数学建模概述市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

数学建模概述v数学模型v数学建模过程v数学建模示例1,2,3v建立数学模型方法和步骤v数学模型分类第1页模型模型：是我们对所研究客观事物相关属性模拟，它应该含有事物中使我们感兴趣主要性质，模拟不一定是对实体一个仿造，也能够是对一些基本属性抽象。数学模型数学模型直观模型：实物模型，主要追求外观上逼真。物理模型：为一定目标依据相同原理结构模型，不但能够显示原型外形或一些特征，而且能够进行模拟试验，间接地研究原型一些规律。思维模型，符号模型，数学模型。第2页数学模型：数学模型：1）近藤次郎（日）定义：数学模型是将现象特征数学模型是将现象特征或本质给以数学表述数学关系式。或本质给以数学表述数学关系式。它是模型一个。2）本德（美）定义：数学模型是关于部分现实世数学模型是关于部分现实世界和为一个特殊目标而作一个抽象简化数学结构。界和为一个特殊目标而作一个抽象简化数学结构。3）姜启源（中）定义：是指对于现实世界某一特是指对于现实世界某一特定对象，为了某个特定目标，做出一些必要简化和定对象，为了某个特定目标，做出一些必要简化和假设，利用假设，利用 适当数学工具得到一个数学结构。适当数学工具得到一个数学结构。第3页数学结构数学结构：是指数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等，这些基于数学思想与方法数学问题。总之，数学模型是对实际问题一个抽象，基于数学理论和方法，用数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等来刻画客观事物本质属性与其内在联络。古希腊时期：“数理是宇宙基本原理”文艺复兴时期：应用数学来说明现象“进行尝试”微积分法产生，使得数学与世界亲密联络起来，用公式、图表、符号反应客观世界越来越广泛，越来越准确。第4页费马（P.Fermal 1601-1665）用变分法表示“光沿着所需时间最短路径前进”牛顿（Newton 1642-1727）将力学法则用单纯数学式表示，如，牛顿第二 定律：结合开普勒三定律得出万有引力定律第5页航行问题：航行问题：甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船速、水速各多少？用 分别代表船速、水速，能够列出方程解方程组，得答：船速、水速分别为20千米/小时、5千米/小时。第6页数学建模过程数学建模过程v现实对象信息v数学模型解答v现实对象解答数学模型表述（归纳）求解（演绎）解释验证现实对象与数学模型关系第7页 数学建模示例数学建模示例建模示例之一建模示例之一 椅子稳定性问题椅子稳定性问题问题：将四条腿一样长正方形椅子放在不平地面上，是否总能设法使它四条腿同时着地，即放稳。1 1假设假设 2 1）地面为光滑曲面；3 2）相对地面弯曲程度而言，椅子腿是足够长；4 3）只要有一点着地就视为已经着地，即将与地面接 触视为几何上点接触；5 4）椅子中心不动。第8页xyAABBCCDDO2 2 建模分析建模分析表示A,C与地面距离之和表示B,D与地面距离之和则由三点着地，有不失普通性，设初始时：第9页假设：是 连续函数，且 对任意 ，求证：最少存在 ，使得3数学模型数学模型数学命题：数学命题：.第10页4 4 模型求解模型求解证实：将椅子转动 ，对角线交换，由可得令由 连续性，依据介值定理，在 中至少存在一点 ,使得 ,即又所以结论：能放稳。第11页连续函数介值定理连续函数介值定理oxyab思索题思索题1 1：长方形椅子会有一样性质吗？：长方形椅子会有一样性质吗？第12页思索题思索题1 1：长方形椅子会有一样：长方形椅子会有一样 性质吗？性质吗？第13页建立数学模型方法和步骤建立数学模型方法和步骤方法方法 机理分析法：以经典数学为工具，分析其内部机理规律。统计分析法：以随机数学为基础，经过对统计数据进行分 析，得到其内在规律。如：多元统计分析。系统分析法：对复杂性问题或主观性问题研究方法。把 定性思维和结论用定量伎俩表示出来。如：层次分析法。第14页建模步骤模型准备模型假设模型建立模型求解模型分析模型检验模型应用第15页1）模型准备：了解问题实际背景实际背景，明确建模目目，掌握对象各种信息各种信息如统计数据等，搞清实际对象特征特征。有时需查资料或到相关单位了解情况等。建模步骤建模步骤第16页2）模型假设：依据实际对象特征特征和建模目标目标，对问题进行必要地合理地简化必要地合理地简化。不一样假设会得到不一样模型。假如假设过于简单可能会造成模型失败或部分失败，于是应该修改或补充假设，如“四足动物体重问题”；假如假设过于详细，试图把复杂实际现象各个原因都考虑进去，可能会陷入困境，无法进行下一步工作。分清问题主要方面和次要方面，抓主要原因，尽可能将问题均匀化、线性化。第17页3）模型建立：分清变量类型，恰当使用数学工具；抓住问题本质，简化变量之间关系；要有严密数学推理，模型本身要正确；要有足够准确度。4）模型求解：能够包含解方程、画图形、证实定理以及逻辑运算等。会用到传统和近代数学方法，计算机技 术（编程或软件包）。尤其地近似计算方法（泰勒级数，三角级数，二项式展开、代数近似、有效数字等）。第18页6）模型检验：把模型分析结果“翻译”回到实际对象中，用实际现象、数据等检验模型合理性和适应性检验结果有三种情况：符合好，不好，阶段性和部分性符合好。7）模型应用：应用中可能发觉新问题，需继续完善。5）模型分析：结果分析、数据分析。变量之间依赖关系或稳定性态；数学预测；最优决议控制。第19页模型分类模型分类1）按变量性质分：）按变量性质分：离散模型确定性模型 线性模型单变量模型连续模型随机性模型 非线性模型 多变量模型2）按时间改变对模型影响分）按时间改变对模型影响分静态模型参数定常模型动态模型参数时变模型第20页3 3）按模型应用领域（或所属学科）分）按模型应用领域（或所属学科）分人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、数量经济学模型、数学社会学模型等。4 4）按建立模型数学方法（或所属数学分支）分）按建立模型数学方法（或所属数学分支）分初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、运筹学模型等。第21页5）按建模目分描述性模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等。6 6）按对模型结构了解程度分）按对模型结构了解程度分白箱模型：白箱模型：其内在机理相当清楚学科问题，包含力学、热学、电学等。灰箱模型灰箱模型：其内在机理尚不十分清楚现象和问题，包含生态、气象、经济、交通等。黑箱模型：黑箱模型：其内在机理（数量关系）很不清楚现象，如生命科学、社会科学等。第22页练习1 某甲早8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午5时抵达山顶并留宿；次日早8时沿同一条路径下山，下午5时回到旅店。某乙说，甲必在两天中同一时刻经过路径中同一地点。为何？AB甲乙第23页237支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场每两支 球队中胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束。问共需进行多少场比赛？普通思维：逆向思维：每场比赛淘汰一名失败球队，只有一名冠军，即就是淘汰了36名球队，所以比赛进行了36场。第24页3 某人家住T市在异乡工作，天天下班后乘火车于6时抵达T市车站，它妻子驾车按时到车站接他回家。一日他提前下班搭早一班火车于5时半抵达T市车站，随即步行回家，它妻子像往常一样驾车前来，在半路上碰到他接回家时，发觉比往常提前了10分钟。问他步行了多长时间？车站家5：30相遇早10钟5分钟5分钟6：005：55共走了25分钟。第25页4甲乙两站有电车相通，每隔10分钟甲乙两站互发一趟车，但发车时间不一定相同。甲乙两站有一中间站丙，某人天天在随机时刻抵达丙站，并搭乘最先经过丙站那趟车，结果发觉100天中约有90天抵达甲站，仅约有10天抵达乙站。问开往甲乙两站电车经过丙站时刻表是怎样安排？8:008:108:208:30甲至乙乙至甲xX-8:00=0:09 x=8:098:098:19第26页5一男孩和一女孩分别在离家 2 km 和 1 km 且方向相反两所学校上学，天天同时放学后分别以4 km/h和 2 km/h 速度步行回家。一小狗以6 km/h速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中。问小狗奔走了多少旅程？6 假如男孩和女孩上课时小狗也忘返奔走在他们中间，问当他们抵达学校时小狗在何处？第27页6 某人由A处到B处去，途中需到河边取些水，以下列图。问走那条路最近？（用尽可能简单方法求解。）dAB河第28页思索题 思索题思索题1 长方形椅子稳定性问题长方形椅子稳定性问题第29页oxyABCD 思索题思索题1 长方形椅子稳定性问题长方形椅子稳定性问题表示A,B与地面距离之和表示C,D与地面距离之和则由三点着地，有ACABCD第30页建模示例之二建模示例之二 四足动物身长和体重问题四足动物身长和体重问题问题：四足动物躯干（不包含头尾）长度和它体重有什么关系？假设：四足动物躯干为圆柱体，质量为 ，长度为 ,断面面积为 ，直径为 。建模：重量实际中，依据动物进化，不一样种类动物其截面积与长度之比可视为常数，即第31页所以，得出：重量与长度平方成正比。即注意：这个公式要在实际中检验，基本符合实际，就可作为经验公式来应用，不然要重新建立和完善模型。实际上，与实际吻合不好。假设：四足动物躯干为一根支撑在四肢上弹性梁。为下垂度，即梁最大弯曲度。由弹性理论:第32页 为相对下垂度，其值太大，四肢无法支撑；其值过小，四肢材料和尺寸超出了支撑身体需要，是一个浪费。所以，从生物角度能够认为，经过长久进化，对于每一个动物，已经到达其适当数值，即是一个常数（不一样种类动物此值不尽相同），于是因为即第33页而所以结论：此公式比较符合于实际，可在实际中推广使用。，能够由统计数据找出。第34页讨论与思索讨论题讨论题1 大小包装问题大小包装问题思索题思索题2 划艇比赛成绩划艇比赛成绩第35页讨论题讨论题1 大小包装问题大小包装问题 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品廉价这种现象吗？比如洁银牙膏50g装每支1.50元，120g装每支3.00元，二者单位重量价格比是1.2:1，试用百分比方法结构模型解释这种现象。（1）分析商品价格C与商品重量w关系。（2）给出单位重量价格c与w关系，并解释其 实际意义。第36页提醒：决定商品价格主要原因：生产成本、包装成本、其它成本。单价随重量增加而降低单价降低随重量增加逐步降低第37页思索题思索题2 划艇比赛成绩划艇比赛成绩赛艇是一个靠浆手划桨前进小船，分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四种。各种艇虽大小不一样，但形状相同。T.A.McMahon比较了各种赛艇19641970年四次m比赛最好成绩(包含1964年和1968年两次奥运会和两次世界锦标赛)，见下表。建立数学模型解释比赛成绩与浆手数量之间关系。第38页艇种vm成绩t(min)艇长l(m)艇宽 b(m)l/bW0(kg)与n之比1234平均单人7.16 7.257.28 7.17 7.217.930.29327.016.3双人6.87 6.926.95 6.77 6.889.760.35627.413.6四人6.33 6.426.48 6.13 6.3211.750.57421.018.1八人5.87 5.925.82 5.73 5.8418.280.61030.014.7各种艇比赛成绩与规格第39页建模示例之三建模示例之三 安全渡河问题安全渡河问题问题：三名商人各带一名随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。随从们密约，在河任一岸，一旦随从人数比商人多，就杀人越货。不过怎样乘船渡河大权掌握在商人们手中。商人们怎样才能安全渡河呢？1）建模示例，2）处理更广泛问题，理论上进行推广。3）将安全渡河问题视为一个多步决议过程（状态转移）。1 1模型组成模型组成：设第 次渡河前此岸商人数为 ，随从2 数为 ，称为状态。第40页如：表示第三次渡河前，此岸有3名商人1名随从，表示第五次渡河前，此岸有1名商人2名随从，依据题意，要安全渡河，状态是不允许。设允许状态集合为设第 次渡船上商人数为 ，随从数为 。定义决议为允许决议集合为 为奇数时，船由此岸到彼岸；为偶数时，船由彼岸到此岸。状态在决议下不停转移，规律怎样？第41页问题问题:求决议 使状态 按照以上规律由初始状态 经过有限步 抵达状态 。当然 越小越好。2 2 模型求解模型求解1234567891011第42页此路不通第43页第44页第45页第46页第47页第48页第49页3 3 结论结论：共有四种最正确方案，经过11次方可安全过河。此作法可进行推广，有多名商人和随从时，利用计 算机编程来实现。4 图解法图解法xyd1d2d3d4d5d6d7d8d9d10d11状态转移规则：1）第奇数次需向下或向左移动两格。2)第偶数次需向上或向右移动一格或两格。3）每次移动需落在可取状态上。第50页问题：问题：人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另 外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。问人、狗、鸡、米怎样过河，试设计一个安全渡河方案，并使渡河次数尽可能地少。思索题思索题3 人狗鸡米过河问题人狗鸡米过河问题第51页思索题思索题3 人狗鸡米过河问题人狗鸡米过河问题思索题解答第52页思索题思索题3 3 人狗鸡米过河问题人狗鸡米过河问题状态转移问题1）允许状态集合S人、狗、鸡、米依次用四维向量表示它们状态，在此岸用1表示，在彼岸用0表示。如（0，1，0,1)表示人、鸡在彼岸，狗、米在此岸。人在此岸(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(1,0,1,0)人在彼岸(0,0,0,0),(0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,0),(0,1,0,1)第53页2)允许决议集（划船方式）D用四维向量表示决议，如（1，1，0，0）表示人带狗摆渡。D=(1,0,0,0),(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)问题转化为：由初始状态(1,1,1,1)出发，经奇数次上述运算转化为状态(0,0,0,0)过程。要求运算：分量 1+1=0,1+0=0+1=1,0+0=0如 (1,1,1,1)+(1,0,1,0)=(0,1,0,1)其实际意义：人狗鸡米原均在此岸，人带鸡过河，此岸为新状态，即仅剩狗和米。s(i+1)=s(i)+d(i)第54页第55页第56页第57页第58页1,1,1,1(1,0,1,0)0,1,0,1(1,0,0,0)1,1,0,1(1,1,0,0)0,0,0,1(1,0,0,1)0,1,0,0(1,0,1,0)1,0,1,1(1,0,1,0)1,1,1,0(1,0,0,1)(1,1,0,0)0,0,1,0(1,0,0,0)1,0,1,0(1,0,1,0)0,0,0,0第59页