浅析微积分在中学数学中的应用.doc

毕 业 论 文（设 计）论文（设计）题目：浅析微积分在中学数学中的应用姓 名 学 号 院 系 专 业 年 级 指导教师 2016年04月17日目 录摘 要1ABSTRACT2第1章 引言3第2章 中学微积分的基本数学思想方法42.1 “极限”思想42.2 化归思想15第3章 微积分在中学数学中的应用73.1 导数在函数单调性问题上的应用73.2 利用导数求函数的极值问题73.3 函数的变化形态及作图.83.4 微积分在解方程中的应用.103.5 不等式的证明.103.6 恒等式的证明.113.7 曲线的切线及求法.12第4章 结论13参考文献14致 谢15摘 要本文对微积分中的思想诸如如函数的思想、极限的思想、和化归思想等思想都有深浅不同的探讨。我们使用微积分的方法来讨论函数的单调性、函数的极值和最值、函数的变化形态及作图、微积分在解方程中的应用、不等式和恒等式的证明、曲线的切线及求法。这样就简化了解题思路和步骤，更深层次的体现出微积分与中学数学间的联系。关键词：微积分；函数形态；思想方法 ABSTRACTThis article focuses on the varying degrees of the main mathematical thinking in calculus,such as limit thought,the the thought of function,and the transforming thought. In discussions on the monotonicity of the function, and the function extreme value and maximum function, and the change of configuration and mapping, application of calculus in solving equations, inequalities and proof of identity, the tangent of the curve and the method, using the methods of calculus to solve problem more easy, in order to reflect calculus links with the middle school mathematics.Key words: Calculus; Function form;Math Thought第1章 引言由古至今数学都与人类的生活息息相关，特别是当今社会，科技迅速的发展，高科技产物的层出不穷也使得人们对生活质量的需要越来越高。数学又是高科技发展的基础性学科，所以在越来越重视教育的当今数学在教学中占有的比例也是逐年增大。我们数学教育专业的学生在毕业后无论从事哪个层次的教育我们的首要目标就是培养社会需要的人才。在中学数学中，让学生掌握良好的思想方法是有效的学习数学的工具和手段。作为教师引导他们熟练的运用数学思想方法去找出问题、理解问题和解决问题是紧急而充满挑战的任务。微积分中的许多数学思想都是数学家们辛苦研究的成果，而我们现在所要进行的就是在前人的肩膀上眺望更远的远方。数学思想是数学史上的美丽的瑰宝值得我们研究与探索。 2在数学教育中，学生掌握科学的思维方法是成为创造型人才的基础，是培养高科技研究型人才的基石。作为一名即将踏上讲台的教师，深刻了解微积分与中学数学分析问题，解决问题的关系，掌握微积分在中学数学中的应用，这对提高数学教学的方法是十分重要的。我们有必要好好学习并掌握。微积分在解决数学问题中有着举足轻重的作用，在中学数学的教材中对于微积分的介绍和知识比例也越来越多，掌握基本的数学思想方法也自然而然的是我们当代数学教师应有的基本专业知识。在如今社会里学生是社会发展的希望与未来而教师是学生学校教育的领导者和榜样示范者。由此可见教师自身掌握专业知识对于学校教育的重要性。第2章 中学微积分的基本数学思想方法数学思想和数学方法统称为数学思想。而数学思想的本质就是人们对于数学理论知识和他的本质的反映。数学思想在数学问题的解决中起着桥梁的作用，数学方法既是一种解决数学问题的过程，方法和手段。单纯的运用一种方法去解决每一个类型的数学问题是不可能的。数学家们在解决问题时产生得到另一种思想和方法记录下来并流传后世才使得数学思想方法越来越丰富，众多的数学问题也迎刃而解。微积分近两年在中学数学中的应用比例逐渐升高。而其在大学数学里是许多专业的基本必修内容更是数学专业学生要掌握的最近本的解题思路。由此可见我们应当更加的重视这个内容。2.1 “极限”思想极限思想方法的概念就是用无限的变化过程来研究有限的数学问题。具体是说能用有限的数值方法去探索数学问题棘手的繁琐的无限思想。它是高等数学的中心思想是我们要熟练掌握的数学思想方法之一。 3 假如我们想要解决求曲边梯形的面积，但是我们没有具体的求值公式，这时我们就可以用极限思想来解决。将曲线的面积分为若干个不同的矩形的面积的结合，并且将矩形越分越细逐渐贴近曲线的面积，由此就可以将诸多个矩形的面积之和视为这个我们需要求值的曲线面积。将矩形分的越精细就会越接近我们所要求的的值。即：(1)化“整”为“零”：将曲边梯形逐渐的分为个逐渐接近曲线的小曲边梯形。如图2-1图2-1 图2-2在 ,b中插入n个点，把区间分成个不同长度的小区间，记为，它们的长度依次可以分为：.设经过每一个分点作平行于y轴的直线段，把曲边梯形分成n个窄曲边梯形，第个小曲边梯形的面积记作，.(2)以“直”代“曲”：用分出的诸多个小矩形的面积代替曲边梯形的面积。如图2-2在每个小区间上任取一点，以为底，为高的小矩形近似替代第个小曲边梯形()，则有，.(3)积“零”为“整”：求个小矩形面积之和。将诸多个矩形的面积之和视为这个我们需要求值的曲线面积，即. (4)取极限：由近似值过渡到精确值，当时，可以求得曲边梯形的面积。 42.2 化归思想化归思想的实质是在许多可能的答案进行分析对比，尽量排除错误答案或者从另一个方面去解决问题的思想方法。4化归思想有三个重要分类：化归对象，化归目标和化归途径。在所学习到的心理学中关于认知心理学的描述为人们在认知新的事物理解新的问题都是要以曾经的旧的记忆为基础，形成前摄抑制。有助于加强两者之间的联系，而这种联系就会用到数学思想中的化归思想。在数学问题中我们常常会将函数的单调性、极值、最值、凹凸性、拐点等问题判定转化为其导函数的值的问题；将曲边四边形面积和旋转体的体积转化为定积分问题；5像这种用化归思想方法解决实际问题从方法论角度说就是“化归原则”。在数学中利用化归原则解决问题时的一般模式可以归结为图2-3: 问题解答解答问题化归还原图2-3求曲边梯形的面积时，“一条曲线边”影响着问题用以往的知识的解答，是解决问题的矛盾的所在。然而，在将曲线之间进行任意分割为个小区间后，得到了个小矩形。通过对矩形面积的加和得到曲边梯形的面积的近似值，这样问题就迎刃而解。省去了诸多麻烦。如图2-4 求曲边梯形的面积解求小矩形面积之和求小矩形面积化归还原图2-4这样在解决问题时运用化归思想可以节省人力,由此可见其简洁性。第3章 微积分在中学数学中的应用3.1导数在函数单调性问题上的应用中学数学中讨论函数的单调性，用的是定义法，即在定义域某区间上任取，若，则在该区间单调递增，若，则在该区间单调递减。当我们在运用微积分方法讨论函数的单调性时，只需求出，再考虑的正负即可.这个方法简便易操作，在很多方面都能得到运用。例16 已知函数，讨论的单调性。解 的定义域为)，令，得，当时，的变化情况如表1：表1 ：(0,)(,)-0+极小值所以，在)上的最小值是.当，单调递减且的取值范围是；当，单调递增且的取值范围是.3.2利用导数求函数的极值问题设在点连续，在点的某一空心领域内可导，当由小增大经过时，如果：（1）由正变负，那么是极大值点；（2）由负变正，那么是极小值点；（3）不变号，那么不是极值点.注明：(1)驻点不一定是的极值点.比如说是函数的驻点，但不是其极值点。(2)极值点还可能是使导数不存在的点。如函数，在处导数不存在，但是是它的极小值点。例2 已知函数的导函数图像分别经过点(1,0),(2,1)。在取得极小值5，如图3-1所示，求：(1)的值；(2)的值；(3)的极大值.解 (1)观察图象，我们可发现： 图3-1当时，此时为增函数；当时，此时为减函数；当时，此时为增函数.因此在处函数取得极小值.结合已知，可得.(2)由(1)知，即，再结合的图象可知，方程的两根分别是,.那么，即.联立，得，.(3)由(1)知在处函数取得极大值，所以3.3函数的变化形态及作图对于一些非初等函数的解决，采用描点法非常复杂而且很容易出现错误，有许多的不方便和棘手的问题。7比如说如果点取得不够多的话，也许就会得到一个错误的图象；造成不必要的麻烦。例如函数与的正确图形应为图3-2所示，而用描点法很可能会绘制出图3-3的错误图形。图3-3图3-2 例38 作函数的图形.解 该函数的定义域为，曲线与轴的交点为(0,2).利用连续函数可得到，.令，得驻点，；令，得.列表如表2:表2：0(0,1)1(1,2)2+0-0+-0+极大值拐点极小值作图像如图3-4：图3-43.4微积分在解方程中的应用由于知识的限制，所讨论的相关方程的问题相对都是比较简单。但是随着微积分的介入，对解方程的探讨加深了，从而也使微积分的工具性，简洁性凸显了出来。在超越方程中讨论根的情况大多是采用图像法，但是采用图像法对作图要求很高，往往会由于作图误差而出错。9例410 求方程在(0,1)内是否有实根，若有，请证明并求出它的近似值,使误差不超过0.01.若没有，请说明原因。解 设，则，容易验证在区间(0,1)上，.因为在(0,1)内连续，而且是单调递增，两端点处的函数值异号，所以此方程在(0,1)内只有1个实根.可以看出在(0,1)内，曲线是单调递增、下凹并从轴的下方穿过轴到上方的，曲线与轴交点的横坐标.就是方程在(0,1)内的根，现在用切线法求根的近似值.我们可与在端点处作切线的方法来求方程实根的近似值，现在，所以 它比更接近于根， 继续施行这样的方法，得：，.因为，而，所以取0.18为根的近似值，它的误差就不超过0.01.3.5不等式的证明不等式的证明方法虽然多种多样，各有千秋，但是至今为止都没有较为实用统一的方法。初等数学的解题技巧是通过应用已有的基本不等式来证明，用此方法往往先要进行恒等变形才能运用的解题中去，但是对于数学知识掌握较少的同学难以完美的运用这个方法。11在利用微积分的方法和知识进行解题的时候，需要将不等式问题转化为函数问题，进而通过求导数的方法判断函数的单调性或者最值来证明不等式，这样就可以简化证明不等式的过程，降低解题技巧性从而降低在运算时出错的几率达到事半功倍的效果。12例513 证明不等式.证明 设，则，所以递增，又，故，即.例614 设是自然对数的底，是圆周率，求证:.证明 因为函数单调递增，故等价于，即，即.令，则.因此，当时，于是在内单调递减，从而，即，原命题得证.3.6恒等式的证明组合恒等式就是在数学中表示组合数之间的关系。在解决组合恒等式的过程中我们经常会去应用组合数的定义和概念，虽然这样也能求的最后正确的答案，但是化归思想告诉我们要用多个思想去思考问题。由此在其基础上就探索到解决组合恒等式的另一个方法，微分法。微分法相较于用组合数的定义去解决问题的优点是便于计算但是缺点却也是没有使用概念那样容易所被人理解。例7 求证：.本题不能用求和公式证明，但是可以用二项式定理求导得证。证明 因为，对等式两边求导得：，令即得：.3.7曲线的切线及求法曲线是我们学习函数时经常碰到啊的问题之一。而函数的切线则是反映曲线整体属性的局部个体。在教材中对于曲线在可导点处都有介绍，但对于在不可导点处的切线的文字描述却是寥寥无几，所以因为知识的短缺造成了我们在求曲线切线时往往容易发生遗漏。例8 已知，函数.（1），若与圆相切，求的值； （2）求函数在0,1上的最小值.解 （1）依题意有，过点的直线斜率为，所以过点的直线方程为.又已知圆的圆心为(-1,0)，半径为1.所以，解得.（2）当，即0时，在0,1上是减函数，所以的最小值为.当，即时，在上是增函数，在是减函数.所以需要比较和两个值的大小.因为，所以.所以，当时最小值为；当时，最小值为.当，即时，在0,1上是增函数.所以最小值为.综上，当时，为最小值为；当时，的最小值为.第4章 结论微积分不仅研究了各种函数和函数的微分与积分，还由此衍生了许许多多的解题方法。为数学工作的研究及开展奠定了不可撼动的基础。15例如解决函数的未知性，但是如果我们在知道变量与函数之间的关系式的话就可以组成等式关系式即我们常说的代数方程。由此就可以通过求出代数方程根的形式解答出我们需要的未知数。微积分在数学史上留下了不可磨灭的作用，他不仅是解决数学问题的有力工具、方法和手段，也拓宽人们在数学问题解决的思路。微积分是数学数学史上的璀璨的一颗明珠，她为众多的求学者指明道路并吸引着越来越多人的前赴后继。在即将从事的数学教学中，我明白了微积分的重要性，并且有了更高的思想觉悟。通过对微积分的了解我也理解到向学生介绍微积分的思想，激发他们学习知识的兴趣是很有必要的。用微积分处理中学数学中的问题会产生事半功倍的效果，对于加强初等数学与高等数学的联系，提高教师自身把握教材的能力，开拓教师和学生的思路都很有帮助。在今后的学习中我将继续遨游在微积分的海洋里探索这颗明珠带来的不可思议的世界，以拓展思路加强自身知识素养.参考文献1 丁向前.微积分思想在中学数学中的渗透J.数学教学研究，2008，27(8):45.2 俞宏毓. 例说微积分知识在解决中学数学问题中的应用J. 高等函授学报（自然科学版）， 2006，20(2):3031.3 贤锋. 浅析微积分理论在中学数学的简单应用J.引进与咨询，2000(1)：5560.4 魏本成，吴中林.微积分在中学数学中的应用J.天中学刊，2001，16(5)：5455.5 吴向群、庄认训. 微积分在中学数学中的应用J. 青海师专学报（自然学科），2002，22(5):7778. 6 徐岳灿.探索微积分在中学数学中的必要性J.上海中学数学，2011，64（6）：2729.7 包建廷.微积分在不等式中的应用J.承德民族师专学报，2003，23(2):2730.8 肖新义、肖尧. 微积分方法在初等数学中的应用研究J.和田师范专科学校学报2009，28（5）：910.9 王昆扬. 给中学生讲好微积分基本知识J.数学通报，2001(6):1215.10李霞. 浅论数学分析的原理与方法在中学数学中的应用J. 牡丹江教育学院学报，2006，95（1）：7779. 11M.克莱茵.古今数学思想M. 第二册.上海:上海科技出版社，1985. 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