概率论和数理统计期末考试题库.doc

数理统计练习一、填空题 1、设A、B为随机事件，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(B|A)=0.8，则P(A+B)=_ 0.7 _。2、某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为，则此射手的命中率。3、设随机变量X服从0，2上均匀分布，则 1/3 。4、设随机变量服从参数为的泊松（Poisson）分布，且已知1，则_1_。 5、一次试验的成功率为，进行100次独立重复试验，当1/2_时 ，成功次数的方差的值最大，最大值为 25 。6、（X，Y）服从二维正态分布，则X的边缘分布为 。7、已知随机向量（X，Y）的联合密度函数，则E(X)=。 8、随机变量X的数学期望，方差，k、b为常数，则有= ；=。 9、若随机变量X N (2，4)，Y N (3，9)，且X与Y相互独立。设Z2XY5，则Z N(-2, 25) 。10、的两个 无偏 估计量，若，则称比有效。1、设A、B为随机事件，且P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(AB)=0.6，则P()=_0.3_。2、设XB(2,p)，YB(3,p)，且PX 1=，则PY 1=。3、设随机变量X服从参数为2的泊松分布，且Y =3X -2, 则E(Y)=4。4、设随机变量X服从0,2上的均匀分布，Y=2X+1，则D(Y)= 4/3 。5、设随机变量X的概率密度是：，且，则=0.6 。6、利用正态分布的结论，有 1 。7、已知随机向量（X，Y）的联合密度函数，则E(Y)= 3/4 。8、设（X，Y）为二维随机向量，D(X)、D(Y)均不为零。若有常数a0与b使，则X与Y的相关系数-1 。9、若随机变量X N (1，4)，Y N (2，9)，且X与Y相互独立。设ZXY3，则Z N (2, 13) 。10、设随机变量XN (1/2，2)，以Y表示对X的三次独立重复观察中“”出现的次数，则= 3/8 。1、设A，B为随机事件，且P(A)=0.7，P(AB)=0.3，则0.6 。2、四个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为，则密码能被译出的概率是 11/24 。5、设随机变量X服从参数为的泊松分布，且，则= 6 。6、设随机变量X N (1, 4)，已知(0.5)=0.6915，(1.5)=0.9332，则 0.6247 。7、随机变量X的概率密度函数，则E(X)= 1 。8、已知总体X N (0, 1)，设X1，X2，Xn是来自总体X的简单随机样本，则。9、设T服从自由度为n的t分布，若，则。10、已知随机向量（X，Y）的联合密度函数，则E(X)= 4/3 。 1、设A，B为随机事件，且P(A)=0.6, P(AB)= P(), 则P(B)= 0.4 。2、设随机变量X与Y相互独立，且，则P(X =Y)=_ 0.5_。3、设随机变量X服从以n, p为参数的二项分布，且EX=15，DX=10，则n= 45 。4、设随机变量，其密度函数，则= 2 。5、设随机变量X的数学期望EX和方差DX0都存在，令，则DY= 1 。6、设随机变量X服从区间0，5上的均匀分布，Y服从的指数分布，且X，Y相互独立，则(X, Y)的联合密度函数f (x, y)= 。7、随机变量X与Y相互独立，且D(X)=4，D(Y)=2，则D(3X 2Y ) 44。8、设是来自总体X N (0, 1)的简单随机样本，则服从的分布为。9、三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为，则目标能被击中的概率是3/5 。10、已知随机向量(X, Y)的联合概率密度，则EY = 1/2 。1、设A,B为两个随机事件，且P(A)=0.7, P(A-B)=0.3，则P()=_0.6 _。2、设随机变量X的分布律为，且X与Y独立同分布，则随机变量Z maxX,Y 的分布律为。3、设随机变量X N (2，)，且P2 X 40.3，则PX 00.2 。4、设随机变量X 服从泊松分布，则=。5、已知随机变量的概率密度为，令，则的概率密度为。 6、设X是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4，则 2.4 。7、X1，X2，Xn是取自总体的样本，则。8、已知随机向量(X, Y)的联合概率密度，则EX = 2/3 。9、称统计量的 无偏 估计量，如果=。10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，这个原理称为 小概率事件原理。1、设A、B为两个随机事件，若P(A)=0.4，P(B)=0.3，则 0.3 。2、设X是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4，则 18.4 。3、设随机变量XN (1/4，9)，以Y表示对X的5次独立重复观察中“”出现的次数，则= 5/16 。4、已知随机变量X服从参数为的泊松分布，且P(X=2)=P(X=4)，则=。5、称统计量的无偏估计量，如果= 。6、设，且X，Y相互独立，则 t(n) 。7、若随机变量XN (3，9)，YN (1，5)，且X与Y相互独立。设ZX2Y2，则Z N (7，29) 。8、已知随机向量(X, Y)的联合概率密度，则EY = 1/3 。9、已知总体是来自总体X的样本，要检验，则采用的统计量是。10、设随机变量T服从自由度为n的t分布，若，则。1、设A、B为两个随机事件，P(A)=0.4, P(B)=0.5，则 0.55 。2、设随机变量X B (5, 0.1)，则D (12X ) 1.8 。3、在三次独立重复射击中，若至少有一次击中目标的概率为，则每次射击击中目标的概率为 1/4 。 4、设随机变量的概率分布为，则的期望EX= 2.3。5、将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于1。6、设(X, Y)的联合概率分布列为 YX 10421/91/32/911/18ab 若X、Y相互独立，则a = 1/6 ，b = 1/9 。7、设随机变量X服从1，5上的均匀分布，则 1/2 。8、三个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为，则密码能被译出的概率是3/5 。 9、若是来自总体X的样本，分别为样本均值和样本方差，则 t (n-1) 。10、的两个无偏估计量，若，则称比 有效 。1、已知P (A)=0.8，P (AB)=0.5，且A与B独立，则P (B) 3/8 。2、设随机变量XN(1，4)，且P X a = P X a ，则a 1 。 3、随机变量X与Y相互独立且同分布，则。4、已知随机向量(X, Y)的联合分布密度，则EY= 2/3 。 5、设随机变量XN (1，4)，则 0.3753 。（已知F(0.5)=0.6915，F(1.5)=0.9332）6、若随机变量XN (0，4)，YN (1，5)，且X与Y相互独立。设ZXY3，则Z N (4，9) 。7、设总体XN(1，9)，是来自总体X的简单随机样本，分别为样本均值与样本方差，则；。8、设随机变量X服从参数为的泊松分布，且，则= 6 。9、袋中有大小相同的红球4只，黑球3只，从中随机一次抽取2只，则此两球颜色不同的概率为 4/7 。 10、在假设检验中，把符合H0的总体判为不合格H0加以拒绝，这类错误称为 一错误；把不符合H0的总体当作符合H0而接受。这类错误称为 二 错误。1、设A、B为两个随机事件，P(A)=0.8，P(AB)=0.4，则P(AB)= 0.4 。2、设X是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4，则 2.4 。3、设随机变量X的概率分布为X1012P0.10.30.20.4则= 0.7 。 4、设随机变量X的概率密度函数，则=。5、袋中有大小相同的黑球7只，白球3只，每次从中任取一只，有放回抽取，记首次抽到黑球时抽取的次数为X，则P X10 0.39*0.7 。6、某人投篮，每次命中率为0.7，现独立投篮5次，恰好命中4次的概率是。7、设随机变量X的密度函数，且，则c = -2 。8、已知随机变量U = 49X，V= 83Y，且X与Y的相关系数1，则U与V的相关系数1。 9、设，且X，Y相互独立，则t (n) 10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，这个原理称为 小概率事件原理 。1、随机事件A与B独立， 0.4 。2、设随机变量X的概率分布为则X2的概率分布为3、设随机变量X服从2，6上的均匀分布，则 0.25 。4、设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，且每次命中率为0.4，则=_18.4_。 5、随机变量，则 N(0,1) 。 6、四名射手独立地向一目标进行射击，已知各人能击中目标的概率分别为1/2、3/4、2/3、3/5，则目标能被击中的概率是 59/60 。 7、一袋中有2个黑球和若干个白球，现有放回地摸球4次，若至少摸到一个白球的概率是，则袋中白球的个数是 4 。8、已知随机变量U = 12X，V= 23Y，且X与Y的相关系数 1，则U与V的相关系数 1 。9、设随机变量XN (2，9)，且P X a = P X a ，则a 2 。 10、称统计量的无偏估计量，如果= 二、选择题1、设随机事件与互不相容，且，则（ D ）。. B. . 2、将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为（ A ）。A. B. C. D. 、已知随机变量的概率密度为，令，则的概率密度为（ D ）。A. B. C. D. 、设随机变量，满足，是的分布函数，则对任意实数有（B ）。A. B. C. D. 、设为标准正态分布函数，且，相互独立。令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（ B ）。A. B C D、设，为随机事件，则必有（ A ）。A. B. C. D. 、某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为，他连续射击直到命中为止，则射击次数为3的概率是（ C ）。A. B. C. D. 3、设是来自总体的一个简单随机样本，则最有效的无偏估计是( A )。A. B. C. D. 4、设为标准正态分布函数，且，相互独立。令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（ B ）。A. B C D5、设为总体的一个样本，为样本均值，则下列结论中正确的是（ D ）。 A. ； B. ； C. ； D. ；、已知A、B、C为三个随机事件，则A、B、C不都发生的事件为（A）。A. B. C.A+B+C D. ABC、下列各函数中是随机变量分布函数的为（ B ）。A. B. C. D. 3、是二维随机向量，与不等价的是（ D ）A. B. C. D. 和相互独立4、设为标准正态分布函数，且，相互独立。令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（ B ）。A. B C D5、设总体，其中未知，为来自总体的样本，样本均值为，样本方差为， 则下列各式中不是统计量的是（ C ）。A. B. C. D. 1、若随机事件与相互独立，则（ B ）。A. B. C. D. 2、设总体X的数学期望EX，方差DX2，X1，X2，X3，X4是来自总体X的简单随机样本，则下列的估计量中最有效的是（ D ）3、设为标准正态分布函数，且，相互独立。令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（ B ）。A. B C D4、设离散型随机变量的概率分布为，则（ B ）。A. 1.8 B. 2 C. 2.2 D. 2.45、在假设检验中, 下列说法错误的是（ C ）。A. 真时拒绝称为犯第二类错误。 B. 不真时接受称为犯第一类错误。C. 设，则变大时变小。D. 、的意义同（C），当样本容量一定时，变大时则变小。1、若A与B对立事件，则下列错误的为（ A ）。A. B. C. D. 2、下列事件运算关系正确的是（ A ）。A. B. C. D. 3、设为标准正态分布函数，且，相互独立。令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（ B ）。A. B C D4、若，则（D ）。 A. 和相互独立 B. 与不相关 C. D. 5、若随机向量（）服从二维正态分布，则一定相互独立； 若，则一定相互独立；和都服从一维正态分布；若相互独立，则Cov (X, Y ) =0。几种说法中正确的是（ B ）。A. B. C. D. 1、设随机事件A、B互不相容，则（ C ）。A. B. C. D.2、设A，B是两个随机事件，则下列等式中（ C ）是不正确的。A. ，其中A，B相互独立B. ，其中C. ，其中A，B互不相容D. ，其中3、设为标准正态分布函数，且，相互独立。令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（ B ）。A. B C D4、设随机变量X的密度函数为f (x)，则Y = 5 2X的密度函数为（ B ）5、设是一组样本观测值，则其标准差是（B ）。A. B. C. D. 1、若A、B相互独立，则下列式子成立的为（ A ）。A. B. C. D. 2、若随机事件的概率分别为，则与一定（D）。A. 相互对立 B. 相互独立 C. 互不相容 D.相容3、设为标准正态分布函数，且，相互独立。令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（B ）。A. B C D4、设随机变量X N(，81)，Y N(，16)，记，则（ B ）。A. p1p2 D. p1与p2的关系无法确定5、设随机变量X的密度函数为f (x)，则Y = 7 5X的密度函数为（ B ） 1、对任意两个事件和， 若， 则（ D ）。A. B. C. D. 2、设、为两个随机事件，且， ， 则必有（ B ）。A. B. C. D. 、互不相容3、设为标准正态分布函数，且，相互独立。令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（ B ）。A. B C D4、已知随机变量和相互独立，且它们分别在区间1，3和2，4上服从均匀分布，则（ A ）。A. 3 B. 6 C. 10 D. 12 5、设随机变量X N(，9)，Y N(，25)，记，则（ B ）。A. p1p2 D. p1与p2的关系无法确定1、设两个随机事件相互独立，当同时发生时，必有发生，则（ A ）。A. B. C. D. 2、已知随机变量的概率密度为，令，则Y的概率密度为（ A ）。A. B. C. D. 3、两个独立随机变量，则下列不成立的是（ C ）。A. B. C. D. 4、设为标准正态分布函数，且，相互独立。令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（ B ）。A. B C D5、设总体X的数学期望EX，方差DX2，X1，X2，X3是来自总体X的简单随机样本，则下列的估计量中最有效的是（ B ）1、若事件两两独立，则下列结论成立的是（ B ）。A. 相互独立B. 两两独立C. D. 相互独立2、连续型随机变量X的密度函数f (x)必满足条件（ C ）。3、设是任意两个互相独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为和，分布函数分别为和，则（ B ）。A. 必为密度函数 B. 必为分布函数C. 必为分布函数 D. 必为密度函数4、设随机变量X, Y相互独立，且均服从0，1上的均匀分布，则服从均匀分布的是（ B ）。A. X Y B. （X, Y）C. X Y D. X + Y5、设为标准正态分布函数，且，相互独立。令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（ B ）。A. B C D 三（5）、市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的两倍，第二、第三厂家相等，且第一、第二、第三厂家的次品率依次为2，2，4。若在市场上随机购买一件商品为次品，问该件商品是第一厂家生产的概率为多少？ 解 设表示产品由第i家厂家提供，i=1, 2, 3；B表示此产品为次品。 则所求事件的概率为 答：该件商品是第一产家生产的概率为0.4。三（6）、甲、乙、丙三车间加工同一产品，加工量分别占总量的25%、35%、40%，次品率分别为0.03、0.02、0.01。现从所有的产品中抽取一个产品，试求（1）该产品是次品的概率；（2）若检查结果显示该产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率是多少？ 解：设，表示甲乙丙三车间加工的产品，B表示此产品是次品。 （1）所求事件的概率为 （2） 答：这件产品是次品的 概率为0.0185，若此件产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率为0.38。三（7）、一个机床有1/3的时间加工零件A，其余时间加工零件B。加工零件A时停机的概率是0.3，加工零件A时停机的概率是0.4。求（1）该机床停机的概率；（2）若该机床已停机，求它是在加工零件A时发 生停机的概率。 解：设，表示机床在加工零件A或B，D表示机床停机。 （1）机床停机夫的概率为 （2）机床停机时正加工零件A的概率为三（8）、甲、乙、丙三台机床加工一批同一种零件，各机床加工的零件数量之比为5：3：2，各机床所加工的零件合格率依次为94，90，95。现从加工好的整批零件中随机抽查一个，发现是废品，判断它是由甲机床加工的概率。 解 设，表示由甲乙丙三机床加工，B表示此产品为废品。（2分）则所求事件的概率为 答：此废品是甲机床加工概率为3/7。 三（9）、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，其概率分别为5、15、30、50，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100、70、60、90。已知该人误期到达，求他是乘坐火车的概率。 （10分）解：设，分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，B表示误期到达。 则 答：此人乘坐火车的概率为0.209。 三（10）、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，其概率分别为5、15、30、50，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100、70、60、90。求该人如期到达的概率。解：设，分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，B表示如期到达。 则 答：如期到达的概率为0.785。 四（1）设随机变量X的概率密度函数为求（1）A； （2）X的分布函数F (x)； （3） P (0.5 X 2 )。 解： (3) P（1/2X2）=F(2)F(1/2)=3/4 四（2）、已知连续型随机变量X的概率密度为 求（1）k ；（2）分布函数F (x)； （3）P (1.5 X 2.5) 解：(3) P（1.5X0.25)。 解：(3) P（X1/4）=1F(1/4)=7/8 四（4）、已知连续型随机变量X的概率密度为求（1）A；（2）分布函数F (x)；（3）P (0.5 X 1)。 ）解：(3) P（-0.5X1）=F(1)F(-0.5)=1 四（5）、已知连续型随即变量X的概率密度为 求（1）c； （2）分布函数F (x)；（3） P (-0.5 X 0.5)。 解：(3) P（-0.5X0.5）=F(0.5)F(-0.5)=1/3 四（6）、已知连续型随机变量X的分布函数为求（1）A，B； （2）密度函数f (x)；（3）P (1X2 )。 解：(3) P（1X2）=F(2)F(1)= 四（7）、已知连续型随机变量X的分布函数为求（1）A，B； （2）密度函数f (x)；（3）P (1X2 )。 解：(3) P（0X2）=F(2)F(0)= 四（8）、已知连续型随机变量X的分布函数为求（1）A； （2）密度函数f (x)；（3）P (0 X 0.25 )。 解：(3) P（0X0.25）=1/2 四（9）、已知连续型随机变量X的分布函数为求（1）A； （2）密度函数f (x)；（3）P (0 X 4 )。 、解：(3) P（0X4）=3/4 四（10）、已知连续型随机变量X的密度函数为求（1）a； （2）分布函数F (x)；（3）P (0.5 X 0.5 )。 解：(3) P（-0.5X0时，F Z (z)P (Zz)P (max (X, Y)z)P (Xz, Yz)P (Xz)P (Yz)。 因此，系统L的寿命Z的密度函数为f Z (z) 五（2）、已知随机变量XN（0，1），求随机变量YX 2的密度函数。 解：当y0时，F Y (y)P (Yy)P (X 2y)0； 当y0时，F Y (y)P (Yy)P (X 2y) 因此，f Y (y)五（3）、设系统L由两个相互独立的子系统L1、L2串联而成，且L1、L2的寿命分别服从参数为的指数分布。求系统L的寿命Z的密度函数。 解：令X、Y分别为子系统L1、L2的寿命，则系统L的寿命Zmin (X, Y)。 显然，当z0时，F Z (z)P (Zz)P (min (X, Y)z)0； 当z0时，F Z (z)P (Zz)P (min (X, Y)z)1P (min (X, Y)z)1P (Xz, Yz)1P (Xz)P (Yz)。 因此，系统L的寿命Z的密度函数为f Z (z) 五（4）、已知随机变量XN（0，1），求Y|X|的密度函数。 解：当y0时，F Y (y)P (Yy)P (|X |y)0； 当y0时，F Y (y)P (Yy)P (|X |y) 因此，f Y (y) 五（5）、设随机向量（X，Y）联合密度为f(x, y)= （1） 求系数A；（2） 判断X，Y是否独立，并说明理由；（3） 求P 0X2，0Y1。 解：（1）由1 可得A6。 （2）因（X，Y）关于X和Y的边缘概率密度分别为fX (x) 和 fY (y) ，则对于任意的 均成立f (x, y)= fX (x)* fY (y)，所以X与Y独立。 （3）P 0X2，0Y1 五（6）、设随机向量（X，Y）联合密度为f (x, y)= （1） 求系数A；（2） 判断X，Y是否独立，并说明理由；（3） 求P 0X1，0Y1。 解：（1）由1 可得A12。 （2）因（X，Y）关于X和Y的边缘概率密度分别为fX (x) 和 fY (y) ，则对于任意的 均成立f (x, y)= fX (x)* fY (y)，所以X与Y独立。 （3）P 0X1，0Y1 五（7）、设随机向量（X，Y）联合密度为f(x, y)= （1） 求（X，Y）分别关于X和Y的边缘概率密度fX(x)，fY(y)；（2） 判断X，Y是否独立，并说明理由。 解：（1）当x1时，fX (x)0；当0x1时，fX (x) 因此，（X，Y）关于X的边缘概率密度fX (x) 当y1时，fY (y)0；当0y1时，fY (y) 因此，（X，Y）关于Y的边缘概率密度fY (y) （2）因为f (1/2, 1/2)3/2，而fX (1/2) fY (1/2)(3/2)*(3/4)9/8f (1/2, 1/2)， 所以，X与Y不独立。 五（8）、设二维随机向量（X，Y）的联合概率密度为f (x, y)=（1） 求（X，Y）分别关于X和Y的边缘概率密度fX(x)，fY(y)；（2） 判断X与Y是否相互独立，并说明理由。 解：（1）当x0时，fX (x)0；当x0时，fX (x) 因此，（X，Y）关于X的边缘概率密度fX (x) 当y0时，fY (y)0；当y0时，fY (y) 因此，（X，Y）关于Y的边缘概率密度fY (y) （2）因为f (1, 2)e-2，而fX (1) fY (2)e-1*2e-22 e-3f (1, 2)， 所以，X与Y不独立。 五（9）、设随机变量X的概率密度为设F(x)是X的分布函数，求随机变量Y=F(X)的密度函数。 解：当y1时，F Y (y)P (Yy)P (F(X )y)1； 当0y1时，F Y (y)P (Yy)P (F(X )y) 因此，f Y (y) 五（10）、设随机向量（X，Y）联合密度为f(x, y)= （1）求（X，Y）分别关于X和Y的边缘概率密度fX(x)，fY(y)； （2）判断X，Y是否独立，并说明理由。 解：（1）当x1时，fX (x)0；当0x1时，fX (x) 因此，（X，Y）关于X的边缘概率密度fX (x) 当y1时，fY (y)0；当0y1时，fY (y) 因此，（X，Y）关于Y的边缘概率密度fY (y) （2）因为f (1/2, 1/2)2，而fX (1/2) fY (1/2)(3/2)*(1/2)3/4f (1/2, 1/2)， 所以，X与Y不独立。 六（1）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为求随机向量（XY， XY）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=7+9+2*6=28 D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=7+9-2*6=4 Cov(X+Y, X-Y)= DX-DY =7-9= -2 所以，（XY， XY）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 和 六（2）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为求随机向量（XY， XY）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=9+