三重积分专题培训市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

13.2 13.2 三重积分三重积分一、三重积分概念一、三重积分概念定义定义 设 在有界闭体 有定义.对任意分法 :将V分成个 小体 .设其体分别为 作和式:(1)第1页令 若当 时，（1）式存在极限 (数 与分法 无关也与 取法无关).即则称 在体 可积.是 在体 三重积分,记为 或第2页二、三重积分计算二、三重积分计算 与二重积分计算一样.求三重积分方法是将三重积分化为一次定积分与一次二重积分.进而化为三次定积分.其中体称 为积分区域,称为被积函数或 称为体积微元第3页在直角坐标系中计算法在直角坐标系中计算法 假如我们用三族平面假如我们用三族平面 x =常数，常数，y=常数常数,z =常数对空间区域进行分割那末每个规则小区常数对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体域都是长方体其体积为其体积为 故在直角坐标系下面积元为故在直角坐标系下面积元为三重积分可写成三重积分可写成 和二重积分类似，三重积分可化成三次积分和二重积分类似，三重积分可化成三次积分进行计算进行计算.详细可分为先单后重和先重后单详细可分为先单后重和先重后单第4页先单后重先单后重第5页也称为先一后二，切条法（也称为先一后二，切条法（先先z次次y后后x ）注意注意用完全类似方法可把三重积分化成其它次用完全类似方法可把三重积分化成其它次序下三次积分序下三次积分。第6页化三次积分步骤化三次积分步骤投影，得平面区域投影得平面区域穿越法定限，穿入点穿越法定限，穿入点下限，穿出点下限，穿出点上限上限对于二重积分，我们已经介绍过化为累次积分对于二重积分，我们已经介绍过化为累次积分方法方法例例1 将将化成三次积分化成三次积分其中其中 为长方体，为长方体，各边界面平行于坐标面各边界面平行于坐标面解解将将 投影到投影到xoy面得面得D，它是一个矩形，它是一个矩形在在D内任意固定一点（内任意固定一点（x,y)作平行于作平行于 z 轴直线轴直线交边界曲面于两点，其竖坐标为交边界曲面于两点，其竖坐标为 l 和和 m （l m)第7页例例2 计算计算其中其中 是三个坐标面与平面是三个坐标面与平面 x+y+z=1 所围成区域所围成区域解解画出区域画出区域DoDxyz第8页解解第9页先重后单先重后单 除了上面介绍先单后重法外，利用先重后除了上面介绍先单后重法外，利用先重后单法或切片法也可将三重积分化成三次积分单法或切片法也可将三重积分化成三次积分先重后单，就是先求关于某两个变量二重积分先重后单，就是先求关于某两个变量二重积分再求关于另一个变量定积分再求关于另一个变量定积分若若 f(x,y,z)在在 上连续上连续介于两平行平面介于两平行平面 z=c1 ,z=c2 (c1 c2 )之之间间用任一平行且介于此两平面平面去截用任一平行且介于此两平面平面去截 得区得区域域则则第10页 易见，若被积函数与易见，若被积函数与 x,y 无关，或二无关，或二重积分轻易计算时，用截面法较为方便，重积分轻易计算时，用截面法较为方便，尤其当尤其当 f(x,y,z)与与 x,y 无关时无关时 就是截面面积，如截面为圆、椭圆、就是截面面积，如截面为圆、椭圆、三角形、正方形等，面积较易计算三角形、正方形等，面积较易计算 第11页第12页例例5 计算计算解解第13页例例6解一解一先重后单先重后单解二解二先单后重先单后重将将 投影到投影到 xoy 面得面得D第14页三、三重积分换元三、三重积分换元换元公式柱面坐标变换球面坐标变换第15页在柱坐标系下计算法在柱坐标系下计算法要求：要求：第16页如图，柱面坐标系中体积元如图，柱面坐标系中体积元然后再把它化为三次积分来计算然后再把它化为三次积分来计算积分次序普通是先积分次序普通是先 z 次次 r 后后 积分限是依据积分限是依据 在积分区域中改变范在积分区域中改变范围来确定围来确定第17页例例1解解将将 投到投到xoy 面得面得D 若空间区域为以坐标轴为轴圆柱体、圆锥体若空间区域为以坐标轴为轴圆柱体、圆锥体或旋转体时，通常情况下总是考虑使用柱坐标来或旋转体时，通常情况下总是考虑使用柱坐标来计算。计算。第18页例例2第19页在球坐标系下计算法在球坐标系下计算法第20页要求要求如图，如图，球面坐标系中体积元素为球面坐标系中体积元素为第21页然后把它化成对然后把它化成对 三次积分三次积分详细计算时需要将详细计算时需要将 用球坐标系下不等式组表示用球坐标系下不等式组表示积分次序通常是积分次序通常是解一解一用球坐标用球坐标第22页解二解二用柱坐标用柱坐标第23页解解第24页第25页若若 积分区域为球体、球壳或其一部分积分区域为球体、球壳或其一部分被积函数呈被积函数呈 而用球坐标后积分区域球坐标方程比较而用球坐标后积分区域球坐标方程比较简单简单通常采取球坐标。通常采取球坐标。第26页重积分应用重积分应用1 1。平面图形面积。平面图形面积由二重积分性质，当由二重积分性质，当 f(x,y)=1 时时区域区域D面积面积2 2。空间立体体积。空间立体体积设曲面方程为设曲面方程为 则曲顶柱体体积为则曲顶柱体体积为第27页 由三重积分物理意义知空间闭区域由三重积分物理意义知空间闭区域 体体积为积为例例1 计算由曲面计算由曲面 与与 xoy 面所围成立体体积面所围成立体体积解一解一 用二重积分用二重积分由对称性得由对称性得第28页解二解二用三重积分用三重积分例例2所围成立体体积所围成立体体积第29页解解 是柱形区域，用柱坐标是柱形区域，用柱坐标3 3。曲面面积。曲面面积设曲面方程为：设曲面方程为：如图，如图，第30页曲面曲面S面积元素面积元素设曲面方程为：设曲面方程为：曲面面积公式为：曲面面积公式为：第31页设曲面方程为：设曲面方程为：曲面面积公式为：曲面面积公式为：解解曲面方程为曲面方程为 第32页第33页4 4。质量。质量面密度为面密度为 f(x,y)平面薄片质量平面薄片质量体密度为体密度为 f(x,y,z)空间体质量空间体质量5 5。平面薄片重心。平面薄片重心第34页第35页若薄片是均匀，若薄片是均匀，重心称为重心称为形心形心.6 6。平面薄片转动惯量。平面薄片转动惯量第36页第37页薄片对于薄片对于 轴转动惯量轴转动惯量薄片对于薄片对于 轴转动惯量轴转动惯量7 7。平面薄片对质点引力。平面薄片对质点引力第38页薄片对薄片对 轴上单位质点引力轴上单位质点引力为引力常数为引力常数第39页