1、第三章 复变函数积分n第一节 积分概念及性质n第二节 Cauchy定理n第三节 原函数与不定积分n第四节 Cauchy积分公式与高阶导数n第五节 解析函数与调和函数关系第1页第一节 积分概念及性质n概念设C是z平面上一分段光滑有向曲线，函数 f(z)在C上定义。分割：取极限：求和：第2页n性质第3页n积分存在条件及计算方法1.归为两个二元函数线积分来计算，计算公式为：存在条件：当 是连续函数而 是光滑曲线，积分 一定存在 计算方法：第4页2.利用曲线C参数方程C:z=z(t)(t:)将它转化为定积分：第5页举例其中：(1)C为由原点到(2,0)再到(2,1)折线；(2)C为由原点到(2,1)直
2、线段其中：(1)C为由原点到(1,0)再到(1,1)折线；(2)C为由原点到(1,1)直线段其中：C为以 为中心以 为半径正向圆周第6页第二节 Cauchy定理n单连通区域上Cauchy定理假如函数f(z)在单连通区域G内处处解析，则沿G内任何一条光滑闭合曲线C有：第7页推广 假如函数f(z)在单连通区域G内解析，在 上连续，则沿 上任何一条光滑闭合曲线C（当然包含 边界）有：举例证实：x yO1-1-1+i-1-i第8页闭路变形原理:n复连通区域上Cauchy定理 一个解析函数沿闭曲线积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它值，只要变形过程中曲线不经过函数不解析点。第9页复合闭路定理:设C
3、0是多连通区域G内一条简单闭曲线，是在C0内部简单闭曲线，它们互不包含也不相交，且以 为边界区域全属于G，假如 在D内解析，那么第10页计算积分：计算积分：x yO2-21x y-12-21n举例xyO1计算积分：其中 为包含|z|=1在内任何正向闭曲线第11页第三节 原函数与不定积分定理定理一定理一：设 f(z)是单连通区域B内解析函数，沿B内任一路径积分 只与起点、终点相关，而与在B内积分路径无关，所以当起点z0属于B固定时，这么该积分就定义一个关于终点z单值函数，记作zz0B第12页定理二：定理二：假如 f(z)是单连通区域B内解析函数，那么函数F(z)必为B内一个解析函数，而且有第13
4、页n原函数定义 若函数 在区域B内满足：,则称 是f(z)在区域B内原函数。定理二表明 是 一个原函数。两个原函数差是一个常数。说明第14页n不定积分函数 f(z)原函数普通表示式F(z)+C（其中C 是任意常数）被称为函数 f(z)不定积分，记作第15页定理三：定理三：若函数 f(z)在单连通区域B内解析，而F(z)是它一个原函数，则有其中z1,z2 属于区域B。z2z1B第16页举例计算积分：计算积分：沿区域 Im(z)0,Re(z)0 内圆弧|z|=1第17页第四节 柯西积分公式与高阶导数nCauchy积分公式定理：定理：设 f(z)在区域B内处处解析，C为B内任何一条正向简单闭曲线，其
5、内部完全含于B，则对C内任一点 ，有或BB0z第18页 尤其地：假如C是圆周 ，那么上式则为：说明，一个解析函数在圆心处值等于它在圆周上平均值。第19页举例2：3：1：计算以下积分：4：第20页n高阶导数公式定理：定理：解析函数 f(z)导数仍为解析函数，它n阶导数为：说明复变函数中设函数 f(z)在某区域内解析是一个要求很高条件其中 为在函数 解析区域B内围绕 任何一条正向简单闭曲线，而且其内部完全含于B。第21页举例计算积分：计算积分：第22页第五节 解析函数和调和函数关系n调和函数定义假如二元实变函数 在区域D内含有二阶连续偏导数且满足以下拉普拉斯（Laplace)方程：那么称实变函数
6、为区域D内调和函数.第23页两个调和函数 和 在区域D内满足C-R方程：那么我们把 称为 共轭调和函数。n共轭调和函数定义第24页定理：定理：任何在区域D内解析函数 f(z)，它实部和虚部都是D内调和函数。关于调和函数与解析函数关系，有以下定理说明1.区域D内解析函数虚部为实部共轭调和函数，注意虚部和实部关系不能颠倒。2.任意两个调和函数 和 所组成函数 不一定是解析函数。第25页n已知解析函数实部或虚部，求该解析函数1.偏积分法举例例1：证实 为调和函数，并求其共 轭调和函数 和由它们组成解析函数。第26页2.不定积分法将上式积分可得：举例用这种方法求解例1中解析函数。第27页本章小结第28页
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