1、可降阶高阶微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第六节一、一、型微分方程型微分方程 二、二、型微分方程型微分方程 三、三、型微分方程型微分方程 第十二章 第1页一、一、令所以即同理可得依次经过 n 次积分,可得含 n 个任意常数通解.型微分方程型微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页例例1.解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页例例2.质量为 m 质点受力F 作用沿 ox 轴作直线运动,在开始时刻伴随时间增大,此力 F 均匀地减直到 t=T 时 F(T)=0.假如开始时质点在原点,解解:据题意有t=0 时设力 F 仅是时间 t 函数:F=F(t).小,求质点运动
2、规律.初初速度为0,且对方程两边积分,得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页利用初始条件于是两边再积分得再利用故所求质点运动规律为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页型微分方程型微分方程 设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分,得原方程通解二、二、机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页例例3.求解解解:代入方程得分离变量积分得利用于是有两端再积分得利用所以所求特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页例例4.绳索仅受重力作用而下垂,解解:取坐标系如图.考查最低点 A 到(:密度,s:弧长)弧段重力大小按静力平衡条件,有故有设有一均匀,柔软绳索,两端固定,问该绳索平
3、衡状态是怎样曲线?任意点M(x,y)弧段受力情况:A 点受水平张力 HM 点受切向张力T两式相除得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页则得定解问题:原方程化为两端积分得则有两端积分得故所求绳索形状为悬悬 链链 线线机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页三、三、型微分方程型微分方程 令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分,得原方程通解机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页例例5.求解代入方程得两端积分得(一阶线性齐次方程)故所求通解为解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页M:地球质量m:物体质量例例6.静止开始落向地面,求它落到地面时速度和所需时间(不计空气阻力).
4、解解:如图所表示选取坐标系.则有定解问题:代入方程得积分得一个离地面很高物体,受地球引力作用由 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页两端积分得所以有注意注意“”号号机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页因为 y=R 时由原方程可得所以落到地面(y=R)时速度和所需时间分别为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页说明说明:若此例改为如图所表示坐标系,解方程可得问问:此时开方根号前应取什么符号?说明道理.则定解问题为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页例例7.解初值问题解解:令代入方程得积分得利用初始条件,依据积分得故所求特解为得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1
5、6页为曲边曲边梯形面积上述两直线与 x 轴围成三角形面例例8.二阶可导,且上任一点 P(x,y)作该曲线切线及 x 轴垂线,区间 0,x 上以解解:于是在点 P(x,y)处切线倾角为,满足方程.积记为(99 考研考研 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页再利用 y(0)=1 得利用得两边对 x 求导,得定解条件为方程化为利用定解条件得得故所求曲线方程为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页内容小结内容小结可降阶微分方程解法 降阶法逐次积分令令机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页思索与练习思索与练习1.方程怎样代换求解?答答:令或普通说,用前者方便些.均可.有时用后者方便
6、.比如,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?答答:(1)普通情况,边解边定常数计算简便.(2)碰到开平方时,要依据题意确定正负号.例例6例例7机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页 P292 1(5),(7),(10);2(3),(6);3;4 作业作业 第七节 目录 上页 下页 返回 结束 第21页速度大小为 2v,方向指向A,提醒提醒:设 t 时刻 B 位于(x,y),如图所表示,则有去分母后两边对 x 求导,得又因为设物体 A 从点(0,1)出发,以大小为常数 v 备用题备用题速度沿 y 轴正向运动,物体 B 从(1,0)出发,试建立物体 B 运动轨迹应满足微分方程及初始条件.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页代入 式得所求微分方程:其初始条件为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页
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