概率论与数理统计期末考试试卷答案.doc

《概率论与数理统计》试卷A
一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)
1、A，B为二事件，则
A、 B、 C、 D、
2、设A，B，C表示三个事件，则表示
A、A，B，C中有一个发生
B、A，B，C中恰有两个发生
C、A，B，C中不多于一个发生 D、A，B，C都不发生
3、A、B为两事件，若，，，则成立
A、 B、 C、 D、
4、设A，B为任二事件，则
A、 B、
C、 D、
5、设事件A与B相互独立，则下列说法错误的是
A、与独立 B、与独立 C、 D、与一定互斥
6、设离散型随机变量的分布列为
X
0
1
2
P
0.3
0.5
0.2

其分布函数为，则

A、0 B、0.3 C、0.8 D、1
7、设离散型随机变量的密度函数为 ，则常数
A、 B、 C、4 D、5
8、设～，密度函数，则的最大值是
A、0 B、1 C、 D、
9、设随机变量可取无穷多个值0,1,2,…,其概率分布为，则下式成立的是

A、 B、
C、 D、
10、设服从二项分布B(n,p),则有
A、 B、
C、 D、
11独立随机变量，若X～N(1,4)，Y～N(3,16)，下式中不成立的是
A、 B、 C、 D、
X
1
2
3
p
1/2
c
1/4
12、设随机变量的分布列为：
则常数c=
A、0 B、1 C、 D、
13、设～,又常数c满足,则c等于
A、1 B、0 C、 D、-1
14、已知,则=
A、9 B、6 C、30 D、36
15、当服从( )分布时,。
A、指数 B、泊松 C、正态 D、均匀
16、下列结论中，不是随机变量与不相关的充要条件。
A、 B、
C、 D、与相互独立
17、设～且，则有
A、 B、
C、 D、
18、设分别是二维随机变量的联合密度函数及边缘密度函数，则是与独立的充要条件。

A、 B、
C、与不相关 D、对有
19、设是二维离散型随机变量，则与独立的充要条件是
A、 B、 C、与不相关
D、对的任何可能取值
20、设的联合密度为，
若为分布函数，则
A、0 B、 C、 D、1

二、计算题(本大题共6小题，每小题7分，共42分)
1、 若事件 A与B相互独立， 。求：和

2、 设随机变量，且。求

3、 已知连续型随机变量的分布函数为，求和。

4、 设连续型随机变量的分布函数为
求： （1）常数A和B；
（2）落入（-1，1）的概率；
（3）的密度函数
5、某射手有3发子弹，射一次命中的概率为，如果命中了就停止射击，
否则一直独立射到子弹用尽。
求：（1）耗用子弹数的分布列；（2）；（3）

6、设的联合密度为，

求：（1）边际密度函数；（2）；(3）与是否独立
三、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
2、设 。为 的一组观察值，求的极大似然估计
概率论与数理统计试卷答案及评分标准

一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
C
D
D
D
D
C
A
D
题号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
答案
C
C
B
B
B
D
C
D
D
B

二、计算题(本大题共6小题，每小题7分，共42分)

1、 解：∵A与B相互独立
∴………（1分）

又………（1分）
………（2分）
………（1分）

2、 解： ………（5分）
3、解：由已知有 ………（3分）则：

4、解：(1)由，

有： 解之有：， ………（3分）

(2) ………（2分）
(3) ………（2分）
X
1
2
3
P
2/3
2/9
1/9
5、解：(1)
………（3分）

(2) ………（2分）
(3) ∵
∴………（2分）
6、解：(1) ∵
∴
同理： ………（3分）
(2) 同理：
(3) ∵ ∴与独立
三、应用题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
1、 解：的似然函数为：
………（3分）

解之有： ………（6分）

4、设随机变量服从参数为的泊松分布，且已知求.
解：， …….2分
…….2分
所以，得. …….1分
三、（共18分,每题6分)
1、设总体现随机抽取容量为36的一个样本，求样本均值落入（50.8，53.8）之间的概率.
解：， ……….2分
=
= ….3分
……….1分
2、设随机变量的分布函数为
求：（1）A , B的值；（2）.
解：（1）由连续型随机变量分布函数的连续性，得
，，
即 解得 ……….3分

（2） ……….3分

概率论与数理统计B试题 班级 姓名 学号 第 3 页
3、箱子中有一号袋1个，二号袋2个.一号袋中装1个红球，2个黄球，二号袋中装2个红球，1个黄球，今从箱子中任取一袋，从中任取一球，结果为红球，求这个红球是从一号袋中取得的概率.
解：设={从箱子中取到i号袋}，
B={抽出的是红球}
……….2分
……….1分
……….3分
四、（8分） 设随机变量具有密度函数
求（1）常数A；（2）X的分布函数.
（1）因为 ……….2分
所以 得 ……….2分
（2）
= ……….4分

五、（8分）某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为
60、30、10件，现从中随机抽取一件，记
求的联合分布律.
解：设分别表示抽到一、二、三等品，
，
，
的联合分布律为
X2
X1
0 1
0
1
0.1 0.3
0.6 0.0
……….8分（每个2分）
六、（10分）设随机变量和的联合概率密度为

（1） 求边缘概率密度；（2）判断随机变量和是否独立.

7、已知随机向量（X，Y）的联合密度函数，则E(X)=。
8、随机变量X的数学期望，方差，k、b为常数，则有= ；=。
9、若随机变量X ～N (－2，4)，Y ～N (3，9)，且X与Y相互独立。设Z＝2X－Y＋5，则Z ～ N(-2, 25) 。
10、的两个 无偏 估计量，若，则称比有效。
1、设A、B为随机事件，且P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(A∪B)=0.6，则P()=_0.3__。
2、设X~B(2,p)，Y~B(3,p)，且P{X ≥ 1}=，则P{Y≥ 1}=。
3、设随机变量X服从参数为2的泊松分布，且Y =3X -2, 则E(Y)=4　。
4、设随机变量X服从[0,2]上的均匀分布，Y=2X+1，则D(Y)= 4/3 。
5、设随机变量X的概率密度是：

，且，则=0.6 。
6、利用正态分布的结论，有
1 。
7、已知随机向量（X，Y）的联合密度函数，则E(Y)= 3/4 。
8、设（X，Y）为二维随机向量，D(X)、D(Y)均不为零。若有常数a>0与b使
，则X与Y的相关系数-1 。
9、若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X与Y相互独立。设Z＝X－Y＋3，则Z ～ N (2, 13) 。
10、设随机变量X～N (1/2，2)，以Y表示对X的三次独立重复观察中“”出现的次数，则= 3/8 。
1、设A，B为随机事件，且P(A)=0.7，P(A－B)=0.3，则0.6 。
2、四个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为，则密码能被译出的概率是 11/24 。

5、设随机变量X服从参数为的泊松分布，且，则= 6 。
6、设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ(0.5)=0.6915，Φ(1.5)=0.9332，则 0.6247 。
7、随机变量X的概率密度函数，则E(X)= 1 。
8、已知总体X ~ N (0, 1)，设X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，则~。
9、设T服从自由度为n的t分布，若，则。
10、已知随机向量（X，Y）的联合密度函数，则E(X)= 4/3 。
1、设A，B为随机事件，且P(A)=0.6, P(AB)= P(), 则P(B)= 0.4 。
2、设随机变量X与Y相互独立，且，，则P(X =Y)=_ 0.5_。
3、设随机变量X服从以n, p为参数的二项分布，且EX=15，DX=10，则n= 45 。

4、设随机变量，其密度函数，则= 2 。
5、设随机变量X的数学期望EX和方差DX>0都存在，令，则DY= 1 。
6、设随机变量X服从区间[0，5]上的均匀分布，Y服从的指数分布，且X，Y相互独立，则(X, Y)的联合密度函数f (x, y)= 。
7、随机变量X与Y相互独立，且D(X)=4，D(Y)=2，则D(3X －2Y )＝ 44。
8、设是来自总体X ~ N (0, 1)的简单随机样本，则服从的分布为。
9、三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为，则目标能被击中的概率是3/5 。
10、已知随机向量(X, Y)的联合概率密度，
则EY = 1/2 。
1、设A,B为两个随机事件，且P(A)=0.7, P(A-B)=0.3，则P()=__06 __。
2、设随机变量X的分布律为，且X与Y独立同分布，则随机变量Z ＝max{X,Y }的分布律为。
3、设随机变量X ～N (2，)，且P{2 < X <4}＝0.3，则P{X < 0}＝0.2 。
4、设随机变量X 服从泊松分布，则=。
5、已知随机变量的概率密度为，令，则的概率密度为。
6、设X是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4，则 2.4 。
7、X1，X2，…，Xn是取自总体的样本，则～。
8、已知随机向量(X, Y)的联合概率密度，则EX = 2/3 。
9、称统计量的 无偏 估计量，如果=。
10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，这个原理称为 小概率事件原理。

1、设A、B为两个随机事件，若P(A)=0.4，P(B)=0.3，，则 0.3 。
2、设X是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4，则 18.4 。
3、设随机变量X～N (1/4，9)，以Y表示对X的5次独立重复观察中“”出现的次数，则= 5/16 。
4、已知随机变量X服从参数为的泊松分布，且P(X=2)=P(X=4)，则=。
5、称统计量的无偏估计量，如果=θ 。
6、设，且X，Y相互独立，则 t(n) 。
7、若随机变量X～N (3，9)，Y～N (－1，5)，且X与Y相互独立。设Z＝X－2Y＋2，则Z ～ N (7，29) 。
8、已知随机向量(X, Y)的联合概率密度，则EY = 1/3 。
9、已知总体是来自总体X的样本，要检验，则采用的统计量是。
10、设随机变量T服从自由度为n的t分布，若，则。
1、设A、B为两个随机事件，P(A)=0.4, P(B)=0.5，，则 0.55 。
2、设随机变量X ~ B (5, 0.1)，则D (1－2X )＝ 1.8 。
3、在三次独立重复射击中，若至少有一次击中目标的概率为，则每次射击击中目标的概率为 1/4 。
4、设随机变量的概率分布为，则的期望EX= 2.3。
5、将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于－1。
6、设(X, Y)的联合概率分布列为
Y
X
－1
0
4
－2
1/9
1/3
2/9
1
1/18
a
b
若X、Y相互独立，则a = 1/6 ，b = 1/9 。
7、设随机变量X服从[1，5]上的均匀分布，则 1/2 。

8、三个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为，则密码能被译出的概率是3/5 。
9、若是来自总体X的样本，分别为样本均值和样本方差，则~ t (n-1) 。
10、的两个无偏估计量，若，则称比 有效 。
1、已知P (A)=0.8，P (A－B)=0.5，且A与B独立，则P (B) ＝ 3/8 。
2、设随机变量X～N(1，4)，且P{ X ³ a }= P{ X £ a }，则a ＝ 1 。
3、随机变量X与Y相互独立且同分布，，，则。
4、已知随机向量(X, Y)的联合分布密度，则EY= 2/3 。
5、设随机变量X～N (1，4)，则＝ 0.3753 。（已知F(0.5)=0.6915，F(1.5)=0.9332）
6、若随机变量X～N (0，4)，Y～N (－1，5)，且X与Y相互独立。设Z＝X＋Y－3，则Z ～ N (－4，9) 。
7、设总体X～N(1，9)，是来自总体X的简单随机样本，分别为样本均值与样本方差，则；。
8、设随机变量X服从参数为的泊松分布，且，则= 6 。
9、袋中有大小相同的红球4只，黑球3只，从中随机一次抽取2只，则此两球颜色不同的概率为 4/7 。
10、在假设检验中，把符合H0的总体判为不合格H0加以拒绝，这类错误称为 一错误；把不符合H0的总体当作符合H0而接受。这类错误称为 二 错误。
1、设A、B为两个随机事件，P(A)=0.8，P(AB)=0.4，则P(A－B)= 0.4 。
2、设X是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4，则 2.4 。
3、设随机变量X的概率分布为
X
－1
0
1
2
P
0.1
0.3
0.2
0.4
则= 0.7 。

4、设随机变量X的概率密度函数，则= 。
5、袋中有大小相同的黑球7只，白球3只，每次从中任取一只，有放回抽取，记首次抽到黑球时抽取的次数为X，则P {X＝10}＝ 0.39*0.7 。
6、某人投篮，每次命中率为0.7，现独立投篮5次，恰好命中4次的概率是。
7、设随机变量X的密度函数，且，则c = -2 。
8、已知随机变量U = 4－9X，V= 8＋3Y，且X与Y的相关系数＝1，则U与V的相关系数＝－1。
9、设，且X，Y相互独立，则t (n)
10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，这个原理称为 小概率事件原理 。
1、随机事件A与B独立， 0.4 。
2、设随机变量X的概率分布为则X2的概率分布为
3、设随机变量X服从[2，6]上的均匀分布，则 0.25 。
4、设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，且每次命中率为0.4，则=_18.4__。
5、随机变量，则 N(0,1) 。
6、四名射手独立地向一目标进行射击，已知各人能击中目标的概率分别为1/2、3/4、2/3、3/5，则目标能被击中的概率是 59/60 。
7、一袋中有2个黑球和若干个白球，现有放回地摸球4次，若至少摸到一个白球的概率是，则袋中白球的个数是 4 。
8、已知随机变量U = 1＋2X，V= 2－3Y，且X与Y的相关系数 ＝－1，则U与V的相关系数 ＝ 1 。
9、设随机变量X～N (2，9)，且P{ X ³ a }= P{ X £ a }，则a＝ 2 。
10、称统计量的无偏估计量，如果= θ
二、选择题
1、设随机事件与互不相容，且，则（ D ）。

Ａ.　 　 B.　　Ｃ.　 Ｄ.
2、将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为（ A ）。
A. B. C.　 D.
３、已知随机变量的概率密度为，令，则的概率密度为（ D ）。
A. 　B. C. D.
４、设随机变量，满足，是的分布函数，则对任意实数有（　B　 ）。
A. B. C. D.
５、设为标准正态分布函数，
且，相互独立。令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（ B ）。
A. B． C． D．
１、设，为随机事件，，，则必有（ A ）。
A. 　 B. C. D.
２、某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为，他连续射击直到命中为止，则射击次数为3的概率是（ C ）。
A. B. C. D.
3、设是来自总体的一个简单随机样本，则最有效的无偏估计是( A )。
A. B. C. D.
4、设为标准正态分布函数，
且，相互独立。令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（ B ）。

A. B． C． D．
5、设为总体的一个样本，为样本均值，则下列结论中正确的是（ D ）。
A. ； B. ； C. ； D. ；
１、已知A、B、C为三个随机事件，则A、B、C不都发生的事件为（A）。
A. 　B. C.　A+B+C 　D. ABC

２、下列各函数中是随机变量分布函数的为（ B ）。
A. B.
C. D.
3、是二维随机向量，与不等价的是（ D ）
A. B. C. D. 和相互独立
4、设为标准正态分布函数，
且，相互独立。令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（ B ）。
A. B． C． D．
5、设总体，其中未知，为来自总体的样本，样本均值为，样本方差为， 则下列各式中不是统计量的是（ C ）。
A. B. C. D.
1、若随机事件与相互独立，则＝（ B ）。
A. B. 　　C. D.

2、设总体X的数学期望EX＝μ，方差DX＝σ2，X1，X2，X3，X4是来自总体X的简单随机样本，则下列μ的估计量中最有效的是（ D ）

3、设为标准正态分布函数，且，相互独立。令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（ B ）。
A. B． C． D．
4、设离散型随机变量的概率分布为，，则＝（ B ）。
A. 1.8 B. 2 C. 2.2 D. 2.4
5、在假设检验中, 下列说法错误的是（ C ）。
A. 真时拒绝称为犯第二类错误。 B. 不真时接受称为犯第一类错误。
C. 设，，则变大时变小。
D. 、的意义同（C），当样本容量一定时，变大时则变小。
1、若A与B对立事件，则下列错误的为（ A ）。
A. B. C. D.
2、下列事件运算关系正确的是（ A ）。
A. 　　B. 　　C. 　　 　D.
3、设为标准正态分布函数，
且，相互独立。令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（ B ）。
A. B． C． D．

4、若，则（D ）。
A. 和相互独立 B. 与不相关 C. D.
5、若随机向量（）服从二维正态分布，则①一定相互独立； ② 若，则一定相互独立；③和都服从一维正态分布；④若相互独立，则
Cov (X, Y ) =0。几种说法中正确的是（ B ）。
A. ① ② ③ ④ B. ② ③ ④ C. ① ③ ④ D. ① ② ④
1、设随机事件A、B互不相容，，则＝（ C ）。
A. B. C. D.
2、设A，B是两个随机事件，则下列等式中（ C ）是不正确的。
A. ，其中A，B相互独立　　B. ，其中
C. ，其中A，B互不相容　　D. ，其中
3、设为标准正态分布函数，
且，相互独立。令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（ B ）。
A. B． C． D．
4、设随机变量X的密度函数为f (x)，则Y = 5 — 2X的密度函数为（ B

5、设是一组样本观测值，则其标准差是（ B ）。
A. 　 B. C. 　 D.
1、若A、B相互独立，则下列式子成立的为（ A ）。
A. B. C. D.

2、若随机事件的概率分别为，，则与一定（D ）。
A. 相互对立　　 B. 相互独立　　 C. 互不相容　　 D.相容
3、设为标准正态分布函数，且，相互独立。令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（B ）。
A. B． C． D．
4、设随机变量X ～N(μ，81)，Y ～N(μ，16)，记，则（ B ）。
A. p1p2 D. p1与p2的关系无法确定
5、设随机变量X的密度函数为f (x)，则Y = 7 — 5X的密度函数为（ B ）

1、对任意两个事件和， 若， 则（ D ）。
A. B. 　　C. D.
2、设、为两个随机事件，且，， ， 则必有（ B ）。
A. B. C. D. 、互不相容
3、设为标准正态分布函数，
且，相互独立。令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（ B ）。

A. B． C． D．
4、已知随机变量和相互独立，且它们分别在区间[－1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则（ A ）。
A. 3　　　 　　 B. 6　 C. 10 D. 12
5、设随机变量X ～N(μ，9)，Y ～N(μ，25)，记，则（ B ）。

A. p1p2 D. p1与p2的关系无法确定
1、设两个随机事件相互独立，当同时发生时，必有发生，则（ A ）。
A. B. 　　C. D
2、已知随机变量的概率密度为，令，则Y的概率密度为（ A ）。
A. 　 B. C. D.
3、两个独立随机变量，则下列不成立的是（ C ）。
A. B. 　C. D.
4、设为标准正态分布函数，且，相互独立。令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（ B ）。
A. B． C． D．
5、设总体X的数学期望EX＝μ，方差DX＝σ2，X1，X2，X3是来自总体X的简单随机样本，则下列μ的估计量中最有效的是（ B ）

1、若事件两两独立，则下列结论成立的是（ B ）。
A. 相互独立 B. 两两独立
C. D. 相互独立
2、连续型随机变量X的密度函数f (x)必满足条件（ C ）。

3、设是任意两个互相独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为和，分布函数分别为和，则（ B ）。

A. 必为密度函数 B. 必为分布函数
C. 必为分布函数 D. 必为密度函数
4、设随机变量X, Y相互独立，且均服从[0，1]上的均匀分布，则服从均匀分布的是（ B ）。
A. X Y B. （X, Y）　　C. X — Y D. X + Y
5、设为标准正态分布函数，
且，相互独立。令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（ B ）。
A. B． C． D．

三（5）、市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的两倍，第二、第三厂家相等，且第一、第二、第三厂家的次品率依次为2％，2％，4％。若在市场上随机购买一件商品为次品，问该件商品是第一厂家生产的概率为多少？
解 设表示产品由第i家厂家提供，i=1, 2, 3；B表示此产品为次品。
则所求事件的概率为
＝
答：该件商品是第一产家生产的概率为0.4。
三（6）、甲、乙、丙三车间加工同一产品，加工量分别占总量的25%、35%、40%，次品率分别为0.03、0.02、0.01。现从所有的产品中抽取一个产品，试求（1）该产品是次品的概率；（2）若检查结果显示该产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率是多少？
解：设，，表示甲乙丙三车间加工的产品，B表示此产品是次品。
（1）所求事件的概率为

（2）
答：这件产品是次品的 概率为0.0185，若此件产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率为0.38。
三（7）、一个机床有1/3的时间加工零件A，其余时间加工零件B。加工零件A时停机的概率是0.3，加工零件A时停机的概率是0.4。求（1）该机床停机的概率；（2）若该机床已停机，求它是在加工零件A时发 生停机的概率。
解：设，，表示机床在加工零件A或B，D表示机床停机。
（1）机床停机夫的概率为

（2）机床停机时正加工零件A的概率为

三（8）、甲、乙、丙三台机床加工一批同一种零件，各机床加工的零件数量之比为5：3：2，各机床所加工的零件合格率依次为94％，90％，95％。现从加工好的整批零件中随机抽查一个，发现是废品，判断它是由甲机床加工的概率。
解 设，，表示由甲乙丙三机床加工，B表示此产品为废品。（2分）
则所求事件的概率为
＝
答：此废品是甲机床加工概率为3/7。
三（9）、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，其概率分别为5％、15％、30％、50％，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100％、70％、60％、90％。已知该人误期到达，求他是乘坐火车的概率。 （10分）
解：设，，，分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，B表示误期到达。
则＝

答：此人乘坐火车的概率为0.209。
三（10）、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，其概率分别为5％、15％、30％、50％，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100％、70％、60％、90％。求该人如期到达的概率。
解：设，，，分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，B表示如期到达。
则
答：如期到达的概率为0.785
四（1）设随机变量X的概率密度函数为

求（1）A； （2）X的分布函数F (x)； （3） P (0.5 < X <2 )。 　
解：

(3) P（1/216
四（3）、已知连续型随机变量X的概率密度为

求（1）a；（2）X的分布函数F (x)；（3）P ( X >0.25)。
解：

(3) P（X>1/4）=1—F(1/4)=7/8
　四（4）、已知连续型随机变量X的概率密度为

求（1）A；（2）分布函数F (x)；（3）P (－0.5 < X <1)。 ）
解：

(3) P（-0.5变量X的概率密度为

求（1）c； （2）分布函数F (x)；（3） P (-0.5 < X < 0.5)。
解：

(3) P（-0.5布函数为

求（1）A，B； （2）密度函数f (x)；（3）P (1 (0 ≤ X ≤ 4 )。
、解：
(3) P（0
解：令X、Y分别为子系统L1、L2的寿命，则系统L的寿命Z＝max (X, Y)。
显然，当z≤0时，F Z (z)＝P (Z≤z)＝P (max (X, Y)≤z)＝0；
当z>0时，F Z (z)＝P (Z≤z)＝P (max (X, Y)≤z)
＝P (X≤z, Y≤z)＝P (X≤z)P (Y≤z)＝＝。 　
因此，系统L的寿命Z的密度函数为

f Z (z)＝ 　
五（2）、已知随机变量X～N（0，1）求随机变量Y＝X 2的密度函数。
解：当y≤0时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P (X 2≤y)＝0；
当y>0时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P (X 2≤y)＝
＝
因此，f Y (y)＝
五（3）、设系统L由两个相互独立的子系统L1、L2串联而成，且L1、L2的寿命分别服从参数为的指数分布。求系统L的寿命Z的密度函数。 　
解：令X、Y分别为子系统L1、L2的寿命，则系统L的寿命Z＝min (X, Y)。 　
显然，当z≤0时，