西南交通大学2016-2017第二学期概率论与数理统计期末试题及解析.doc

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西南交通大学2016-2017学年第(二)学期期末试卷
课程代码 1271031 课程名称 概率论与数理统计B（ A卷）考试时间 120分钟
题号
一
二
三
四
五
六
七
总成绩
得分

阅卷教师签字

（,,,,;,, , , , , , , ）
一、选择题(6*4分=24分)
1、设随机变量，且满足，则等于（ ）。

2、设两个相互独立的随机变量与分别服从正态分布与，则（ ）。

3、设随机变量与的方差存在且不为0，则是和（ ）。
（A）不相关的充分条件，但不是必要条件 （B）独立的充分条件，但不是必要条件
（C）不相关的充分必要条件 （D）独立的充分必要条件

4、在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度，电炉就断电。以表示事件“电炉断电”，设为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件等于事件（ ）。

5、将一枚硬币重复抛次，以和分别表示正面向上和反面向上的次数，则和的相关系数等于（ ）。

6、设随机变量，，则（ ）。

二、解答题
1、（12分）在天平上重复称一重为的物品，假设各次称量结果相互独立且同时服从正态分布。以表示次称量结果的算术平均值，试求为使，样本容量的最小值。

2、（12分）某班车起点站上车人数服从参数为的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为，且中途下车与否相互独立。以表示中途下车的人数，求：
（1）在发车时有个乘客的条件下，中途有人下车的概率；
（2）二维随机变量的概率分布。

3、（12分）设两个随机变量与相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，试求随机变量的方差。

4、（12分）假设一条生产线生产的产品合格率是0.8，要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于90%，问这批产品至少要生产多少件？

5、（14分）设某机床加工的零件长度 ， 今抽查16个零件，测得长度(单位: mm)为: 12.15, 12.12, 12.01, 12.08, 12.09, 12.16, 12.03, 12.01, 12.06, 12.13, 12.07, 12.11, 12.08, 12.01, 12.03, 12.06, 试求: (1) 的置信度为95% 的置信区间; (2) 在5%的显著性水平下，能否认为该机床加工的零件长度为12.10mm。

6、（14分）设总体的概率密度为

其中是未知参数，从总体中随机地抽取简单随机样本，记 ，（1）求总体的分布函数；（2）求统计量的分布函数；（3）如果用

作为的估计量，讨论它是否具有无偏性。

一、选择题(6*4分=24分)
A,B,C, C, A,C

二、解答题
1、（12分）在天平上重复称一重为的物品，假设各次称量结果相互独立且同时服从正态分布。以表示次称量结果的算术平均值，则为使，试求样本容量的最小值。
解：设第次称量结果为，，由题设知，相互独立且同时服从正态分布，所以其算术平均值， (3分)
于是

(6分)
于是，查表得 ，即 。
的最小值=16。 (3分)

2、（12分）某班车起点站上车人数服从参数为的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为，且中途下车与否相互独立。以表示中途下车的人数，求：
（1）在发车时有个乘客的条件下，中途有人下车的概率；
（2）二维随机变量的概率分布。
解：（1）因为每位乘客中途下车与否相互独立，中途下车的概率为，在发车时有个乘客的条件下，中途有人下车的概率为条件概率，再根据重贝努利概型可得：
(6分)
（2）因为，其概率分布为 ，

于是二维随机变量的概率分布为：

(6分)

3、（12分）设两个随机变量与相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，试求随机变量的方差。
解：令随机变量，因为与相互独立且同分布，则
(4分)
所以
，
(8分)

4、（12分）假设一条生产线生产的产品合格率是0.8.要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于90%，问这批产品至少要生产多少件？
【解】令
而至少要生产n件，则i=1,2,…,n,且X1，X2，…，Xn独立同分布，p=P{Xi=1}=0.8.现要求n,使得

即
(8分)
由中心极限定理得

整理得查表
n≥270.60, 故取n=271. (4分)

5、（14分）设某机床加工的零件长度 ， 今抽查16个零件，测得长度(单位: mm)为: 12.15, 12.12, 12.01, 12.08, 12.09, 12.16, 12.03, 12.01, 12.06, 12.13, 12.07, 12.11, 12.08, 12.01, 12.03, 12.06, 试求: (1) 的置信度为95% 的置信区间; (2) 在5%的显著性水平下，能否认为该机床加工的零件长度为12.10mm。
解：由数据计算得: , , ,
置信水平 , , , ,
则 的置信水平为0.95的区间估计为
(7分)
本问题是方差未知的条件下, 的假设检验，故
a) ,
b) ,
c)
d) 的拒绝域为

e) 故

所以接受, 即认为该机床加工的零件长度为12.10mm。 (7分)

6、（14分）设总体的概率密度为

其中是未知参数，从总体中随机地抽取简单随机样本，记
，（1）求总体的分布函数；（2）求统计量的分布函数；（3）如果用作为的估计量，讨论它是否具有无偏性。
解：（1）总体的分布函数
当时，；
当时，；
即得 (5分)
（2）的分布函数为：

(5分)
（3）因为的概率密度函数为

而
所以不是的无偏估计。 (4分)

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