研究生矩阵论课后习题答案(全)习题二.doc

习题二
1．化下列矩阵为Smith标准型：
（1）;
（2）;
（3）;
(4).
解：（1）对矩阵作初等变换

，
则该矩阵为Smith标准型为
；
（2）矩阵的各阶行列式因子为
,
从而不变因子为
故该矩阵的Smith标准型为
；
（3）对矩阵作初等变换

故该矩阵的Smith标准型为
;
(4)对矩阵作初等变换

在最后的形式中，可求得行列式因子
,
于是不变因子为
故该矩阵的Smith标准形为
.
2.求下列矩阵的不变因子：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
解：（1）该矩阵的右上角的2阶子式为1，故

而
，
所以该矩阵的不变因子为
;
（2）当时，由于
，，
故不变因子为
，
当时，由于
，
且该矩阵中右上角的3阶子式为
且，
则，故，所以该矩阵的不变因子为
;
（3）该矩阵的右上角的3阶子式为，故

而
，
所以该矩阵的不变因子为
;
（4）该矩阵的行列式因子为
,
所以该矩阵的不变因子为
.
3．求下列矩阵的初等因子：
（1）；
（2）.
解：(1)该矩阵的行列式因子为
，
故初等因子为；
(2) 该矩阵的行列式因子为
，
故不变因子为

因此，初等因子为.
4．求下列矩阵的Jordan标准形：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）.
解：（1）设该矩阵为，则
，
故的初等因子为
，
则的Jordan标准形为
；
（2）设该矩阵为，则
，
故的初等因子为
，
从而的Jordan标准形为
；
（3）设该矩阵为，则
,
故的初等因子为

从而的Jordan标准形为
;
（4）设该矩阵为，则
,
故的初等因子为
，
从而的Jordan标准形为
;
（5）设该矩阵为，则
,
故的初等因子为
，
从而的Jordan标准形为
;
（6）设该矩阵为，则
，
该矩阵的各阶行列式因子为
，
则不变因子为
，
故初等因子为
，
则的Jordan标准形为
.
5．设矩阵
，
求.
解：矩阵的特征多项式为
，
故的特征值为,.
属于特征值的特征向量为,
属于的特征向量为.
设
,,
则.,故
.
6.设矩阵
，
求的Jordan标准形，并求相似变换矩阵，使得.
解:(1) 求的Jordan标准形.
,
故其初等因子为
，
故的Jordan标准形
.
(2)求相似变换矩阵.
考虑方程组
即
解之,得
.
其通解为
=,
其中为任意常数.
考虑方程组

,
故当时,方程组有解.
取,解此方程组,得
.
则相似变换矩阵
.
7.设矩阵
，
试计算.
解: 矩阵的特征多项式为
,
由于
,
其中.
且
,
故
=.
8.证明：任意可逆矩阵的逆矩阵可以表示为的多项式.
证明:设矩阵的特征多项式为
,
则
,
即
,
因为可逆,故,则

9.设矩阵
，
试计算.
解: 矩阵的特征多项式为
,
则
,
而
,
故
.
10.已知3阶矩阵的三个特征值为1，－1，2，试将表示为的二次式.
解: 矩阵的特征多项式为
,
则设
,
由得

解之，得
,
因此
.
11.求下列矩阵的最小多项式：
（1）；（2）；
（3）阶单位阵；（4）阶方阵，其元素均为1；
（5）.
解:(1) 设,则
,
故该矩阵的最小多项式为.
(2) 设,则
,
故该矩阵有三个不同的特征值,因此其最小多项式为
(3) 阶单位阵的最小多项式为.
(4) 因为
,
又,即,故该矩阵的最小多项式为.
(5)因为
,
而是的因子,经检验知是矩阵的最小多项式.