2022-2023学年北京海淀外国语高一数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．已知函数，则（）
A.2 B.5
C.7 D.9
2．已知向量，其中，则的最小值为（）
A.1 B.2
C. D.3
3．设，则“”是“”（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4．若函数满足，且，，则
A.1 B.3
C. D.
5．若函数是函数（且）的反函数，且，则（）
A. B.
C. D.
6．若且，则下列不等式中一定成立的是
A. B.
C. D.
7．在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是（）
A. B.
C. D.
8．用b，表示a，b，c三个数中的最小值设函数，则函数的最大值为　　
A.4 B.5
C.6 D.7
9．集合，，则间的关系是（）
A. B.
C. D.
10．设函数的部分图象如图所示，若，且，则（）

A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．已知函数f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)单调递减，则a的取值范围为________
12．若，，则a、b的大小关系是______．（用“＜”连接）
13．中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.现有两名剪纸艺人创作甲、乙两种作品，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点的横、纵坐标分别为第i名艺人上午创作的甲作品数和乙作品数，点的横、纵坐标分别为第i名艺人下午创作的甲作品数和乙作品数，i=1，2.给出下列四个结论：

①该天上午第1名艺人创作的甲作品数比乙作品数少；
②该天下午第1名艺人创作的乙作品数比第2名艺人创作的乙作品数少；
③该天第1名艺人创作的作品总数比第2名艺人创作的作品总数少；
④该天第2名艺人创作的作品总数比第1名艺人创作的作品总数少.
其中所有正确结论序号是___________.
14．函数零点的个数为______.
15．给出以下四个结论：
①若函数的定义域为，则函数的定义域是；
②函数（其中，且）图象过定点；
③当时，幂函数的图象是一条直线；
④若，则的取值范围是；
⑤若函数在区间上单调递减，则的取值范围是.
其中所有正确结论的序号是___________.
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．设函数
（1）若不等式解集，求、的值；
（2）若，在上恒成立，求实数的取值范围
17．已知函数，
（1）求不等式的解集；
（2）若有两个不同的实数根，求a的取值范围
18．已知函数 的图像如图所示.

（1）求函数的解析式；
（2）当时，求函数的最大值和最小值.
19．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点.求证：

（1）平面AB1F1∥平面C1BF；
（2）平面AB1F1⊥平面ACC1A1.
20．如图，有一块半径为4的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是圆O的直径，上底CD的端点在圆周上，连接OC两点，OC与OB所形成的夹角为.

（1）写出这个梯形周长y和的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）求周长y的最大值以及此时梯形的面积.
21．对正整数n，记In={1，2，3…，n}，Pn={|m∈In，k∈In}
（1）求集合P7中元素的个数；
（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并

参考答案

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1、D
【解析】先求出，再求即可，
【详解】由题意得，
所以，
故选：D
2、A
【解析】利用向量坐标求模得方法，用表示，然后利用三角函数分析最小值
【详解】因为，
所以，
因为，所以，故的最小值为.
故选A
【点睛】本题将三角函数与向量综合考察，利用三角函数得有界性，求模长得最值
3、A
【解析】解不等式，再判断不等式解集的包含关系即可.
【详解】由得，
由得，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4、B
【解析】因为函数满足，所以，结合，可得，故选B.
5、B
【解析】由题意可得出，结合可得出的值，进而可求得函数的解析式.
【详解】由于函数是函数（且）的反函数，则，
则，解得，因此，.
故选：B.
6、D
【解析】利用不等式的性质逐个检验即可得到答案.
【详解】A,a＞b且c∈R，当c小于等于0时不等式不成立，故错误；
Ba，b，c∈R，且a＞b，可得a﹣b＞0，当c=0时不等式不成立，故错误；,
C,举反例，a=2,b=-1满足a>b,但不满足，故错误；
D,将不等式化简即可得到a>b,成立，
故选D.
【点睛】本题主要考查不等式的性质以及排除法的应用，属于简单题.用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法.若结果为定值，则可采用此法.特殊法是“小题小做”的重要策略.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等
7、C
【解析】如图，取中点，

则平面，
故，因此与平面所成角即为，
设，则，，
即，
故，故选:C.
8、B
【解析】在同一坐标系内画出三个函数，，的图象，以此确定出函数图象，观察最大值的位置，通过求函数值，解出最大值
【详解】如图所示：

则的最大值为与交点的纵坐标，
由，得
即当时，
故选B
【点睛】本题考查了函数的概念、图象、最值问题利用了数形结合的方法关键是通过题意得出的简图
9、D
【解析】解指数不等式和一元二次不等式得集合，再判断各选项
【详解】由题意，或，
所以，即
故选：D
【点睛】本题考查集合的运算与集合的关键，考查解一元二次不等式，指数不等式，掌握指数函数性质是解题关键
10、C
【解析】根据图像求出，由得到，代入即可求解.
【详解】根据函数的部分图象，可得：A=1;
因为，，
结合五点法作图可得，，
如果，且，结合，可得，
，，
故选：C

二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、 (－4，4]
【解析】根据复合函数的单调性，结合真数大于零，列出不等式求解即可.
【详解】令g(x)＝x2－ax＋3a，
因为f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)单调递减，
所以函数g(x)在区间[2，＋∞)内单调递增，且恒大于0，
所以a≤2且g（2）＞0，
所以a≤4且4＋a＞0，所以－4＜a≤4
故答案为：.
【点睛】本题考查由对数型复合函数的单调性求参数范围，注意定义域即可，属基础题.
12、
【解析】容易看出，＜0，＞0，从而可得出a，b的大小关系
【详解】，＞0，,∴a＜b
故答案为a＜b
【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，考查对数函数和指数函数的值域．意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
13、①②④
【解析】根据点的坐标的意义结合图形逐个分析判断即可
【详解】对于①，由题意可知，的横、纵坐标分别为第1名艺人上午创作的甲作品数和乙作品数，由图可知的横坐标小于纵坐标，所以该天上午第1名艺人创作的甲作品数比乙作品数少，所以①正确，
对于②，由题意可知，的纵坐标为第1名艺人下午创作的乙作品数，的纵坐标为第2名艺人下午创作的乙作品数，由图可知的纵坐标小于的纵坐标，所以该天下午第1名艺人创作的乙作品数比第2名艺人创作的乙作品数少，所以②正确，
对于③，④，由图可知，的横、纵坐标之和大于的横、纵坐标之和，所以该天第2名艺人创作的作品总数比第1名艺人创作的作品总数少，所以③错误，④正确，
故答案为：①②④
14、2
【解析】将函数的零点的个数转化为与的图象的交点个数，在同一直角坐标系中画出图象即可得答案.
【详解】解：令，这，
则函数的零点的个数即为与的图象的交点个数，
如图：

由图象可知，与的图象的交点个数为2个，
即函数的零点的个数为2.
故答案为：2.
【点睛】本题考查函数零点个数问题，可转化为函数图象交点个数，考查学生的作图能力和转化能力，是基础题.
15、①④⑤
【解析】根据抽象函数的定义域，对数函数的性质、幂函数的定义、对数不等式的求解方法，以及复合函数单调性的讨论，对每一项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对①因为，，所以的定义域为，
令，故，即的定义域为，故①正确；
对②：当，，图象恒过定点，故②错误；
对③：若，则的图象是两条射线，故③错误；
对④：原不等式等价于，故（无解）或，
解得，故④正确；
对⑤：实数应满足，解得，故⑤正确；
综上所述：正确结论的序号为①④⑤.
【点睛】（1）抽象函数的定义域是一个难点，一般地，如果已知的定义域为，的定义域为，那么的定义域为；如果已知的定义域为，那么的定义域可取为.
（2）形如的复合函数，如果已知其在某区间上是单调函数，我们不仅要考虑在给定区间上单调性，还要考虑到其在给定区间上总有成立.

三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（1），；（2）.
【解析】（1）分析可知的两根是、，利用韦达定理可求得实数、的值；
（2）分析可知不等式在上恒成立，可得出，由此可解得实数的取值范围.
【详解】由已知可知，方程的两根是、且，
所以，解得；
（2），可得，，
因为在上恒成立，则在上恒成立，
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
17、（1）
（2）
【解析】（1）利用三角恒等变换公式将化到最简形式，确定，在这个范围内解三角不等式即可；
（2）确定在上的最值，根据有两个不同的实数根，得到a应满足的条件，解得答案.
【小问1详解】
原式化简后得,
由，则
∴，可得，即，
故不等式的解集为
【小问2详解】
在上的单调递增区间为，
单调递减区间为，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
又有两个不同的实数根，则，
∴，故a的取值范围为
18、（1）；（2）最大值，最小值为-1.
【解析】（1）由图可知，，可得，再将点代入得，结合，可得的值，即可求出函数的解析式；（2）根据函数的周期，可求 时函数的最大值和最小值就是转化为求函数在区间上的最大值和最小值，结合三角函数图象，即可求出函数的最大值和最小值.
试题解析：（1）由图可知：，则
∴，
将点代入得，，
∴，，即，
∵
∴
∴函数的解析式为.
（2）∵函数的周期是
∴求时函数的最大值和最小值就是转化为求函数在区间上的最大值和最小值.
由图像可知，当时，函数取得最大值为，
当时，函数取得最小值为.
∴函数在上的最大值为，最小值为-1.
点睛：已知图象求函数解析式的方法
（1）根据图象得到函数的周期，再根据求得
（2）可根据代点法求解，代点时一般将最值点的坐标代入解析式；也可用“五点法”求解，用此法时需要先判断出“第一点”的位置，再结合图象中的点求出的值
（3）在本题中运用了代点的方法求得的值，一般情况下可通过观察图象得到的值
19、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）由棱柱的性质及中点得B1F1∥BF，AF1∥C1F.，从而有线面平行，再有面面平行；
（2）先证明B1F1⊥平面ACC1A1，然后可得面面垂直
【详解】证明：（1）在正三棱柱ABC－A1B1C1中，连接，
∵F、F1分别是AC、A1C1的中点，
，，，
∴是平行四边形，是平行四边形，
∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.
　平面，平面，∴平面，
同理平面，
又∵B1F1∩AF1＝F1，平面，平面，
∴平面AB1F1∥平面C1BF.

（2）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，平面，∴B1F1⊥AA1.
又是等边三角形，是中点，∴B1F1⊥A1C1，而A1C1∩AA1＝A1，
∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1⊂平面AB1F1，
∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.
【点睛】本题考查证明面面平行和面面垂直，掌握面面平行和面面垂直的判定定理是解题关键
20、（1），
（2）20，
【解析】（1）过点C作，表示出，，即可写出梯形周长y和的函数解析式；
（2）令，结合二次函数求出y的最大值，求出此时的，再计算梯形面积即可.
【小问1详解】
由题意得.半圆形钢板半径为4，则，

过点C作.在和中，
有，，.
在中，因为，为等腰三角形，故，
所以，.
，.
【小问2详解】
由.令，则，
则.
则当时，周长y有最大值，最大值20，此时，.
故梯形的高
21、（1）46 （2）n的最大值为14
【解析】（1）对于集合P7 ，有n=7．当k=4时，Pn={|m∈In，k∈In}中有3个数（1，2，3）与
In={1，2，3…，n}中的数重复，由此求得
集合P7中元素的个数为 7×7﹣3=46
（2）先证当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集．否则，设A和B为两个不相交的稀疏集，使A∪B=Pn⊇In
不妨设1∈A，则由于1+3=22，∴3∉A，即3∈B．同理可得，6∈A，10∈B．又推出15∈A，但1+15=42，
这与A为稀疏集相矛盾
再证P14满足要求．当k=1时，P14={|m∈I14，k∈I14}=I14，可以分成2个稀疏集的并集
事实上，只要取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，则A1和B1都稀疏集，且A1∪B1=I14
当k=4时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，…，}，可以分为下列3个稀疏集的并：
A2={，，，}，B2={，，}
当k=9时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，，…，，}，
可以分为下列3个稀疏集的并：
A3={，，，，}，B3={，，，，}
最后，集合C═{|m∈I14，k∈I14，且k≠1，4，9 }中的数的分母都是无理数，
它与Pn中的任何其他数之和都不是整数，
因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B=P14
综上可得，n的最大值为14