分析动力学基础及运动方程的建立省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

结构动力学 第 2 章 分析动力学基础及 运动方程建立第1页第2章 分析动力学基础及运动方程建立 2.1 基本概念 广义坐标与动力自由度 功和能 实位移、可能位移和虚位移 广义力 惯性力 弹簧恢复力 阻尼力 线弹性体系和粘弹性体系 非弹性体系第2页2.1 基本概念2.1.1 广义坐标与动力自由度广义坐标：能决定质点系几何位置彼彼此此独独立立量称为该质点系广义坐标。广义坐标能够取长度量纲量，也能够用角度甚至面积和体积来表示。静力自由度：确定结构体系在空间中位置所需独独立立参参数数数目称为结构自由度。动力自由度：结构体系在任意瞬时一切可能变形中，决定全部质量位置所需独独立立参参数数数目称为结构动力自由度。广义坐标必须是相互独立参数，其选择标准是使解题方便。动力自由度数目与结构体系约束情况相关。第3页2.1 基本概念2.1.2 功和能q功 q有势力和势能 q动能满足以下性质力称为有势力：（1）力大小和方向只决定于体系中各质点位置；（2）力作功只取决于运动起始点和终点相对位置，而与详细运动路径无关。第4页2.1 基本概念2.1.3 实位移、可能位移和虚位移可能位移：满足全部约束方程位移称为体系可能位移。实位移：假如位移不但满足约束方程，而且满足运动方程 和初始条件，则称为体系实位移。虚位移：在某一固定时刻，体系在约束许可情况下可能 产生任意组微小位移，称为体系虚位移。第5页2.1 基本概念2.1.4 广义力广义力是标量而非矢量，广义力与广义坐标乘积含有功量纲。第6页2.1 基本概念2.1.5 惯性力（Inertial Force）惯性：保持物体运动状态能力。惯性力：大小等于物体质量与加速度乘积，方向与加速度方向相反。I 表示惯性（Inertial）；m 质量（mass）；坐标方向：向右为正 质点加速度。第7页2.1 基本概念2.1.6 弹簧恢复力（Resisting Force of Spring）对弹性体系，弹簧恢复力也被称为弹性恢复力 弹性恢复力：大小等于弹簧刚度与位移(弹簧变形)乘积 方向指向体系平衡位置。s 表示弹簧（Spring）k 弹簧刚度（Spring Stiffness）u 质点位移 第8页2.1 基本概念单层框架结构水平刚度 h框架结构高度L梁长度E弹性模量Ib和Ic梁和柱截面惯性矩第9页2.1 基本概念2.1.7 阻尼力（Damping Force）阻尼：引发结构能量耗散，使结构振幅逐步变小一个作用。阻尼起源（物理机制）：(1)固体材料变形时内摩擦，或材料快速应变引发热耗散；(2)结构连接部位摩擦，结构构件与非结构构件之间摩擦；(3)结构周围外部介质引发阻尼。比如，空气、流体等。粘性(滞)阻尼力可表示为：D 表示阻尼（Damping）c 阻尼系数（Damping coefficient）质点运动速度 第10页2.1 基本概念阻尼系数 c 确实定：不能像结构刚度k那样可经过结构几何尺寸、构件尺寸和材料力学性质等来取得，因为c是反应了各种耗能原因综合影响系数，阻尼系数普通是经过结构原型振动试验方法得到。粘性(滞)阻尼理论仅是各种阻尼中最为简单一个。其它惯用阻尼：摩擦阻尼：阻尼力大小与速度大小无关，普通为常数；滞变阻尼：阻尼力大小与位移成正比(相位与速度相同)；流体阻尼：阻尼力与质点速度平方成正比。滞变阻尼时滞阻尼复阻尼第11页2.1 基本概念2.1.8 线弹性体系和粘弹性体系(Linearly Elastic System and Viscous Elastic System)线弹性体系线弹性体系：由线性弹簧（或线性构件）组成体系。最简单理想化力学模型。粘弹性体系粘弹性体系：当线弹性系统中深入考虑阻尼（粘性阻 尼）影响时体系。结构动力分析中最基本力学模型。第12页2.1 基本概念2.1.9 非弹性体系(Inelastic System)结构构件力-变形关系为非线性关系，结构刚度不再为常数。构件（或弹簧）恢复力可表示为 fs是位移和速度 非线性函数。图2.6 非弹性体系中结构构件力与位移关系 第13页第2章 分析动力学基础及运动方程建立 2.2 基本力学原理与 运动方程建立 DAlembert原理 虚位移原理 Hamilton原理 Lagrange方程第14页2.2 基本力学原理与运动方程建立运动方程：描述结构中力与位移(包含速度和加速度)关系 数学表示式。（有时也称为动力方程）v运动方程是进行结构动力分析基础基础v运动方程建立是结构动力学重点重点和难点难点本章首先经过对简单结构体系(单自由度体系)讨论介绍结构动力分析中存在基本物理量及建立运动方程方法，然后介绍更复杂多自由度体系运动方程建立。第15页基本动力体系：应包含结构动力分析中包括全部物理量。应包含结构动力分析中包括全部物理量。质量；弹簧；阻尼器。质量；弹簧；阻尼器。单自由度体系：SDOF(Single-Degree-of-Freedom)System 结构运动状态仅需要一个几何参数即能够确定结构运动状态仅需要一个几何参数即能够确定 第16页基本动力体系两个经典单自由度体系 (a)单层框架结构(b)弹簧质点体系 物理元件：物理元件：质量质量 集中质量m 阻尼器阻尼器 阻尼系数c 弹簧弹簧 弹簧刚度k两个力学模型完全等效因为两个体系运动方程相同 第17页2.2 基本力学原理与运动方程建立2.2.1 DAlembert原理（直接动力平衡法）DAlembert原理：在体系运动任一瞬时，假如除了实际作用结构主动力（包含阻尼力）和约束反力外，再加上（假想）惯性力，则在该时刻体系将处于假想平衡状态（动力平衡）。单质点体系受力分析 第18页2.2 基本力学原理与运动方程建立2.2.1 DAlembert原理DAlembert原理优点原理优点：静力问题是人们所熟悉，有了DAlembert 原理之后，形式上动力问题就变成了静力问题，静力问题中用来建立控制方程方法，都能够用于建立动力问题平衡方程，使对动力问题思索有一定简化。对很多问题，DAlembert原理是用于建立运动方程最直接、最简便方法。DAlembert原理贡献原理贡献：建立了动力平衡（简称：动平衡）概念。第19页2.2 运动方程建立 可能位移；实位移；虚位移 2.2.2 虚位移原理虚位移原理：在一组外力作用下平衡系统发生一个虚位移时，外力在虚位移上所做虚功总和恒等于零。虚位移是指满足体系约束条件无限小位移。设体系发生一个虚位移u，则平衡力系在u上做总虚功为:单质点体系受力分析第20页2.2 基本力学原理与运动方程建立2.2.2 虚位移原理虚虚位位移移原原理理优优点点：虚位移原理是建立在对虚功分析基础之上，而虚功是一个标量，能够按代数方式运算，因而比DAlembert原理中需要采取矢量运算更简便。对以下列图所表示结构体系，用虚位移原理建立方程更简便一些 第21页2.2 基本力学原理与运动方程建立2.2.3 Hamilton原理能够应用变分法（原理）建立结构体系运动方程。在数学上，变分问题就是求泛函极值问题。在这里，泛函就是结构体系中能量（功）。变分法是求体系能量（功）极值。体系平衡位置是体系稳定位置，在稳定位置，体系能量取得极值,普通是极小值。Hamilton原理是动力学中变分法（原理）。第22页2.2 基本力学原理与运动方程建立2.2.3 Hamilton原理(积分形式动力问题变分方法)Hamilton原理：在任意时间区段t1,t2内，体系动能和位能变分加上非保守力做功变分等于0。T 体系总动能；V 体系位能，包含应变能及任何保守力势能；Wnc 作用于体系上非保守力(包含阻尼力及任意外荷载)所做功；在指定时间段内所取变分。对于静力问题:最小势能原理。第23页2.2 基本力学原理与运动方程建立2.2.3 Hamilton原理 Hamilton原原理理优优点点：不显著使用惯性力和弹性力，而分别用对动能和位能变分代替。因而对这两项来讲，仅包括处理纯标量，即能量。而在虚位移原理中，尽管虚功本身是标量，但用来计算虚功力和虚位移则都是矢量。动能：集中质量 转动质量位能：拉伸弹簧 转动弹簧多自由度体系：动能 位能第24页2.2 基本力学原理与运动方程建立用Hamilton原理建立体系运动方程体系动能：位能(弹簧应变能)：所以能量变分：非保守所做功变分(等于非保守力在位移变分上作功)将以上两式代入Hamilton原理变分公式，得：对上式中第一项进行分部积分第25页2.2 基本力学原理与运动方程建立2.2.4 Lagrange方程 Hamilton原理是一个积分形式动力问题变分方法，实际还有另外与之等价微分形式动力问题变分原理，就是运动Lagrange方程，其表示式以下：其中：T 体系动能；V 体系位能，包含应变能及任何保守力势能；Qj与qj对应广义力。第26页2.2.4 Lagrange运动方程 算例2.8 如图所表示一复合摆，摆杆长分别为l1和l2，摆质量分别为m1和m2，忽略杆分布质量，采取Lagrange方程建立体系无阻尼自由运动方程。广义坐标q1和q2取为杆1和杆2转角。为方便计算体系动能，也给出了直角坐标系，在直角坐标系中更轻易建立体系势能和动能公式。第27页2.2.4 Lagrange运动方程 直角坐标x、y 算例2.8和广义坐标q1、q2关系及其速度之间关系以下：第28页2.2.4 Lagrange运动方程 算例2.8体系动能T：设q1=q2=0时是0势能位置，则势能（位能）V：第29页2.2.4 Lagrange运动方程 算例2.8取Lagrange方程中i=1,2，得到，假设非保守力，即阻尼力和外力都为零，则Q1=Q2=0，将T和V代入Lagrange方程得复合摆运动方程：能够发觉以上运动方程公式是高度非线性。第30页2.2.4 Lagrange运动方程 算例2.8复合摆运动方程：当微幅振荡时，q1、q2很小，忽略高阶小量，运动方程可化为：这是一线性方程组，可见只有当微幅摆动时，复合摆运动方程才成为线性。当m2=0时，得到单摆运动方程:第31页2.2 基本力学原理与运动方程建立2.2.4 Lagrange方程 应用Lagrange方程方法建立体系运动方程步骤：1.建立坐标系，确定广义坐标；2.建立广义坐标与物理坐标之间关系；3.写出体系动能和势能表示式；4.代入Lagrange方程写出体系运动方程。第32页四种建立运动方程方法特点DAlembert原理：原理：是一个简单、直观建立运动方程方法，得到广泛应用。DAlembert原理建立了动平衡概念，使得在结构静力分析中一些方法能够直接推广到动力问题。当结构含有分布质量和弹性时，直接应用DAlembert原理，用动力平衡方法来建立体系运动方程可能是困难。虚位移原理：虚位移原理：部分防止了矢量运算，在取得体系虚功后，能够采取标量运算建立体系运动方程，简化了运算。第33页五种建立运动方程方法特点Hamilton原理：原理：是一个建立运动方程能量方法(积分形式变分原理)，假如不考虑非保守力作功（主要是阻尼力），它是完全标量运算，但实际上直接采取Hamilton原理建立运动方程并不多。Hamilton原理美妙在于它以一个极为简练表示式概括了复杂力学问题。Lagrange方程：方程：得到更多应用，它和Hamilton原理一样，除非保守力（阻尼力）外，是一个完全标量分析方法，无须直接分析惯性力和保守力（主要是弹性恢复力），而惯性力和弹性恢复力是建立运动方程时最为困难处理对象。第34页2.2 基本力学原理与运动方程建立4 4种种建立运动方程方法特点建立运动方程方法特点运动方程方法运动方程方法第35页2.2 基本力学原理与运动方程建立单自由度体系运动方程单自由度系统运动方程反应了结构动力学中将碰到几乎全部物理量(1)质量m,和惯性力：(2)阻尼c,和阻尼力：(3)刚度k,和弹性恢复力：对于多自由度体系：第36页第2章 分析动力学基础及运动方程建立 2.3 重力影响 第37页2.3 重力影响 静平衡位置：受动力作用以前结构所处实际位置 st重力W=mg作用下体系静位移记：动位移为u 惯性力、阻尼力和弹性恢复力分别为：应用DAlembert原理：外荷载为：第38页2.3 重力影响 考虑重力影响时，结构体系运动方程与无重力影响时运动方程完全一样，此时u是由动荷载引发动力反应。可见在研究结构动力反应时，能够完全不考虑重力影响，建立体系运动方程，直接求解动力荷载作用下运动方程，即得到结构体系动力解。当需要考虑重力影响时，结构总位移为总位移=静力解+动力解 即能够应用叠加原理将结构动力反应和静力反应相加即得到结构总体反应。在结构反应问题中，应用叠加原理可将静力问题（普通是重力问题）和动力问题分开计算。第39页2.3 重力影响 v并不是对任何结构动、静力反应问题都能够这么处理，因为在以上推导中，假设弹簧刚度k为常数，即结构是线弹性，所以只有对线弹性结构（假如是二维或三维问题，还要加上小变形（位移）限制）才能够使用叠加原理，将静力、动力问题分开考虑。v应该注意是，在以上推导过程中，假设悬挂弹簧-质点体系只发生竖向振动，在动荷载作用之前，重力被弹簧弹性变形所平衡，而施加荷载后，重力一直被弹性变形所平衡。假如重力影响没有预先被平衡(或发生了改变)，则在施加动力荷载产生深入变形后，能够产生二阶影响问题，比如P-效应。最简单例子是倒立摆，当倒立摆产生水平振动后，摆重力引发附加弯矩是一个新量，它并没有预先被平衡(且随摆角改变)，将对体系动力反应产生影响，这种影响必定反应到结构运动方程中。第40页第2章 分析动力学基础及运动方程建立 2.4 地基运动影响 第41页2.4 地基运动影响 地基运动问题：结构动力反应不是由直接作用到结构上动力 引发，而是因为结构基础运动引发。ug地基位移，是已知u 相对位移，反应结构变形ut=u+ug绝对位移。惯性力：阻尼力：弹性恢复力：外荷载：0 应用DAlembert原理 相对运动方程：等效荷载等效荷载第42页重力和地基运动影响 以上结合单自由度结构体系给出了不一样影响原因下结构运动方程建立方法，即使例题极为简单，但包含了最基本概念和原理。以后会包括到更复杂结构体系，比如结构结构复杂、自由度多，包含连续分布质量，地震多方向（多维）和多点（在结构不一样支承处地面运动不一致）输入等等，但灵活应用本章介绍方法都能够得到处理。第43页