阶梯梁的位移计算方法对比.pdf

力2023年8 月与第4 5 卷第4期实学践阶梯梁的位移计算方法对比1)魏鹏云李林2)（塔里木大学水利与建筑工程学院，亲新疆阿拉尔8 4 3 3 0 0）摘要为了加深学生对位移法及阶梯梁位移计算的理解，以阶梯式简支梁为例，分别利用积分法、常规图乘法、刚度叠加法及位移法求解了阶梯式简支梁的位移。计算结果表明：利用位移法求解阶梯式简支梁的位移具有独特的优势，可显著减少计算工作量并提高计算准确率，值得在教学过程中推广。关键词阶梯式简支梁，位移，图乘法，积分法，位移法中图分类号：0 3 4 2文献标识码：Adoi:10.6052/1000-0879-22-595COMPARISON OF DISPLACEMENT CALCULATION METHODS FORASTEPPED BEAMI)WEI PengyunLI Lin2)(College of Water Conservancy and Civil Engineering,Tarim University,Alar 843300,Xinjiang,China)Abstract In order to deepen students understanding of displacement method and displacement calculation ofa stepped beam,the displacement of a stepped simply-supported beam is independently solved by integralmethod,conventional graph multiplication method,stiffness superposition method and displacement methodrespectively.The calculation results show that the displacement method to solve the displacement of thestepped simply-supported beam has a unique advantage.It can significantly reduce the computational workloadand improve the accuracy of the calculation,which is worth popularizing in the teaching process.Keywords stepped simply-supported beam,displacement,graph multiplication method,integral method,displacement method阶梯梁在工程中有着广泛应用，其位移计算是非常重要的工作。结构力学针对载荷作用下梁的位移计算方法主要有积分法和图乘法。对于阶梯梁，利用积分法计算位移时需要分段写出任意截面在实际载荷及虚设单位力作用下的内力表达式，进而将内力表达式代入积分公式后求解定积分可获得相应的位移，由于内力表达式要分段，所以进行积分运算时会比较繁琐。对阶梯梁利用图乘法计算位移时，若采用常规图乘法则很多时候都需要进行大量的分块图乘，因而工作量会很大。针对这一问题，很多学者又提出了补刚度法、刚度分配法、刚度叠加法等 2-4，这些方法本质上都一样，本文暂且将这些方法称为刚度叠加法，利用刚度叠加法会减少图乘的工作量，尤其是刚度分段增加的时候，这种方法的优势会更加明显。事实上，在结构力学中，位移计算除了以上几种方法外，还可以利用位移法。但是目前很多结构力学教材在介绍位移法时，对于利用位移法求解静定结构语焉不详，没有给出一些可供学生参照的例题，这会使得学生对于位移法求解静定结构感到困惑，叶腾 5 利用位移法求解了等截面梁的位移及一些刚架的内力。针对阶梯梁的位移2022-10-31收到第1稿，2 0 2 3-0 1-0 9 收到修改稿。1）农业水利工程省级一流本科专业建设项目（2 2 0 0 0 0 3 0 10 7）资助。2)李林，教授，研究方向为农业水利工程。E-mail：119 9 9 0 0 19 t a r u.e d u.c n引用格式：魏鹏云，李林.阶梯梁的位移计算方法对比.力学与实践，2 0 2 3，4 5(4)：8 8 6-8 9 0Wei Pengyun,Li Lin.Comparison of displacement calculation methods for a stepped beam.Mechanics in Engineering,2023,45(4):886-890887魏鹏云等：阶梯梁的位移计算方法对比第4 期计算，目前有学者利用积分法、一般图乘法及刚度叠加法进行求解，虽然利用刚度叠加法可以减少一定的工作量，但是其求解过程依然比较繁。本文旨在通过积分法、常规图乘法、刚度叠加法及位移法来求解阶梯梁在截面改变处的位移，对比分析这些方法的计算工作量，帮助学生更多元地掌握结构力学中计算阶梯梁位移的方法，培养学生的发散思维能力，丰富教师授课内容的广度和深度。图1所示为一受均布载荷q作用的跨度为4 l的阶梯式简支梁，其中AC段的长度为l，抗弯刚度为EIi，BC 段长度为3 l，抗弯刚度为EI2，并且有EIi=2EI2。对于梁和刚架这种受弯为主的结构，其在横向载荷作用下的变形主要是弯曲变形，所以本文的位移计算只考虑弯曲变形引起的位移。ABT31图1阶梯式简支梁1积分法求C截面处的竖向位移1.1建立坐标系以A点为坐标原点，水平向右为轴正向。1.2写出外载荷作用下任意截面的弯矩表达式求出均布载荷作用下A支座的反力后，将此阶梯式简支梁从任意位置处切断，可得如图2所示的隔离体受力图。对位置处取矩，则有9Z Ma=0 Mp=2qle 2(0 41)(1)21.3写出虚设单位载荷作用下任意截面的弯矩表达式求C截面的竖向位移，则在C截面虚设竖向单位力如图3 所示。求出虚设的单位集中力作用下A支座的反力后，将此阶梯式简支梁从任意位置处切断，可得如图4 所示的隔离体受力图。MpA2ql图2外载荷作用下隔离体受力图1ACBTHTTHT131卜图3虚设单位载荷示意图3MM1AB14441-卜(a)的范围是AC段(b)的范围是BC段图4虚设单位集中力作用下隔离体受力图对位置处取矩，则有ZMa=0 M3(01)(2)44l-ZM=0 M:(l 41)(3)41.4求解C截面的竖向位移利用载荷作用下静定结构的位移公式可求得C截面的竖向位移3(2qla224Ac=da+EI141-&41(2qla24dc139q14()(4)EI264EI22常规图乘法求C截面处的竖向位移利用常规图乘法求解C截面处的竖向位移时，可以根据弯矩图的特点，对弯矩图进行不同分块来计算，不同的分块方法会导致计算工作量不一样，合理的分块可以有效减少计算工作量，故下文采用常规图乘法和II两种不同的分块方法来进行对比说明。2.1常规图乘法作出外载荷作用下的弯矩图Mp图及虚设单位集中力下M图并对弯矩图进行分块，如图5力888实践2023年第4 5 卷学所示。其中，A1，A 2，A 3，A 4，A s 和A为Mp图中各分块的面积；U1，9 2，y 3，y 4，y s 和y6分别为M，图中各分块形心对应到M图中的竖坐标，则各分块面积和对应的竖坐标分别为A5ACBMp图：3qt2A22qlA12A6A3:A4M图：oy4y3(y5)1314图5常规图乘法1示意图213131A191313Xy112X8124813ql23q132311A212X24y213412A329129135113y3812813q129/371A4122qy424123q123q1351A5X522828q1351A63 21 2ql2y6316(5)再根据图乘法的计算公式可求得C截面的竖向位移为11(A11+A2y2)+(A3y3+A4y4+EI1EI2139q14A5y5+A6y6)=()(6)64EI22.2常规图乘法作出外载荷作用下的弯矩图Mp图及虚设单位集中力下M图并对弯矩图进行分块如图6 所示。根据图6 分别计算Mp图的各分块面积及各分块形心对应的M图的竖坐标，分别为2Q213131A1=Xy1一一X381224813q22311A2一X一X22439241229(3)29l313131A3A一31y3一X38424813ql29132311A4X3112y413XX242一4(7)A4ACMp图：B3q12A22A11A3-M图:y2/yi1u3y4314图6常规图乘法II示意图再根据图乘法的计算公式可求得C截面的竖向位移为11(A1y1+A2y2)+(A3y3+A4y4)=EIEI2139q14(t)(8)64EI22.3常规图乘法|和的对比说明由以上两种不同的常规图乘法计算可以看出，常规图乘法I的图乘次数是6 次，常规图乘法I的图乘次数是4 次，显然常规图乘法II的计算工作量更少。由此可见，对弯矩图进行合理地分块可以减少计算工作量。3刚度叠加法求C截面处的竖向位移将原长度为4 1的阶梯式简支梁等效为长度为4l且抗弯刚度为EIi的等截面直杆加上长度为3 1且抗弯刚度为（EI2EI1)的等截面直杆。分别作出长度为4 l且抗弯刚度为EI的等截面直杆、长度为3 1且抗弯刚度为-EIi的等截面直杆、长度为3 1且抗弯刚度为EI2的等截面直杆在外载荷作用下的弯矩图Mp图及虚设单位集中力下的M图，并对弯矩图进行分块如图7 图9 所示。根据图7 图9 计算Mp图的各分块面积及各分块形心对应的M图的纵坐标，分别为A4ACBMp图:EI1A2A1A33q122M图:yayiEI1y3y4314图7全梁长刚度为EIi的图乘示意图889魏鹏云等：阶梯梁的位移计算方法对比第4 期A6Mp图:ACBEI1A53q122M图：-314图8BC段刚度为EIi的图乘示意图A6CMp图:ABEI2-A53qt22M图：314图9BC段刚度为EI2的图乘示意图2213131A1一X0/3y112X38124813q23q13231一X一X22434122q(31)291313131A3X313842480(9)13ql29l32311A一X3lx一XH422434129q131A5=A4y,y5y4429q1331A=A3=y6y348再根据图乘法的计算公式可求得C截面的竖向位移为1(A1y1+A2y2+A3y3+A4y4)+EI11139q14(A5y5+A6yo)=()EI2EI164E12(10)4位移法求C截面处的竖向位移为了获得截面C处的竖向位移，可在图1所示C处增加滚轴支座使得原来的简支梁变为一次超静定梁，如图10 所示，加滚轴支座后的结构可看成A端简支且C端固支的梁AC及C端固支且B端简支的梁CB组成。qABTH31人图10增加链杆后的转换结构EI1已知AC杆线刚度icA=BC杆线刚1EI2EI2度icB=为计算方便，令icB，3131EI12EI2则icA=6i。11原阶梯式简支梁C截面的弯矩值为：Mc=q12_33ql22q1_9（下部受拉）22根据位移法弯矩的正负号规定（绕着杆件顺时针为正），则有3ql2McA=(11)23ql2McB=(12)2由于在C截面处加了滚轴支座，则此时的C点是个半刚结点，C点的位移有线位移c和角位移c，假定c为竖向线位移、c为顺时针转角，则由位移法可得3icAq1218iq/2McA=3icAOc-18i0188(13)3icB9(31)29ql2McB=3icB0c3263188(14)由式（11）等于式（13）及式（12）等于式(14）可得18i3q12218i0c182(15)9ql23ql23i0c+82求解式（15）的二元一次方程组便可得到139q1464EI2(16)365q13192EI25积分法、常规图乘法、刚度叠加法及位移法的计算过程对比综上计算发现，不管哪种方法，求得的C截漫（责任编辑：胡力890实2023年第4 5 卷践学面的竖向位移无差别，但是利用位移法不仅获得了C截面的竖向位移，而且同时获得了C截面的转角位移，具体的计算工作量总结如下：积分法需要写出三个弯矩表达式，求解两个定积分；常规图乘法I需要图乘6 次；常规图乘法I需要图乘4 次；刚度叠加法需要图乘6 次，但是由于部分图乘只是刚度不同，所以图乘次数可以认为是4次；位移法需要写出三个弯矩表达式，求解一个二元一次方程组。事实上，积分法求解定积分的时候由于被积函数较复杂，所以式（4）的定积分求解需要花费较多时间。常规图乘法I、I 及刚度叠加法都需要计算好几次图形的面积及纵坐标，求解起来依然有较大工作量。位移法只需要记得形常数和载常数后便可很快获得杆端弯矩的表达式，进而求解一个二元一次方程组即可。另外，如果要求C截面的转角位移，那么不管是积分法、常规图乘法还是刚度叠加法，都得像上述求解C截面的竖向位移一样再重新计算，但是位移法却可以同时计算出C截面的竖向位移和转角位移，如此，位移法的计算工作量确实相比于其他方法要小很多。6结论本文分别利用积分法、常规图乘法、刚度叠加法及位移法求解了阶梯式简支梁在截面改变处的位移，发现利用位移法计算时可利用很少的计算量同时获得阶梯式简支梁在截面改变处的竖向位移和转角位移，在结构力学教学过程中进行推广可以更多元地帮助学生掌握阶梯梁的位移计算方法，也可以拓宽教师讲授的教学角度和深度。参考文献1龙驭球，包世华，袁驷.结构力学I一基础教程，第4 版.北京：高等教育出版社，2 0 18Long Yuqiu,Bao Shihua,Yuan Si.Structural MechanicsIFundamental Course,4th edn.Beijing:Higher Educa-tion Press,2018(in Chinese)2陈案.贴补法对图乘计算的简化.力学与实践，19 9 6，18(2)：5 8,623黄亮，孙小寒，胡鑫鑫等。一种基于图乘的变刚度直杆位移计算折算技巧.力学与实践，2 0 19,4 1(6)：7 15-7 17Huang Liang,Sun Xiaohan,Hu Xinxin,et al.Displacementcalculation for straight bar with variable stiffness based ongraph multiplication 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