1、1 第第3章章 函数迫近函数迫近3.13.1曲线拟合曲线拟合最小二乘法最小二乘法第1页23.1 曲线拟合最小二乘法曲线拟合最小二乘法问题提出问题提出某种合成纤维强度与其拉伸倍数有直接关系，某种合成纤维强度与其拉伸倍数有直接关系，下表是实际测定下表是实际测定2424个纤维样品强度与对应拉伸个纤维样品强度与对应拉伸倍数统计。倍数统计。提醒：将拉伸倍数作为提醒：将拉伸倍数作为x,x,强度作为强度作为y,y,在座标在座标纸上标出各点，能够纸上标出各点，能够发觉什么发觉什么?第2页3数据表格数据表格第3页4数据图数据图第4页5曲线拟合曲线拟合 已已知知离离散散数数据据yi=f(xi)(i=0,1,2,n
2、)往往往往是是经经过观察而得到，经常带有观察误差。过观察而得到，经常带有观察误差。曲曲线线拟拟合合：希希望望找找到到条条曲曲线线，它它既既能能反反应应结结定定数数据据总总体体分分布布形形式式，又又不不致致于于出出现现局局部部较较大大波波动动。这这种种迫迫近近方方式式只只要要所所结结构构迫迫近近函函数数(x)与与被被迫迫近近函函数数f(x)在在区区间间 a,b 上上偏偏差差满满足足其其种种要要求即可。求即可。第5页6偏差偏差 设给定数据点设给定数据点(xi,yi),(i=0,1,2,n),记记并称并称ei为为偏差偏差。第6页7最小二乘法最小二乘法曲线拟合最小二乘法：以使得曲线拟合最小二乘法：以使
3、得偏差平方和偏差平方和最小为标准最小为标准第7页8例题例题例例3.1 某合金成份某合金成份x与膨胀系数与膨胀系数y之间关系有以之间关系有以下试验数据，求膨胀系数下试验数据，求膨胀系数y与成份与成份x拟合曲线拟合曲线y=P(x)。i0123456x37383940414243y3.40 3.00 2.101.531.801.902.90第8页9例题例题解解 将数据标在坐标纸上，由散点图能够将数据标在坐标纸上，由散点图能够推断他们大致分布在一条抛物线上。为推断他们大致分布在一条抛物线上。为此取此取第9页10例题例题第10页11例题例题第11页12例题例题得到方程组称为得到方程组称为矛盾方程组矛盾方
4、程组。令。令第12页13例题例题得得上述方程组称为上述方程组称为矛盾方程组矛盾方程组。两边同乘以。两边同乘以即即第13页14例题例题解得解得于是所求拟合曲线为于是所求拟合曲线为第14页15线性矛盾方程组线性矛盾方程组方程个数方程个数大于大于未知量个数方程组称为矛盾方程组，未知量个数方程组称为矛盾方程组，普通形式为普通形式为即即第15页16线性矛盾方程组（续）线性矛盾方程组（续）Axb A是是 n m阶列满秩矩阵阶列满秩矩阵,x是是 m维列维列向量向量,b是是 n维列向量维列向量,剩下向量剩下向量（3.11）（3.12）第16页17线性矛盾方程组（续）线性矛盾方程组（续）第17页18线性矛盾方程
5、组（续）线性矛盾方程组（续）该式称为方程组该式称为方程组Axb 法方程。所以，求解法方程。所以，求解n阶矛盾阶矛盾方程组问题转化求解方程组问题转化求解m阶线性方程组阶线性方程组问题。问题。第18页19例题例题例例3.2 对例对例3.2中数据，试求形如中数据，试求形如拟合函数。拟合函数。解：按题意，得矛盾方程组，解：按题意，得矛盾方程组，第19页20例题例题第20页21例题例题写成矩阵形式，为写成矩阵形式，为其中其中 第21页22例题例题其法方程为其法方程为即即第22页23例题例题23解出解出所以所求拟合函数为所以所求拟合函数为第23页24例题例题例例3.3 已知观察数据已知观察数据(1，-5)
6、，(2，0)，(4，5)，(5，6)，试用最小二乘法求形如，试用最小二乘法求形如上经验公式上经验公式。第24页25例题例题25解：记解：记按题意，得矛盾方程组，按题意，得矛盾方程组，写成矩阵形式，为写成矩阵形式，为第25页26例题例题写成矩阵形式，为写成矩阵形式，为其中其中 第26页27例题例题其法方程为其法方程为即即27其法方程为其法方程为即即解得解得 于是所求拟合曲线为于是所求拟合曲线为第27页28已知观察数据已知观察数据(1，5)，(2，21)，(3，46)，试用最小二乘法求形如，试用最小二乘法求形如上经验公式上经验公式。非线性最小二乘拟合非线性最小二乘拟合第28页29非线性最小二乘拟合
7、非线性最小二乘拟合得到是非线性方程组，求解通常比得到是非线性方程组，求解通常比较困难。较困难。第29页30非线性最小二乘拟合非线性最小二乘拟合两边取对数，得两边取对数，得则得则得令令（1）第30页31非线性最小二乘拟合非线性最小二乘拟合两边取自然对数，得两边取自然对数，得令令则得则得（2）第31页32非线性最小二乘拟合（续）非线性最小二乘拟合（续）（3）两边取对数，得两边取对数，得则得则得令令第32页33非线性最小二乘拟合（续）非线性最小二乘拟合（续）令令则得则得（4 4）第33页34非线性最小二乘拟合（续）非线性最小二乘拟合（续）（5）令令则得则得第34页35例题例题例例3.4 给定试验数据
8、给定试验数据 x1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 y5.10 5.79 6.53 7.45 8.46试求形如试求形如拟合函数。拟合函数。第35页36例题例题解解 对拟合函数两边取自然对数，即对拟合函数两边取自然对数，即令令则上式则上式 成为关于成为关于A，b线性函数线性函数第36页37例题例题依据数据依据数据(x,y)算出对应算出对应(z,w),得下表得下表 z1.001.251.501.752.00 w1.6292 1.7561 1.8764 2.0082 2.1353建立法方程建立法方程第37页38例题例题解得解得所以，所求拟合函数为所以，所求拟合函数为第38页39本章小结本章小结 最小二乘法曲线拟和是试验数据处理惯用方法。最小二乘法曲线拟和是试验数据处理惯用方法。对于对于非线性最小二乘拟合非线性最小二乘拟合，需首先转化为，需首先转化为线性线性最小二乘拟合最小二乘拟合后求解。后求解。第39页40第40页
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