1、第三章第三章 一阶微分方程解存在定理一阶微分方程解存在定理第1页第2页需处理问题第3页3.1 解存在唯一性定理与逐步解存在唯一性定理与逐步迫近法迫近法第4页一 存在唯一性定理1 定理1 考虑初值问题第5页(1)初值问题(3.1)解等价于积分方程连续解.证实思绪(2)结构(3.5)近似解函数列第6页(逐步求(3.5)解,逐步迫近法)第7页这是为了即第8页第9页下面分五个命题来证实定理,为此先给出积分方程解假如一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符号下含有未知函数,则称这么关系式为积分方程.积分方程第10页命题1 初值问题(3.1)等价于积分方程证实:即第11页反之故对上式两边求导,得且第12
2、页结构Picard逐步迫近函数列问题:这么结构函数列是否行得通,即上述积分 是否有意义?注第13页命题2证实:(用数学归纳法)第14页第15页命题3证实:考虑函数项级数它前n项部分和为第16页对级数(3.9)通项进行预计第17页第18页于是由数学归纳法得知,对全部正整数n,有第19页现设命题4证实:第20页即第21页命题5证实:由第22页第23页综合命题15得到存在唯一性定理证实.第24页一 存在唯一性定理1 定理1 考虑初值问题第25页命题1 初值问题(3.1)等价于积分方程结构Picard逐步迫近函数列命题2第26页命题3命题4命题5第27页2 存在唯一性定理说明第28页第29页第30页第31页3 一阶隐方程解存在唯一性定理定理2考虑一阶隐方程则方程(3.5)存在唯一解满足初始条件第32页三 近似计算和误差预计求方程近似解方法-Picard逐步迫近法,这里第33页注:上式可用数学归纳法证实则第34页例1 讨论初值问题解存在唯一区间,并求在此区间上与真正解误差不超解因为由(3.19)第35页第36页例2 求初值问题解存在唯一区间.解第37页例3 利用Picard迭代法求初值问题解.解与初值问题等价积分方程为第38页其迭代序列分别为取极限得即初值问题解为第39页作业P78 1,3,4,8第40页
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