数学物理方法市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

第1页偏微分方程偏微分方程常微分方程组常微分方程组分离变量分离变量 本征值问题本征值问题广义傅立叶级数广义傅立叶级数勒让德多项式勒让德多项式贝塞耳函数贝塞耳函数（特殊函数特殊函数）特殊函数特殊函数勒让德、埃米特、拉盖尔等多项式；勒让德、埃米特、拉盖尔等多项式；贝塞耳、虚宗量贝塞耳、球贝塞耳、贝塞耳、虚宗量贝塞耳、球贝塞耳、超几何，合流超几何等函数。超几何，合流超几何等函数。2第2页普通球函数普通球函数球函数方程：球函数方程：球函数球函数（l 称作球函数阶称作球函数阶）：）：10.1 10.1 轴对称球函数轴对称球函数3第3页轴对称轴对称拉普拉拉普拉斯斯方程求解方程求解4第4页（一）勒让德多项式（一）勒让德多项式处有限处有限（1 1）代数表示）代数表示则对则对约定最高次幂系数约定最高次幂系数5第5页勒让德多项式：勒让德多项式：小于、等于小于、等于l/2最大整数。最大整数。每项总含每项总含 x x唯一不含唯一不含 x 项项6第6页7勒让德多项式图象勒让德多项式图象第7页8第8页(2)(2)微分表示（罗德里格斯公式）微分表示（罗德里格斯公式）证：证：9第9页(3)(3)积分表示（施列夫积分）积分表示（施列夫积分）由科西公式由科西公式C 绕绕 z=x 点点。设半径为设半径为C 上上10第10页即即第二类勒让德函数第二类勒让德函数勒让德方程普通解勒让德方程普通解由朗斯基行列式导出第二个线性独立解由朗斯基行列式导出第二个线性独立解11第11页在在x=1处均发散处均发散本征值本征值 v=0,1,2,3,在在 x=0点邻域内，两个线性无关解点邻域内，两个线性无关解附录附录附录附录4 4：对于普通：对于普通：对于普通：对于普通 v v值，值，值，值，两个解在两个解在两个解在两个解在 x x=1 1 处均处均处均处均对数发散对数发散对数发散对数发散12第12页（三）（三）正交关系正交关系（四）（四）模模习题习题9.3（5）P261在在 x=1点邻域内，两个线性无关解点邻域内，两个线性无关解第一类勒让德函数第一类勒让德函数第二类勒让德函数第二类勒让德函数在在 x=1点解析点解析在在 x=1点点发散发散若还要求在若还要求在 x=-1点有界点有界，本征值本征值 v=0,1,2,3,x=1点有界点有界13第13页第一项为零，即第一项为零，即进行进行 l 次分步积分后次分步积分后只有最高次幂才不为零，故只有最高次幂才不为零，故再逐次进行分步积分，得再逐次进行分步积分，得即即14第14页（五）广义傅立叶级数（五）广义傅立叶级数定义在区间定义在区间-1,1函数函数f(x)能够展开为广义傅立叶级数能够展开为广义傅立叶级数 展开系数为展开系数为或区间或区间 0,函数函数 f()展开为展开为系数为系数为勒让德多项式完备性：任意一个在区间勒让德多项式完备性：任意一个在区间-1,1中分段连续函数中分段连续函数f(x)，在平均收敛意义下，可展开为级数在平均收敛意义下，可展开为级数平均收敛：平均收敛：15第15页16正交性正交性正交性应用例题正交性应用例题模模第16页例例1：在在-1,1中将中将 展开为广义傅立叶级数展开为广义傅立叶级数。解：解：比较比较展开式最多含三阶勒让德多项式。展开式最多含三阶勒让德多项式。17第17页例例2是奇函数：是奇函数：x=1为二阶零点为二阶零点18第18页因因找出找出项，它在项，它在 x=0 才不为零才不为零19第19页例例3解：解：由轴对称由轴对称球内含球内含所以所以（六）拉普拉斯方程轴对称定解问题（六）拉普拉斯方程轴对称定解问题边界条件与角边界条件与角 无关，能够推断无关，能够推断解也与角解也与角 无关。故无关。故m=0边界条件：边界条件：20第20页例例 4定解问题：定解问题：偶延拓：偶延拓：或或或或21第21页22第22页例例 5均匀电场中放置介电常数均匀电场中放置介电常数球，求介质球球，求介质球内、外内、外电场电场解：解：无穷远处有边界条件，无穷远处有边界条件，球面处有衔接条件。球面处有衔接条件。取球坐标，取球坐标，z-方向沿方向沿轴对称拉普拉斯问题轴对称拉普拉斯问题内外分别讨论，然后连接起来内外分别讨论，然后连接起来边界条件：边界条件：衔接条件：衔接条件：Internal:External:电势连续：电势连续：电位移连续：电位移连续：有限有限23第23页轴对称拉普拉斯方程解普通形式：轴对称拉普拉斯方程解普通形式：球内球内 有限：有限：球外球外无穷远边值：无穷远边值：24第24页利用衔接条件：利用衔接条件：解得解得25第25页球内电场强度：球内电场强度：26第26页（七）母函数（七）母函数定义：定义：叫勒让德多项式叫勒让德多项式母函数。母函数。电荷在单位球北极。电荷在单位球北极。求球内任一点电势。求球内任一点电势。它又是拉普拉斯方程内解：它又是拉普拉斯方程内解：令令故故27第27页令令所以所以半径半径 R 球：球：球外球外28第28页例例6解：解：利用已知结果。利用已知结果。导体内：等势。导体内：等势。导体外：导体外：无导体时有导体时，设有导体时，设接地接地29第29页又又是是 处电荷处电荷 电势。这个电荷叫原电荷电势。这个电荷叫原电荷镜像镜像。是原电荷电势与镜像电荷电势叠加。是原电荷电势与镜像电荷电势叠加。30第30页（八）递推公式（八）递推公式两边对两边对r求导求导或或两边同幂两边同幂 系数系数递推递推公式公式31第31页32母函数应用：母函数应用：勒让德多项式模计算勒让德多项式模计算第32页10.2 10.2 连带勒让德函数连带勒让德函数（一）函数（一）函数设设(1)(1)表示式表示式33第33页(2)(2)微分表示微分表示情况：情况：二阶微分方程最少有两个独立解，但满足特定边界条件本征二阶微分方程最少有两个独立解，但满足特定边界条件本征解只有一个，故这两个解只相差一个常数。解只有一个，故这两个解只相差一个常数。比较最高次幂系数比较最高次幂系数34第34页(3)(3)积分表示积分表示（二）正交关系（二）正交关系（三）模（三）模屡次分步积分：屡次分步积分：（四）广义傅立叶级数（四）广义傅立叶级数35第35页36连带勒让德函数连带勒让德函数第36页以以 为基，再为基，再-1,1-1,1区间展开函数区间展开函数例例1例例237第37页项系数有贡献项系数有贡献项系数有贡献项系数有贡献每项含有每项含有x38第38页10.3 10.3 普通球函数普通球函数（一）（一）球函数球函数（二）正交关系（二）正交关系（三）模（三）模（四）球面上广义傅立叶级数（四）球面上广义傅立叶级数39第39页例例1例例2注意：注意：40第40页例例3偶极矩电场中电势偶极矩电场中电势解解沿x轴41第41页沿沿y轴轴沿沿z轴轴m=0沿任意方向沿任意方向(五五)拉普拉斯方程非轴对称解拉普拉斯方程非轴对称解例例4球内解球内解42第42页其余其余边界条件：边界条件：例例5球外解球外解43第43页四极矩四极矩取分量：取分量：一个偶极一个偶极矩电势矩电势两个偶极两个偶极矩电势矩电势偶极矩偶极矩44第44页普通普通45第45页加法公式：加法公式：用普通球函数用普通球函数展开展开复数形式复数形式矢量矢量OP与与OM标积标积归一化球函数归一化球函数46第46页