1、第三节第三节 高斯公式与斯托克斯公式高斯公式与斯托克斯公式一一 问题提出问题提出二二 Gauss Gauss 公式公式三三 简单应用简单应用四四 通量与散度通量与散度五五 小结小结第1页一一 问题提出问题提出 格林公式表示了平面区域上二重积格林公式表示了平面区域上二重积分与其边界曲线上曲线积分之间关系。分与其边界曲线上曲线积分之间关系。而在空间上，也有一样类似结论，这而在空间上，也有一样类似结论，这就是高斯公式，它表示了空间区域上就是高斯公式，它表示了空间区域上三重积分与区域边界曲面上曲面积分三重积分与区域边界曲面上曲面积分之间关系。之间关系。第2页二二 高斯公式高斯公式第3页证实证实取下侧取
2、下侧取上侧取上侧第4页依据三重积分计算法依据三重积分计算法依据曲面积分计算法依据曲面积分计算法第5页第6页同理同理-高斯高斯公式公式和并以上三式得：和并以上三式得：第7页GaussGauss公式实质公式实质 表示了空间闭区域上三重积分与其边界曲表示了空间闭区域上三重积分与其边界曲面上曲面积分之间关系面上曲面积分之间关系.由两类曲面积分之间关系知由两类曲面积分之间关系知第8页三 高斯公式简单应用解解第9页(利用柱面坐标得利用柱面坐标得)第10页使用使用GuassGuass公式时应注意验证条件公式时应注意验证条件:第11页第12页解解空间曲面在空间曲面在 面上投影域为面上投影域为曲面曲面 不是封闭
3、曲面不是封闭曲面,为利用为利用高斯公式高斯公式第13页第14页故所求积分为故所求积分为第15页第16页利用高斯公式利用高斯公式第17页四四 通量与散度通量与散度1)1)通量定义通量定义:设有向量场设有向量场 第18页2)2)散度定义散度定义:第19页散度在直角坐标系下形式散度在直角坐标系下形式积分中值定理积分中值定理,两边取极限两边取极限,第20页高斯公式可写成高斯公式可写成第21页五五 小结小结（1）应用条件）应用条件（2）物理意义）物理意义2 高斯公式实质高斯公式实质1 高斯公式高斯公式第22页六六 问题提出问题提出 Stokes Stokes 公式是公式是GreenGreen公式推广公式
4、推广.后者表示了平面闭区域二重积分后者表示了平面闭区域二重积分与其边界曲线上曲线积分之间关与其边界曲线上曲线积分之间关系，而前者则表示了曲面积分与系，而前者则表示了曲面积分与曲面边界曲线曲线积分之间联络曲面边界曲线曲线积分之间联络.第23页七七 斯托克斯公式斯托克斯公式斯托克斯公式斯托克斯公式第24页经过右手法则来确定经过右手法则来确定证实证实如图如图第25页第26页根椐格林公式根椐格林公式第27页空间有向曲线空间有向曲线同理可证同理可证故有结论成立故有结论成立.第28页另一个形式另一个形式便于记忆形式，利用行列式记号把（便于记忆形式，利用行列式记号把（Stokes)公式写成公式写成第29页StokesStokes公式实质公式实质:表示了有向曲面上曲面积分与其边界曲线上表示了有向曲面上曲面积分与其边界曲线上曲线积分之间关系曲线积分之间关系.斯托克斯公式斯托克斯公式格林公式格林公式特殊情形特殊情形第30页八八 应用应用解解按斯托克斯公式按斯托克斯公式,有有第31页第32页解解则则第33页即即第34页十一小结十一小结斯托克斯公式成立条件斯托克斯公式成立条件斯托克斯公式斯托克斯公式第35页
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