数学物理方法建模市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

数学物理方法建模 物理物理1002班班雷青雷青0922042第1页问题问题：将一只四条腿一样长椅子放在不平：将一只四条腿一样长椅子放在不平地面上，问是否总能设法使它四条腿同时地面上，问是否总能设法使它四条腿同时着地。着地。椅子能在不平地面上放稳吗？椅子能在不平地面上放稳吗？在以下假设条件下，回答是必定。在以下假设条件下，回答是必定。模型假设模型假设1 1 地面高度连续改变，可视为数学上连续曲地面高度连续改变，可视为数学上连续曲面面;数学建模数学建模 1 1第2页2 2 地面相对平坦，椅子腿是足够长，椅子地面相对平坦，椅子腿是足够长，椅子在任意位置最少有三只脚同时着地；在任意位置最少有三只脚同时着地；3 3 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形；连线呈正方形；4 4 以椅子中心为坐标原以椅子中心为坐标原点，对角线初始位置为点，对角线初始位置为坐标轴，椅子绕原坐标轴，椅子绕原点旋点旋转，椅子位置转，椅子位置用用(对角对角线与线与x x轴夹角轴夹角)表示。表示。xBADCODC B A 第3页模型构建模型构建由假设由假设1 1由假设由假设2 2记记 A,C A,C 两脚与地面距离之和为两脚与地面距离之和为记记 B,D B,D 两脚与地面距离之和为两脚与地面距离之和为是是连续函数连续函数对任意对任意现不妨设现不妨设数学问题数学问题已知：已知：是是连续函数连续函数;对任意对任意 且且.证实：存在证实：存在 ，使，使第4页模型求解模型求解 将椅子将椅子旋转旋转9090度时，对角线度时，对角线ACAC和和BDBD交换。交换。所以所以令令 ,则则 为连续函数为连续函数,且且据连续函数基本性质据连续函数基本性质,必存在必存在 ,使使 即即 .因为因为 ,所以所以评注和思索评注和思索考查四脚呈长方形椅子考查四脚呈长方形椅子建模关键是建模关键是 和和 确实定确实定第5页问题问题(商人们怎商人们怎样安全过河样安全过河)：三名商人各带一名随从乘船渡河，一只小三名商人各带一名随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。随从们密船只能容纳二人，由他们自己划行。随从们密约约,在河任一岸在河任一岸,一旦随从人数比商人多一旦随从人数比商人多,就就杀人越货杀人越货.不过怎样乘船渡河由商人决定，问不过怎样乘船渡河由商人决定，问商人应怎样安排才能安全渡河。商人应怎样安排才能安全渡河。河河小船小船(至多至多2 2人人)数学建模数学建模 2 2第6页问题分析问题分析 这是一类智力游戏问题，可经过一番逻辑这是一类智力游戏问题，可经过一番逻辑推理求解。当然也可视为一个推理求解。当然也可视为一个多步决议问题多步决议问题，每一步（此岸到彼岸或彼岸到此岸）都要对船每一步（此岸到彼岸或彼岸到此岸）都要对船上人员作出决议，在确保安全前提下（两岸随上人员作出决议，在确保安全前提下（两岸随从数不比商人多）经有限步使全体人员过河从数不比商人多）经有限步使全体人员过河 因为该问题是虚拟，已经理想化了，所以因为该问题是虚拟，已经理想化了，所以无须再作假设。无须再作假设。第7页模型构建模型构建 记记 第第k k次渡河前此岸商人数为次渡河前此岸商人数为 ，随从数，随从数为为 ，而，而 为过程中状态。为过程中状态。安全渡河条件下状态称为安全渡河条件下状态称为允许状态允许状态，全体，全体允许状态组成集合记为允许状态组成集合记为 记记 第第k k次渡船上商人数为次渡船上商人数为 ，随从数为，随从数为 ，而，而 为过程中决议。为过程中决议。第8页多步决议问题模型：多步决议问题模型：安全渡河条件下决议称为安全渡河条件下决议称为允许决议允许决议，全体，全体允许决议组成集合记为允许决议组成集合记为 因为，因为，为奇数时船从此岸驶向彼岸，为奇数时船从此岸驶向彼岸，为为偶数时船由彼岸驶回此岸，所以偶数时船由彼岸驶回此岸，所以状态转移律状态转移律为为 求求 使使 并按并按转移律转移律由由 抵达抵达 第9页模型求解模型求解 穷举法穷举法从从经过经过且且使得使得得到得到比如比如可能可能经过经过且且得到得到假如假如则则还原，故还原，故假如假如则则假如假如也有也有故故且且 穷举法适宜编程上机运算穷举法适宜编程上机运算第10页 图解法图解法状态状态s s=(=(x,yx,y)为为1616个格点个格点允许决议为移动允许决议为移动1 1或或2 2格格;k k为为奇数时奇数时,向左、下移向左、下移;k k为为偶数时偶数时,向右、上移向右、上移.d d1 1,，d d1111给出安全渡河方案给出安全渡河方案允许状态为允许状态为1010个点个点xy3322110s1sn+1d1d11评注和思索评注和思索考虑考虑4 4名商人各带一随从情况名商人各带一随从情况第11页 十五世纪中期，十五世纪中期，哥白尼哥白尼提出了震惊世界提出了震惊世界日日心说心说。丹麦著名试验天文学家。丹麦著名试验天文学家第谷第谷花了二十多花了二十多年时间年时间,观察纪录下了当观察纪录下了当 时已发觉五大时已发觉五大行星运行星运动情况动情况。第谷学生和助手。第谷学生和助手开普勒开普勒对这些资料进对这些资料进行了九年时间分析计算后得出著名行了九年时间分析计算后得出著名KeplerKepler三定三定律律。牛顿牛顿依据开普勒三定律和牛顿第二定律，依据开普勒三定律和牛顿第二定律，利用微积分方法推导出牛顿第三定律即利用微积分方法推导出牛顿第三定律即 万有引万有引力定律力定律例例（万有引力定律发觉万有引力定律发觉 ）数学建模数学建模 3 3第12页开普勒三大定律开普勒三大定律1.1.行星轨道是一个椭圆，太阳位于此椭圆一行星轨道是一个椭圆，太阳位于此椭圆一个焦点上。个焦点上。2.2.行星在单位时间内扫过面积不变。行星在单位时间内扫过面积不变。3.3.行星运行周期平方正比于椭圆长半轴三次行星运行周期平方正比于椭圆长半轴三次方，百分比系数不随行星而改变（绝对常数）方，百分比系数不随行星而改变（绝对常数）行行星星r太阳太阳这其中必定是某一力学这其中必定是某一力学规律反应，哼哼，我规律反应，哼哼，我 要要找出它。找出它。第13页如图，有椭圆方程如图，有椭圆方程:矢径所扫过面积矢径所扫过面积A A 微分为微分为:由开普勒第二定律由开普勒第二定律:常数常数马上得出马上得出:即即:简单推导以下：简单推导以下：第14页椭圆面积椭圆面积由此得出由此得出常数常数我们还需算出行星加速度，为此需要建立两种我们还需算出行星加速度，为此需要建立两种不一样坐标架。第一个是固定，以太阳为坐标不一样坐标架。第一个是固定，以太阳为坐标原点，沿长轴方向单位向量记为原点，沿长轴方向单位向量记为i i,沿短轴方向沿短轴方向单位向量记为单位向量记为j j，于是：，于是：进而有加速度进而有加速度第15页以行星为坐标原点建立活动架标，其两个以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交单位向量分别是正交单位向量分别是所以得出所以得出再将椭圆方程再将椭圆方程 两边微分两次，得两边微分两次，得第16页将前面得到结果将前面得到结果代入，得代入，得和焦参数和焦参数也就是说行星加速度为也就是说行星加速度为由开普勒第三定律知由开普勒第三定律知为常数。若记为常数。若记于是引力于是引力这就是著名万有引力定律这就是著名万有引力定律第17页谢谢 谢谢第18页