1、第二节第二节 定积分在几何学上应用定积分在几何学上应用一、平面图形面积一、平面图形面积1.1.直角坐标情形直角坐标情形面积元素面积元素:yo面积面积(1)由连续曲线由连续曲线 y=f(x)(f(x)0),直线直线 x=a,x=b(ab)及及x轴所围成平面图形面积轴所围成平面图形面积第1页若若f(x)有正有负有正有负,则曲边梯形面积则曲边梯形面积为为xyoab第2页xyoab面积元素面积元素:(2)由连续曲线由连续曲线 y=f(x),y=g(x),直线直线 x=a,x=b(ab)所围成平面图形面积所围成平面图形面积:第3页cxyoab普通地，普通地，第4页dcxyo及及y轴轴围成平面图形面积为围
2、成平面图形面积为 xyodc普通地，普通地，第5页及及y轴轴围成平面图形面积为：围成平面图形面积为：dcxyodcxyo普通地，普通地，第6页解解先求两曲线交点先求两曲线交点面积元素面积元素选选x为积分变量为积分变量,例例1 1 第7页例例2 2 围成平面图形面积围成平面图形面积.xoy解解 由对称性由对称性,交点交点第8页解解两曲线交点两曲线交点例例3 3 第9页此题选此题选y为积分变量比很好为积分变量比很好,选择积分变量标准：选择积分变量标准：(1)(1)积分轻易；积分轻易；(2)(2)尽可能少分尽可能少分块块.第10页y=x2t1yx1解解例例4 4 第11页有时需要把边界函数有时需要把
3、边界函数参数化参数化.第12页解解椭圆参数方程椭圆参数方程由对称性知总面积等于第一象限部分面积由对称性知总面积等于第一象限部分面积4倍倍,例例5 5 第13页解解例例6 6 345345页页 第14页面积元素面积元素曲边扇形面积曲边扇形面积2.2.极坐标情形极坐标情形扇形面积公式扇形面积公式 第15页解解例例7 7 解解例例8 8 第16页解解例例9 9 第17页 旋转体旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成立体这直线叫做直线旋转一周而成立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台二、体积二、体积1.1.旋转体体积旋转体体积第18页abox
4、 y体积元素体积元素:旋转体体积为旋转体体积为第19页直线直线OP方程为方程为解解例例1 1 第20页例例2 2 x yOab解解 第21页例例3 3 解解 xy利用圆面积利用圆面积第22页x ycdox ydc第23页例例4 4 解解 下面再补充介绍一个方法下面再补充介绍一个方法.第24页上例上例:ox yab套筒法套筒法:第25页解解例例5 5 绕绕 x 轴旋转旋转体体积轴旋转旋转体体积第26页绕绕 y 轴旋转旋转体体积轴旋转旋转体体积:可看作平面图可看作平面图OABC与与OBC分别绕分别绕 y 轴旋转组成旋转体轴旋转组成旋转体体积之差体积之差.第27页绕绕 y 轴旋转旋转体体积轴旋转旋转
5、体体积:可看作平面图可看作平面图OABC与与OBC分别绕分别绕 y 轴旋转组成旋转体轴旋转组成旋转体体积之差体积之差.或用或用“套筒法套筒法”:第28页2.2.平行截面面积为已知立体体积平行截面面积为已知立体体积xx x+dxA(x)ab第29页解解建立坐标系如图建立坐标系如图,截面面积截面面积所以立体体积所以立体体积例例6 6 垂直于垂直于 x 轴截面为直角三轴截面为直角三角形角形,第30页三、平面曲线弧长三、平面曲线弧长并依次连接相邻分点得一内接折线，并依次连接相邻分点得一内接折线，则称此极限为曲线弧则称此极限为曲线弧AB弧长弧长.此时称弧为此时称弧为可求长可求长.第31页定理定理(弧长公式弧长公式)证证在第三章在第三章“导数应用导数应用”中弧微分一节知中弧微分一节知,即得证即得证.推论推论1 1 第32页推论推论2 2 证证第33页解解例例1 1 第34页例例2 2 解解 例例3 3 解解 第35页例例4 4 解解 弧长弧长.第36页练习：练习：P279 习题习题6-21.2.(1)(3)3.5.(1)(2)6.7.8.(1)12.13.14.15.(1)(3)18.20.22.26.28.30.第37页
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