虑到静水压力对脆性材料破坏面的影响，以及泊松比对脆性材料破坏现象的影响，Lemaitre73建立了三轴等效应力强度准则。经过不断地发展和完善，经典强度理论已经基本能够反映混凝土材料的强度特性，是工程设计中分析计算的重要依据，在数值模拟和非线性有限元分析计算中发挥着重要的作用。然而，由于经典强度理论采用了连续介质的一些假设，与混凝土材料的实际情况不相符合，因而不能解释混凝土强度的离散性、随机性现象，也没有建立混凝土强度特性与混凝土微细结构之间的联系关系。3.2断裂强度理论混凝土的破坏是裂纹产生和扩展的结果。由于基于Griffith开创性工作而迅速发展起来的断裂力学理论为混凝土材料强度理论的研究提供了新的理论基础。根据线弹性断裂力学（LEFM）理论，有两种主要方法用于研究裂纹前端不发生大范围屈服时的裂纹扩展规律。 第一种方法，是格里非斯（Griffith）提出的裂纹失稳扩展临界条件。其基于裂纹的能量平衡，即认为：若裂纹扩展释放的弹性应变能，克服了材料阻力所作的功，则裂纹失稳扩展；或若裂纹的扩展将导致裂纹和包含裂纹的材料的势能降低时，则裂纹失稳扩展。于是，可建立断裂判据：(20)式中：表示裂纹扩展单位面积所释放的应变能，为弹性应变能，是形成表面所需要吸收的能量；是材料常数，表征材料对裂纹扩展的抵抗能力，可由实验确定。第二种方法，是欧文（Irwin）提出的裂纹脆性断裂临界条件。其基于对裂纹尖端应力场的计算，并认为，若裂纹尖端的应力强度因子达到某一个临界值时，裂纹将失稳扩展。于是，按应力强度因子可建立断裂判据：(21)式中：是裂纹形状参数，是裂纹尺寸，是远场应力；是材料的断裂韧性，表示材料抵抗裂纹失稳扩展能力的一个物理参量，可由实验确定。材料常数和断裂韧性之间有对应关系，其具体表示为：(22)针对不同的应力情况，取不同的值。例如，对于平面应力情况，；对于平面应变情况，。其中，和分别为杨氏模量和泊松比。Neville74最先把Griffith理论应用于混凝土，他认为试件尺寸对于强度的影响与混凝土中随机分布的裂纹有关。1961年Kaplan75进行了混凝土材料的断裂韧性实验。此后，国内外更多的工作是进行各种断裂模式（包括劈拉模式、三点弯拉模式以及二者的组合模式）的实验研究及其断裂韧性的测试，并积累了大量的测试资料，提出了一系列的应力强度因子计算方法和经验断裂判据75。随后，John76实验研究了混凝土材料断裂韧性的应变率相关性。最近，Lambert77和Tandon78又分别研究了混凝土材料断裂韧性随应变率变化的发展趋势，然而他们却得出了相反的结论。由此，在一些材料动态特性的研究中仍把断裂韧性看作是一个不变的材料参数，并取其为准静态下的相应值79。断裂强度理论是基于单一裂纹建立的，而实际情况中则是由于裂纹间的相互作用和联合产生的局部弱化最终导致了混凝土的整体断裂破坏。有关这方面模型的研究还存在着很多困难，而物理统计学不失为一条重要的途径。3.3统计强度理论对于混凝土材料，其脆性断裂强度因样品的不同会产生一定的离散、随机特征，因而适宜采用统计理论建立其强度准则。早在1939年，Weibull80就以“最弱环假设”为基本假设，提出了材料脆性破坏强度统计理论，并在此基础上提出了材料局部强度的分布函数（Weibull分布），即(23)式中：是断裂强度小于的累计概率，为系统的维数，为线性尺度，和是与材料性质、表面条件、样品制备及温度等因素相关的常数。更多相关的工作可参见综述性文献【81】。统计理论应用于混凝土材料强度理论的研究，一般需要通过宏观实验确定相关参数，因此这也是一种唯象的和经验的方法，缺乏深层次的物理机理。现代分形、混沌和分叉等非线性科学的发展，为深入研究混凝土材料的强度破坏机理提供了新的分析方法，有待于我们进一步去研究探索。4. 动态本构模型混凝土材料在动态、冲击载荷作用下本构模型的建立是一件非常复杂的工作，相关的研究报道也很多很杂。对应于不同的加载方式或载荷形式，混凝土材料表现出不同的力学响应特性，因而要建立一个普遍接受、兼容并包的本构模型是相当困难，也是不太现实的。下文基于对混凝土材料动态力学特性和本构关系的研究分析，将其本构模型大体分为六个类别：（1）在准静态本构模型基础上修正而来的本构模型；（2）在粘弹性理论基础上建立的本构模型；（3）在粘塑性理论基础上建立的本构模型；（4）在损伤理论基础上建立的本构模型；（5）在塑性与损伤相耦合的理论基础上建立的本构模型；（6）在断裂理论基础上建立的本构/力学模型。4.1基于准静态本构模型的修正动态、冲击载荷作用下，影响混凝土材料力学特性的因素很多，主要有材料的应变率敏感效应和静水压力相关性，这两个影响因素相互耦合很难在实验中完全分离。其中混凝土材料应变率敏感效应的研究一直都得到了研究者们的重视和关注，也取得了很大的成果14,16,17。由此，我们可以通过对一些已有混凝土材料准静态本构模型进行修正来描述其动态力学特性，并将计算结果与实验结果进行比较后确定一个较好的混凝土材料动态本构模型。从宏观上考虑，通常是将准静态本构关系作一个关于应变率的修正，这主要有三种做法：其中一种做法，是把应变率考虑在应力-应变关系式内。为此，需要引入两个假定：1)动态冲击情况下，材料内部所产生的应力是由准静态应力和偏离准静态特性的应力（也可称之为过应力）两部分组成，其可用公式表示为： (24)一般地，可将上式称为过应力模型或者过应力方程，其中过应力函数可以根据实际假设选取适当的形式。实验中，通常取为 (25)式中：用来描述应力-应变曲线的形状，用来确定过应力的大小，是影响系数。下文节4.2中将要提到的ZWT方程也可看作属于这一类型，只是取作了一种具有粘弹特性的方程形式。2)在某一应变率响应范围内，应力的率敏感效应从属于应力对应变的依赖关系，并且经常通过引入一个强化因子来表征率敏感效应的影响，可用公式表示为： (26)上式也可表述为，材料准静态下应力-应变关系已包含了其在不同应变率响应下应力-应变关系的主要特征，这是由于材料应变率敏感效应的影响是从属于应变对应力的影响的。式（26）中，的函数形式可取为式（2）。不过，这一类型方程不同于上文节2.1提到的率型应力-应变经验公式。它是基于弹塑性模型建立的，常用方程有Cowper-Symonds方程82和Johnson-Cook模型64。另一种简单一点的做法，是把应变率考虑在屈服条件之内。例如陈书宇83,84从Ottosen四参数混凝土屈服准则出发，考虑损伤变量、静水压力和等效应变率对本构关系的影响，建立的混凝土材料粘塑性本构模型。其表示形式为： (27)(28)其中：和分别为应力张量和偏应力张量的第一和第二不变量；和为常数；，为应力角。随后，通过用动态应力强度替代式（27）中的准静态应力强度，陈书宇49又提出了改进的Ottosen四参数屈服准则来建立混凝土材料动态本构模型。陈大年85从连续损伤理论出发，并基于大量的混凝土实验结果，引出了一种经验型的率相关盖帽模型 (29)式中：为硬化参数；为等效应变率的函数，可用式（2）及其演化形式来表示；和分别为准静态的剪切屈服面和盖帽屈服面。这个模型的实质就是假设应变率与本构关系及其它要素是相互独立的，不计及这些变量之间的交互作用。式（29）率相关的经验型盖帽模型并没有确定损伤变量，也没有计及应变率对损伤变量的影响。此外，Eibl86和Dub87等人直接将应变率敏感效应的影响引入微裂纹损伤演化发展过程，从而直接把率无关损伤模型推广到率相关损伤模型。陈大年88在进行混凝土的平板撞击实验的数值模拟时，在损伤临界值和等效应变率之间建立了如下关系： (30)式中：是准静态情况下的损伤临界值。从细观上考虑，通常需要建立关系式用以描述损伤发展引起的动态等效弹性模量的变化以及相应的损伤变量的演化。基于准静态分析的赵模型，刘文彦89将裂纹的动态演化过程引入到该模型，并且加入粘性项以反映水泥基复合材料的应变率敏感性，从而将赵模型发展成为可以描述水泥基复合材料冲击力学特性的粘弹性各向异性动态损伤模型。4.2基于粘弹性理论的本构模型基于粘弹性理论建立的动态本构模型中，最典型的有ZWT模型。ZWT模型是朱兆祥、王礼立和唐志平90,91等人在研究环氧树脂的一维应力动态力学行为时，提出的具有两个松弛时间，而材料的非线性仅与非线性弹性相关的非线性粘弹性本构模型。其方程表示形式如下： (31) (32)ZWT方程的力学模型可由两个Maxwell模型和一个非线性弹簧并联而成。在ZWT方程中，非线性粘弹性响应实际上由两部分构成：与时间（或应变率）无关的非线性瞬态响应和与时间（或应变率）相关的线性非瞬态响应部分。上式（31）中：表示应力；表示应变；表示应变率；是时间；第一个积分项描述了低应变率下的粘弹性响应，和分别是所对应的Maxwell单元的弹性常数和松弛时间；而后一个积分项则描述高应变率下的粘弹性响应，和分别是所对应的Maxwell单元的弹性常数和松弛时间。而则描述了与时间（或应变率）无关的非线性弹性平衡瞬态响应；是平衡态杨氏模量，总是正的，一般是负的，对所有高分子材料有的为正，有的为负，它描述了材料非线性弹性。动态、冲击载荷作用下，混凝土材料表现出了较高的应变率敏感性和一定的塑性变形能力，同时还伴随着损伤的产生和发展过程。因此，需要对ZWT模型进行一些必要的修正来描述这些复杂的力学响应行为。刘文彦89和王礼立92等将ZWT方程式（31）修正如下： (33)其中：为满足式（31）的应力；为开关函数，有： (34)以及满足： (35)式中：为卸载初始发生时所对应的应变值；式（35）中第一式是为了使时，这样即为整个过程中的残余应变。通过以上修正，具有粘弹特性的ZWT模型就演变为了粘弹塑性模型。姜锡权93和陈江瑛94也发现，ZWT型非线性粘弹性本构方程还可推广到混凝土材料，只须计及混凝土材料内部损伤演化本身的率相关性和所引起的非线性特性即可。其修正方法是：通过引进损伤变量，并设由于损伤而弱化的混凝土材料的表观承载能力即表观应力与其真正的承载能力即无损伤时的应力之间有如下简单关系： (36)式中：为满足式（31）的应力；为损伤变量。同样的修正方法还可参见文献【9598】。刘文彦89用一级轻气炮对水泥基体复合材料进行了平板正撞击和压剪联合冲击实验。实验中，应变率响应量级达到了，压力载荷也高达几百MPa到几GPa。研究结果表明水泥基复合材料在存在侧向压力限制时，在压缩载荷作用下的力学响应行为体现出准塑性（pseudo-plastic）特性，卸载后存在残余变形，这是材料内部微裂纹等缺陷发展导致的必然结果。因此，其认为水泥基复合材料具有粘、弹、塑性和损伤四种特性，并对ZWT方程修正如下： (37)式中各变量的物理意义和定义见上式。4.3基于粘塑性理论的本构模型类同于小变形弹塑性理论，在粘塑性理论中引入应变率分解（strain rate partition）假设，即材料的总应变率可分解为弹性应变率和粘塑性应变率两部分，如下式所示： (38)考虑材料的线弹性特性，弹性应变率和应力率可写为如下关系： (39)式中：为材料的刚度张量。在Perzyna粘塑性模型99中，粘塑性应变率定义为： (40)其中，代表了粘塑性流动的方向，表示为 (41)式中：是塑性势函数，在经典相关性塑性流动理论中通常假设：；是粘塑性流动因子且非负，控制着粘塑性流动的大小，其依赖于应力状态偏离屈服面的程度，可表示为： (42)式中：是流动系数，是屈服函数的任意函数形式，是Heaviside阶梯函数。其中，屈服函数依赖于真实的应力状态和内变量（也称为硬化参数，其依赖于材料的当前状态，通常定义为等效粘塑性应变、粘塑性功或者背应力等），其一般函数形式为： (43)随后，Perzyna100又提出了如下形式的粘塑性流动因子定义式： (44)式中：、为材料系数。Colantonio和Stainier101修正上式后用于解释材料中孔隙率的变化。Dub87则利用相似的方程形式来定义损伤变量。在Duvaut-Lions粘塑性模型102中，粘塑性应变率和内变量变化率定义为线性过应力的形式： (45) (46)式中：是材料的柔度张量，是粘性系数，其反比例于流动系数；和分别代表背应力和累积内变量，都为弹塑性变量，不含粘性效应。Perzyna和Duvaut-Lions粘塑性模型都可归类为过应力模型，它们提出时间早，应用广泛，因而获得了极大的成功。然而，为了可以产生粘塑性应变，它们允许应力状态偏离屈服面，由此不满足一致性条件。Wang103提出的一致性粘塑性模型是经典弹塑性方法的拓展，用于解释应变率敏感效应的影响。模型中，粘塑性应变率定义为： (47)其中，由相关联流动法则可得 (48)为了保证一致性条件的满足，粘塑性流动过程中所产生的真实应力状态应该始终保持在屈服面上，由此定义屈服函数(49)式中：是内变量变化率。粘塑性流动因子可利用一致性方程确定： (50)在粘塑性理论中，还有很重要的一点就是屈服函数的定义。屈服函数作为一种数学表示形式，反映了材料当前的受力状态和力学特性。根据混凝土材料在不同载荷作用下表现出的力学特性，如拉压的不对称、静水压力相关等特性，人们定义了多种形式的屈服函数，按其力学参数（通常可取为不同载荷作用下的应力强度，如单轴抗拉强度、单轴抗压强度、双轴等压强度和三轴等压强度等）数目的不同可划分为：1)单参数屈服函数，其主要有两种形式：von Mises（冯米塞斯）和Tresca（屈瑞斯卡）屈服函数，它们分别用于定义材料在压缩区和拉伸区的屈服面特性。Rankine屈服函数是Tresca屈服函数在第三主应力值很小或者等于零时的特殊情况。Lemaitre73、Gurson104和Needleman105等人分别对Mises屈服函数进行了修正，使之适用范围更加宽广，也更加灵活。2)双参数屈服函数其常用形式有：Drucker-Prager（德鲁克-普拉格）和Mohr-Coulomb（莫尔-库仑）屈服函数。它们均考虑了静水压力的影响，是分别对von Mises和Tresca屈服函数的修正。其中，Drucker-Prager屈服函数不但考虑了静水压力对屈服特性的影响，还反映了剪切引起的剪胀特性，因而在混凝土材料粘塑性特性分析中得到了广泛的应用。Pearce106,107提到了一种Hoffman屈服函数，其描述的屈服面具有如下的基本特征：屈服面是压力相关性的，其相关性可由抗拉强度和抗压强度的相对量来控制；屈服面在偏平面内的投影为圆周形；屈服面是完全光滑的，由此确保了屈服面梯度的唯一性，便利于数值计算的应用。3)多参数屈服函数为了更好地描述混凝土材料的应力状态和力学特性，人们又发展了各种更加完善但同时也更为复杂的屈服函数。如Bresler108提出的广义Drucker-Prager屈服函数和Chen-Chen109屈服函数均为三参数屈服函数，而四参数屈服函数主要有Ottosen110屈服函数、Hsieh-Ting-Chen111屈服函数等，五参数屈服函数则有Willam-Warnke112屈服函数、Podgorski113屈服函数等。这些屈服函数包含参数多、表示形式复杂，也足以准确地模拟混凝土材料屈服曲面的形状，因而很适合于数值计算的应用。以上定义了粘塑性应变率和屈服函数的一般