1、一、平面图形面积 二、体积 6.2 定积分在几何学上应用三、平面曲线弧长 上页下页铃结束返回首页第1页上页下页铃结束返回首页 f上(x)f下(x)dx,它也就是面积元素.一、平面图形面积 设平面图形由上下两条曲线yf上(x)与yf下(x)及左右两条直线xa与xb所围成.所以平面图形面积为 在点x处面积增量近似值为 1.直角坐标情形 下页第2页上页下页铃结束返回首页讨论：由左右两条曲线x左(y)与x右(y)及上下两条直线yd与yc所围成平面图形面积怎样表示为定积分？提醒：面积为 面积元素为右(y)左(y)dy,下页第3页上页下页铃结束返回首页 例1 计算抛物线y2x与yx2所围成图形面积.解 (
2、2)确定在x轴上投影区间:(4)计算积分 0,1;(1)画图;下页第4页上页下页铃结束返回首页 例2 计算抛物线y22x与直线yx4所围成图形面积.(2)确定在y轴上投影区间:(4)计算积分 (3)确定左右曲线:2,4.解 (1)画图;下页第5页上页下页铃结束返回首页 例3 因为椭圆参数方程为 xacost,ybsint,所以 解 椭圆面积是椭圆在第一象限部分四倍.于是 ydx,椭圆在第一象限部分面积元素为 下页第6页上页下页铃结束返回首页曲边扇形曲边扇形面积元素 曲边扇形是由曲线()及射线,所围成图形.曲边扇形面积 2.极坐标情形 下页第7页上页下页铃结束返回首页 例4 计算阿基米德螺线a(
3、a0)上对应于从0变到2 一段弧与极轴所围成图形面积.解 例5 计算心形线a(1cos)(a0)所围成图形面积.解 首页曲边扇形面积：第8页上页下页铃结束返回首页二、体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成立体.这直线叫做旋转轴.下页1.旋转体体积 第9页上页下页铃结束返回首页 旋转体都能够看作是由连续曲线yf(x)、直线xa、ab及x轴所围成曲边梯形绕x轴旋转一周而成立体.下页二、体积1.旋转体体积 旋转体体积元素 考虑旋转体内点x处垂直于x轴厚度为dx切片,用圆柱体体积f(x)2dx作为切片体积近似值,旋转体体积 于是体积元素为 dVf(x)2dx.第10页上页下页铃结
4、束返回首页 例6 连接坐标原点O及点P(h,r)直线、直线xh及x轴围成一个直角三角形.将它绕x轴旋转组成一个底半径为r、高为h圆锥体.计算这圆锥体体积.旋转体体积：解 下页第11页上页下页铃结束返回首页 解 轴围成图形绕x轴旋转而成立体.旋转椭球体体积为 下页旋转体体积：例7 计算由椭圆 所成图形绕x轴旋转而成旋转体(旋转椭球体)体积.第12页上页下页铃结束返回首页 例8 计算由摆线xa(tsint),ya(1cost)一拱,直线y0所围成图形分别绕x轴、y轴旋转而成旋转体体积.解 所给图形绕x轴旋转而成旋转体体积为 下页第13页上页下页铃结束返回首页 例8 计算由摆线xa(tsint),y
5、a(1cost)一拱,直线y0所围成图形分别绕x轴、y轴旋转而成旋转体体积.解 下页 设曲线左半边为xx1(y),右半边为xx2(y).所给图形绕y轴旋转而成旋转体体积为6 3a3.第14页上页下页铃结束返回首页 设置体在x轴上投影区间为a,b,立体内垂直于x轴截面面积为A(x).立体体积元素为 立体体积为下页2.平行截面面积为已知立体体积 A(x)dx.A(x)第15页上页下页铃结束返回首页截面面积为A(x)立体体积：例9 一平面经过半径为R圆柱体底圆中心,并与底面交成角.计算这平面截圆柱所得立体体积.建立坐标系如图,则底圆方程为x2y2R2.所求立体体积为 解 下页立体中过点x且垂直于x轴
6、截面为直角三角形,其面积为 第16页上页下页铃结束返回首页三、平面曲线弧长 设曲线弧由直角坐标方程yf(x)(axb)给出,其中f(x)在区间a,b上含有一阶连续导数.现在来计算这曲线弧长度.在曲率一节中,我们已经知道弧微分表示式为 这也就是弧长元素.所以,曲线弧长度为下页直角坐标情形 第17页上页下页铃结束返回首页 例11 长度.所以,所求弧长为 解 曲线yf(x)(axb)弧长：下页第18页上页下页铃结束返回首页 设曲线弧由参数方程x(t)、y(t)(t)给出,其中(t)、(t)在,上含有连续导数.于是曲线弧长为 下页曲线yf(x)(axb)弧长：参数方程情形 第19页上页下页铃结束返回首
7、页曲线x(t)、y(t)(t)弧长：例13 求摆线xa(sin),ya(1cos)一拱(02)长度.解 于是所求弧长为曲线yf(x)(axb)弧长：弧长元素为下页第20页上页下页铃结束返回首页 设曲线弧由极坐标方程()()给出,其中()在,上含有连续导数.因为 x()cos,y()sin(),所以弧长元素为 曲线弧长为 下页极坐标情形 曲线yf(x)(axb)弧长：曲线x(t)、y(t)(t)弧长：第21页上页下页铃结束返回首页曲线()()弧长：例14 求阿基米德螺线a(a0)对应于从0到2 一段弧长.解 于是所求弧长为 结束 弧长元素为曲线yf(x)(axb)弧长：曲线x(t)、y(t)(t)弧长：第22页上页下页铃结束返回首页内容小结内容小结1.平面图形面积边界方程极坐标方程2.平面曲线弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程弧微分:直角坐标方程直角坐标方程注意注意:求弧长时积分上下限必须上大下小第23页上页下页铃结束返回首页3.已知平行截面面面积函数立体体积旋转体体积绕 x 轴:第24页上页下页铃结束返回首页作业作业 P284 2(1),(2);8(1);12 第25页
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
