模糊控制的数学基础2市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

含糊控制数学基础含糊控制数学基础第1页22.1 概述概述v含糊数学(含糊集）是含糊控制数学基础，它是由美国加利福尼亚大学Zadeh教授最先提出。他将含糊性和集合论统一起来，在不放弃集合数学严格性同时，使其吸收人脑思维中对于含糊现象认识和推理优点。v“含糊”，是指客观事物彼此间差异在中间过渡时，界限不显著，展现出“亦此亦彼”性。“含糊”是相对于“准确”而言。“准确”：“老师”、“学生”、“工人”“含糊”：“高个子”、“热天气”、“年轻人”v含糊数学并不是让数学变成模含糊糊东西，而是用数学工具对含糊现象进行描述和分析。含糊数学是对经典数学扩展，它在经典集合理论基础上引入了“隶属函数”概念，来描述事物对含糊概念隶属程度。第2页32.2 普通集合普通集合*集合 含有特定属性对象全体，称为集合。比如：“湖南大学学生”能够作为一个集合。集合通惯用大写字母A，B，Z来表示。*元素 组成集合各个对象，称为元素，也称为个体。通惯用小写字母a，b，z来表示。*论域 所研究全部对象总和，叫做论域，也叫全集合。*空集 不包含任何元素集合，称为空集，记做。*子集 集合中一部分元素组成集合，称为集合子集。1）集合概念 若元素 a 是集合 A 元素，则称元素 a 属于集合 A，记为aA；反之，称a不属于集合A，记做 。*属于*包含 若集合A是集合B子集，则称集合A包含于集合B，记为 ；或者集合B包含集合A，记为 。对于两个集合A和B，假如 和 同时成立，则称A和B相等，记做A=B。此时A和B有相同元素，互为子集。*相等*有限集 假如一个集合包含元素为有限个，就叫做有限集；不然，叫做无限集。第3页42）集合表示法 将集合中全部元素都列在大括号中表示出来，该方法只能用于有限集表示。比如10-20之间偶数组成集合A，则A可表示为 A=10，12，14，16，18，20*表征法 表征法将集合中全部元素共同特征列在大括号中表征出来。上例中集合A也可用表征法表示为A=a|a为偶数，10a 202.2 普通集合普通集合*列举法第4页5*集合交设X，Y为两个集合，由既属于X又属于Y元素组成集合P称为X，Y交集，记作P=XY*集合并设X，Y为两个集合，由属于X或者属于Y元素组成集合Q称为X，Y并集，记作Q=XY *集合补在论域Y上有集合X，则X补集为3）集合运算 2.2 普通集合普通集合第5页6详细算法是：在X，Y中各取一个元素组成序偶（x，y），全部序偶组成集合，就是X，Y直积。*集合直积 设X，Y为两集合，定义X，Y直积为4）集合特征函数设x为论域X中元素，A为论域X中定义一个集合，则x和A关系能够用集合A特征函数来表示。它值域是0，1，它表示元素x是否属于集合A。假如x属于集合A，那么值为1；假如x不属于集合A，那么值为0。即2.2 普通集合普通集合第6页7(1)含糊集合定义：2.3 2.3 含糊集合含糊集合 例例2.3.1 2.3.1 论域为论域为1515到到3535岁之间人，含糊集岁之间人，含糊集 表示表示“年轻人年轻人”，则含糊集隶，则含糊集隶属函数可定义为属函数可定义为则年纪为则年纪为3030岁人属于岁人属于“年轻人年轻人”程度为：程度为：给定论域给定论域E E中一个含糊集中一个含糊集 ，是指任意元素，是指任意元素xExE，都不一样程度地属于这个，都不一样程度地属于这个集合，元素属于这个集合程度能够用隶属函数集合，元素属于这个集合程度能够用隶属函数 00，11来表示。来表示。第7页8(2)含糊集合表示法：1）Zadeh表示法当论域上元素为有限个时，定义在该论域上含糊集可表示为：注意：式中“”和“/”，仅仅是分隔符号，并不代表“加”和“除”。例2.3.2 假设论域为5个人身高，分别为172cm、165cm、175cm、180cm、178cm，他们身高对于“高个子”含糊概念隶属度分别为0.8、0.78、0.85、0.90、0.88。则含糊集“高个子”能够表示为 高个子 2.3 2.3 含糊集合含糊集合 第8页92）序偶表示法 当论域上元素为有限个时，定义在该论域上含糊集还可用序偶形式表示为：或简化为：对于上例含糊集“高个子”能够用序偶法表示为 高个子或 高个子2.3 2.3 含糊集合含糊集合 第9页103）隶属函数描述法 论域U上含糊子集能够完全由其隶属函数表示。假设年纪论域为U=15，35，则含糊集“年轻”可用隶属函数表征为：该隶属函数形状如图 2.3 2.3 含糊集合含糊集合 第10页11（3)含糊集合运算 含糊集合与普通集合一样也有交、并、补运算。假设和为论域U上两个含糊集，它们隶属函数分别为和n 含糊集交n 含糊集并n 含糊集补n 相等若，总有成立，则称和相等，记作。n 包含若，总有成立，则称包含，记作。2.3 2.3 含糊集合含糊集合 第11页12例2.3.3：设论域U=a,b,c,d,e上有两个含糊集分别为：求 2.3 2.3 含糊集合含糊集合 第12页13（4）含糊运算性质：n交换率，n结合率，n分配率n传递率，则，n幂等率n摩根率，n复原率2.3 2.3 含糊集合含糊集合 第13页142.4 2.4 水平截集水平截集v水平截集定义 在论域在论域U U中，给定一个含糊集合中，给定一个含糊集合A A，由对于，由对于A A隶属度大于某一水平值隶属度大于某一水平值（阈值）元素组成集合，叫做该含糊集合（阈值）元素组成集合，叫做该含糊集合水平截集。用公式能够描水平截集。用公式能够描述以下：述以下：其中其中xUxU，0,10,1。显显然，然，A A是一个普通集合。是一个普通集合。例例2.4.1 2.4.1 已知已知，求求A0.1、A0.2、A0.7 第14页152.4 2.4 水平截集水平截集v水平截集性质水平截集性质 1 1）ABAB水平截集是水平截集是A A和和B B并集：并集：2 2）ABAB水平截集是水平截集是A A和和B B交集：交集：3 3）假如）假如0,1,0,10,1,0,1且且 ，则，则第15页162.5 2.5 含糊关系含糊关系 (1)普通关系“关系”是集合论中一个主要概念，它反应了不一样集合元素之间关联。普通关系是用数学方法描述不一样普通集合中元素之间有没有关联。例2.5.1 举行一次东西亚足球反抗赛，分两个小组A=中国，日本，韩国，B=伊朗，沙特，阿联酋。抽签决定对阵形势为：中国-伊朗，日本-阿联酋，韩国-沙特。用R表示两组对阵关系，则R可用序偶形式表示为：R=（中国，伊朗），（日本，阿联酋），（韩国，沙特）第16页17可见关系R是A，B直积AB子集。也可将R表示为矩阵形式，假设R中元素r(i,j)表示A组第i个球队与B组第j个球队对应关系，如有对阵关系，则r(i,j)为1，不然为0，则R可表示为：该矩阵称为A和B关系矩阵。由普通关系定义能够看出：在定义了某种关系之后，两个集合元素对于这种关系要么相关联，r(i,j)1；要么没相关联，r(i,j)0。这种关系是很明确。2.5 2.5 含糊关系含糊关系第17页18（2）含糊关系人和人之间关系“亲密”是否？儿子和父亲之间长相“相像”是否？家庭是否“和睦”？这些关系就无法简单用“是”或“否”来描述，而只能描述为“在多大程度上是”或“在多大程度上否“。这些关系就是含糊关系。我们能够将普通关系概念进行扩展，从而得出含糊关系定义。2.5 2.5 含糊关系含糊关系第18页19 含糊关系定义 假设x是论域U中元素，y是论域V中元素，则U到V一个含糊关系是指定义在上一个含糊子集，其隶属度代表x和y对于该含糊关系关联程度。例2.5.2 我们用含糊关系来描述儿女与父母长相“相像”关系，假设儿子与父亲相像程度为0.8，与母亲相像程度为0.3；女儿与与父亲相像程度为0.3，与母亲相像程度为0.6。则可描述为：2.5 2.5 含糊关系含糊关系第19页20含糊关系经常用矩阵形式来描述。假设xU，yV，则U到V含糊关系可以用矩阵描述为则上例中含糊关系又能够用矩阵描述为：2.5 2.5 含糊关系含糊关系第20页21 含糊关系运算 假设R和S是论域上UV两个含糊关系，分别描述为：那么，含糊关系运算规则可描述以下：含糊关系相等：含糊关系包含：含糊关系并：2.5 2.5 含糊关系含糊关系第21页22含糊关系交：含糊关系补：2.5 2.5 含糊关系含糊关系第22页23例2.5.3 已知 求：解：依据含糊关系运算规则得：2.5 2.5 含糊关系含糊关系第23页24 含糊关系合成设R是论域UV上含糊关系，S是论域VW上含糊关系，R和S分别描述为：则R和S能够合成为论域UW上一个新含糊关系C，记做合成运算法则为：2.5 2.5 含糊关系含糊关系第24页25例2.5.4:假设含糊关系R描述了儿女与父亲、叔叔长相“相象”关系，含糊关系S描述了父亲、叔叔与祖父、祖母长相“相象”关系，R和S分别描述为：求儿女与祖父、祖母长相“相像”关系C.2.5 2.5 含糊关系含糊关系第25页26解：由合成运算法则得：所以，2.5 2.5 含糊关系含糊关系第26页27（3）含糊变换 2.5 2.5 含糊关系含糊关系设有二有限集X=x1,x2,xm和Y=y1,y2,yn，R是XY上含糊关系：设A和B分别为X和Y上含糊集：隶属函数运算规则为：则称B是A象，A是B原象，R是X到Y上一个含糊变换。且满足第27页282.5 2.5 含糊关系含糊关系例2.5.5：已知论域X=x1,x2,x3和Y=y1,y2，A是论域X上含糊集：R是X到Y上一个含糊变换，试经过含糊变换R求A象B解：第28页29例例2.5.6 艺术学院招生，对考生所需考查素质有：艺术学院招生，对考生所需考查素质有：歌舞，演出，外在歌舞，演出，外在。对各。对各种素质评语分为四个等级种素质评语分为四个等级好，很好，普通，差好，很好，普通，差。某学生演出完成后，评委对其评价为：某学生演出完成后，评委对其评价为：好好v很很好好v普普通通差差歌舞歌舞30302020v演演出出10205020外在外在40401010假如考查学生培养为电影演员潜质，则对演出要求较高，其它较低。假如考查学生培养为电影演员潜质，则对演出要求较高，其它较低。定义加权含糊集为：定义加权含糊集为：A0.25 0.5 0.25试依据含糊变换来得到评委对该学生培养为电影演员最终止论。试依据含糊变换来得到评委对该学生培养为电影演员最终止论。2.5 2.5 含糊关系含糊关系第29页30 解：依据含糊变换能够得到评委对该学生培养为电影演员决议集：解：依据含糊变换能够得到评委对该学生培养为电影演员决议集：综合评判：选取隶属度最大元素作为最终评语，评委评语为综合评判：选取隶属度最大元素作为最终评语，评委评语为“普通普通”2.5 2.5 含糊关系含糊关系第30页312.6 语言规则中蕴涵含糊关系“天气很冷，快要下雪了”气温-下雪概率(1)语言变量 语言变量是自然语言中词或句，它取值不是通常数，而是用含糊语言表示含糊集合。比如“年纪”就能够是一个含糊语言变量，其取值为“年幼”，“年轻”，“年老”等含糊集合。第31页32定义一个语言变量需要定义以下4个方面内容：定义变量名称 定义变量论域 定义变量语言值（每个语言值是定义在变量论域上一个含糊集合）定义每个含糊集合隶属函数。例2.6.1：试依据定义语言变量4要素来定义语言变量“速度”。首先，定义变量名称为“速度”，记做x；其次，定义变量“速度”论域为0，200km/h；再次，在论域0，200上定义变量语言值为 慢，中，快；最终，在论域上分别定义各语言值隶属函数为 2.6 语言规则中蕴涵含糊关系第32页33定义隶属函数形状如图(2)含糊蕴含关系 人类在生产实践和生活中操作经验和控制规则往往能够用自然语言来描述。譬如，在汽车驾驶速度控制过程中，控制规则能够描述为“假如速度快了，那么减小油门；假如速度慢了，那么加大油门。”下面就来介绍怎样利用含糊数学从语言规则中提取其蕴涵含糊关系。2.6 语言规则中蕴涵含糊关系第33页341）简单条件语句蕴涵关系 2.6 语言规则中蕴涵含糊关系“假如那么”或“假如那么，不然”n假设u，v 是已定义在论域U U和V两个语言变量，人类语言控制规则为“假如u是A，则v是B”，其蕴涵含糊关系R为：式中，AB称作A和B笛卡儿乘积，其隶属度运算法则为：所以，R运算法则为：第34页352.6 语言规则中蕴涵含糊关系n假设u，v 是已定义两个语言变量，人类语言控制规则为“假如u是A，则v是B；不然，v是C”则该规则蕴涵含糊关系R为：第35页362.6 语言规则中蕴涵含糊关系例2.6.2：定义两语言变量“误差u”和“控制量v”；二者论域：U=V=1,2,3,4,5；定义在论域上语言值为：小，大，很大，不很大=A，B，G，C；定义各语言值隶属函数为：分别求出控制规则“假如u 是小，那么 v 是大”蕴涵含糊关系R1和规则“假如u 是小，那么 v 是大；不然，v 是不很大”蕴涵含糊关系R2。第36页372.6 语言规则中蕴涵含糊关系解：（1）求解R1（2）求解R2 第37页382）多重条件语句蕴涵关系由多个简单条件语句并列组成语句叫做多重条件语句，其句型为：假如u是A1，则v是B1；不然，假如u是A2，则v是B2；不然，假如u是An，则v是Bn。该语句蕴涵含糊关系为：其隶属函数为：2.6 语言规则中蕴涵含糊关系第38页393）多维条件语句蕴涵关系含有多输入量简单条件语句，我们称之为多维条件语句。其句型为：假如u1是A1，且u2是A2，且um是Am，则v是B该语句蕴涵含糊关系为：其隶属函数为：2.6 语言规则中蕴涵含糊关系第39页402.6 语言规则中蕴涵含糊关系例例2.6.3 已知语言规则为已知语言规则为“假如假如e是是A，而且，而且ec是是B，那么，那么u是是C。”其中其中 试求该语句所蕴涵含糊关系试求该语句所蕴涵含糊关系 R。解：解：第一步，先求第一步，先求R1AB：第40页41第二步，将二元关系矩阵第二步，将二元关系矩阵R1排成列向量形式排成列向量形式R1 T，先，先将中第一行元素写成列向量形式，再将中第二行元素将中第一行元素写成列向量形式，再将中第二行元素也写成列向量并放在前者下面，假如是多行，再依次也写成列向量并放在前者下面，假如是多行，再依次写下去。于是写下去。于是R1可表示为：可表示为：第三步，第三步，R可计算以下：可计算以下：2.6 语言规则中蕴涵含糊关系第41页422.6 语言规则中蕴涵含糊关系4）多重多维条件语句蕴涵关系含有多输入量多重条件语句，我们称之为多重多维条件语句。其句型为：含有多输入量多重条件语句，我们称之为多重多维条件语句。其句型为：假如u1是A11，且u2是A12，且um是A1m，则v是B1；不然，假如u1是A21，且u2是A22，且um是A2m，则v是B2；不然，假如u1是An1，且u2是An2，且um是Anm，则v是Bn；则该语句蕴涵含糊关系为：则该语句蕴涵含糊关系为：其隶属函数为：其隶属函数为：第42页432.7 含糊推理常规推理：常规推理：已知已知x，y之间函数关系之间函数关系yf(x)，则对于某个，则对于某个x*，依据，依据f()能够能够推理得到对应推理得到对应y*。xyf()x*y*=f(x*)推理推理含糊推理：含糊推理：知道了语言控制规则中蕴涵含糊关系后，就能够依据含糊关系知道了语言控制规则中蕴涵含糊关系后，就能够依据含糊关系和输入情况，来确定输出情况，这就叫做和输入情况，来确定输出情况，这就叫做“含糊推理含糊推理”。xyRx*=Ay*=B推理推理第43页442.7 含糊推理（1）单输入含糊推理对于单输入情况，假设两个语言变量x，y之间含糊关系为R，当x含糊取值为A*时，与之相对应y取值B*，可经过含糊推理得出，以下式所表示：上式计算方法有两种：1）Zadeh法法第44页452.7 含糊推理例例2.7.1 在在例例2.6.2中，已经求出控制规则中，已经求出控制规则“假如假如u 是小，那么是小，那么 v 是大是大”蕴涵含蕴涵含糊关系为糊关系为R1，现在，已知输入量，现在，已知输入量u 含糊取值为含糊取值为“略小略小”，记做，记做A1，令，令A1=(1,0.89,0.55,0.32,0)求控制量求控制量v依据规则对应取值依据规则对应取值B1。解：同理，可解得：同理，可解得：所以第45页462.7 含糊推理2）Mamdani推理方法推理方法与与Zadeh法不一样是，法不一样是，Mamdani推理方法用推理方法用A和和B笛卡儿积来表示笛卡儿积来表示AB含含糊蕴涵关系。糊蕴涵关系。则对于单输入推理情况，计计算方法算方法为为：叫做和叫做和A适配度，它是适配度，它是A*和和A交集高度。交集高度。依据依据Mamdani推理方法，结论能够看作用推理方法，结论能够看作用对对B进行切割，所以这种方进行切割，所以这种方法又能够形象地称为法又能够形象地称为削顶法削顶法。第46页472.7 含糊推理单输入单输入Mamdani推理图形化描述（削顶法）推理图形化描述（削顶法）第47页48（2）多输入含糊推理对于语言规则含有多个输入情况，假设输入语言变量对于语言规则含有多个输入情况，假设输入语言变量x1,x2,xm与输出与输出语言变量语言变量y之间含糊关系为之间含糊关系为R，当输入变量含糊取值分别为，当输入变量含糊取值分别为A1*,A2*,Am*时，与之相对应时，与之相对应y取值取值B*，可经过下式得到：，可经过下式得到：2.7 含糊推理第48页49例2.7.2，已知 2.7 含糊推理试依据试依据例例2.6.3中语言规则求中语言规则求“e 是是A*而且而且ec 是是B*”时输出时输出u含糊值含糊值C*。解：解：第49页50把把R2写成行向量形式，并以写成行向量形式，并以R2T表示，则表示，则 令令 2.7 含糊推理第50页512.7 含糊推理对于二输入含糊推理，还能够依据对于二输入含糊推理，还能够依据Mamdani方法用图形法进行描述方法用图形法进行描述：二维含糊规则：二维含糊规则：R：IF x is A and y is B THEN z is C，能够看作两个单，能够看作两个单维含糊规则交集：维含糊规则交集：R1：IF x is A THEN z is C，and R2：IF y is B THEN z is C。则当二维输入变量含糊取值分别为则当二维输入变量含糊取值分别为A*和和B*时，依据时，依据R推理得到含糊输出推理得到含糊输出C*等于依据等于依据R1推理得到含糊输出推理得到含糊输出C1*和依据和依据R2推理得到含糊输出推理得到含糊输出C2*交集。交集。第51页52其运算法则为：其运算法则为：上式图形化意义在于用上式图形化意义在于用1 1和和2 2最小值对最小值对C进行削顶。进行削顶。2.7 含糊推理第52页53（3）多输入多规则含糊推理）多输入多规则含糊推理 以二输入为例，对于多规则情况，规则库能够描述为：以二输入为例，对于多规则情况，规则库能够描述为：R：R1：IF x is A1 and y is B1 THEN z is C1;R2：IF x is A2 and y is B2 THEN z is C2;Rn：IF x is An and y is Bn THEN z is Cn;则当二维输入变量含糊取值分别为则当二维输入变量含糊取值分别为A*和和B*时，依据时，依据R推理得到含糊输出推理得到含糊输出C*等于全部依据等于全部依据Ri推理得到含糊输出推理得到含糊输出Ci并集。并集。2.7 含糊推理第53页542.7 含糊推理 两规则二输入含糊推理图形化描述两规则二输入含糊推理图形化描述 第54页55小结小结含糊集理论是含糊控制数学基础，是描述含糊性概念有效数学工具。含含糊集理论是含糊控制数学基础，是描述含糊性概念有效数学工具。含糊集合理论是普通集合理论拓展，它经过引入隶属函数概念到达了对含糊集合理论是普通集合理论拓展，它经过引入隶属函数概念到达了对含糊概念描述目标。糊概念描述目标。本章详细地介绍了含糊集合、含糊关系概念及其与普通集合、普通关系本章详细地介绍了含糊集合、含糊关系概念及其与普通集合、普通关系之间关系、并给出了怎样从人类自然语言规则中提取其蕴涵含糊关系方之间关系、并给出了怎样从人类自然语言规则中提取其蕴涵含糊关系方法，介绍了怎样依据含糊关系进行含糊推理。法，介绍了怎样依据含糊关系进行含糊推理。第55页56作作 业业已知语言变量已知语言变量x，y，z。X论域为论域为1,2,3，定义有两个语言值：，定义有两个语言值：“大大”0,0.5,1；“小小”=1,0.5,0。Y论域为论域为10,20,30,40,50，语言值为：，语言值为：“高高”=0,0,0,0.5,1;“中中”=0,0.5,1,0.5,0;“低低”=1,0.5,0,0,0。Z论域为论域为0.1,0.2,0.3，语言值为：，语言值为：“长长”=0,0.5,1；“短短”=1,0.5,0则则1）试求规则：）试求规则：假如假如 x 是是“大大”而且而且 y 是是“高高”那么那么 z是是“长长”；不然，假如不然，假如 x 是是“小小”而且而且 y 是是“中中”那么那么 z是是“短短”。所蕴涵所蕴涵x，y，z之间含糊关系之间含糊关系R。2）假设在某时刻，）假设在某时刻，x是是“略小略小”=0.7,0.25,0，y是是“略高略高”=0,0,0.3,0.7,1 试依据试依据R经过经过Zadeh法含糊推理求出此时输出法含糊推理求出此时输出z语言取值。语言取值。第56页