1、第第1页页一致收敛性及其判别法一致收敛性及其判别法含参量反常积分性质含参量反常积分性质第第2页页一、一、一致收敛性及其判别法一致收敛性及其判别法第第3页页都收敛，由反常积分收敛定义，即都收敛，由反常积分收敛定义，即其中其中 N 与与 x 相关相关.假如存在一个与假如存在一个与无关无关使得该不等式成立，就称使得该不等式成立，就称反常积分在区间反常积分在区间 a,b 上一致收敛上一致收敛设反常积分设反常积分在在 a,b 收敛收敛使得使得第第4页页第第5页页所以上述定义中不等式所以上述定义中不等式因为因为也可表示为也可表示为第第6页页第第7页页分析分析 要证：要证：第第8页页证证令令 u=x y,得
2、得其中其中 A 0.因为因为收敛，故收敛，故就有就有取取 则当则当对一切对一切有有从而从而第第9页页所以所以一致收敛一致收敛.第第10页页第第11页页第第12页页证证因为，有因为，有而且反常积分而且反常积分收敛收敛所以所以第第13页页证实含参量反常积分证实含参量反常积分 在在 上一致收敛上一致收敛 .含参量反常积分含参量反常积分 在在 上一致收敛上一致收敛 .第第14页页狄利克雷判别法狄利克雷判别法设设 存在存在 M 0,对一切对一切 N N c c,及一切及一切 x a,b 都有都有 对每一个固定对每一个固定 x a,b，函数，函数 g(x,y)关于关于 y 单调递减且当单调递减且当时，对时
3、，对参量参量 x,g(x,y)一致一致地收敛于地收敛于 0，则则在在 a,b 上一致收敛上一致收敛.第第15页页阿贝尔判别法阿贝尔判别法设设 对每一个固定对每一个固定 x a,b，函数，函数 g(x,y)为为 y 单调函数，且存在单调函数，且存在 M 0,使得使得则则在在 a,b 上一致收敛上一致收敛.在在 a,b 上一致收敛上一致收敛.第第16页页证证因为，反常积分因为，反常积分收敛，收敛，从而对于参量从而对于参量 y 它在它在 0,d 上一致收敛，上一致收敛，函数函数对每个对每个 x 0,d，关于，关于参量参量 y 单调降低，且在单调降低，且在 0,d 上一致有界：上一致有界：故由阿贝尔判
4、别法，知故由阿贝尔判别法，知在在 0,d 上一致收敛上一致收敛第第17页页定理定理 19.9（连续性）（连续性）设设二、二、含参量反常积分性质含参量反常积分性质在在连续，若连续，若第第18页页证证在在连续，连续，因为因为由定理由定理19.819.8，对任一递增且趋于，对任一递增且趋于数列数列函数项级数函数项级数在在 a,b 上一致收敛上一致收敛.又因为又因为故每个故每个 un(x)都在都在 a,b 上连续上连续.依据函数项依据函数项级数连续性定理，函数级数连续性定理，函数第第19页页积分号下求导定理积分号下求导定理第第20页页即即:第第21页页可微性定理表明在定理条件下可微性定理表明在定理条件
5、下,求导运算和积分运算求导运算和积分运算能够交换能够交换.即即第第22页页例例 5 利用积分号下求导求积分利用积分号下求导求积分 解解 因为因为 因为因为 故故 第第23页页由数学归纳法易证由数学归纳法易证于是于是 第第24页页积分次序交换定理积分次序交换定理第第25页页积分积分与与中有一个收敛，则另一个积分也收敛，且中有一个收敛，则另一个积分也收敛，且第第26页页例例4 计算积分计算积分 解解 第第27页页含参量无界函数非正常积分含参量无界函数非正常积分设设在在上有定义上有定义.若对若对 x 一些值，一些值，y=d 为函数为函数瑕点，则称瑕点，则称为含参量为含参量 x 无界函数反常积分，或简称为含参无界函数反常积分，或简称为含参量反常积分量反常积分.第第28页页
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