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第二章 解析函数1 1 复变函数导数复变函数导数 一、复变函数导数一、复变函数导数 二、复变函数导数存在充要条件二、复变函数导数存在充要条件 三、解析函数三、解析函数 四、初等函数四、初等函数 2 2 多值函数和单值分枝多值函数和单值分枝3 3 解析函数和调和解析函数和调和函数函数第1页第二章 解析函数11 复变函数导数复变函数导数 一一.复变函数导数复变函数导数 1 1、导数定义、导数定义存在，则称函数f(z)在z0处可导(可微)，称该极限值为f(z)在z0处导数(微商)，记作 设w=f(z)在z0 邻域内有定义，z0+z邻域内，假如极限第2页 定义定义 (-语言语言)对于任意给定0，存在()0,当 时，有注意：z0方式是任意。第3页 2 2、求导法则、求导法则第4页说明l假如函数w=f(z)在区域B内每一点可导，则称f(z)在区域B内可导：两个例子：1.求dzn/dz=nzn-1 2.求证w=在z平面上处处连续，但处处不可导l可导必连续。第5页第6页第7页设z沿着平行于x轴方向趋向于0，因而y=0,z=x,这时极限设z沿着平行于y轴方向趋向于0，因而x=0,z=iy,这时极限所以 导数不存在，原函数在复平面上处处不可导。第8页 3 可导和连续关系可导和连续关系 我们知道：若复变函数在某点连续，则该函数在该点极限一定存在，反之不一定成立.那么可导与连续有何关系？若函数在某点可导，必在该点连续但反之不一若函数在某点可导，必在该点连续但反之不一定成立定成立.如上例 ，显然在复平面上处处连续但在复平面处处不可导.第9页二、复变函数导数存在充要条件二、复变函数导数存在充要条件z可导条件y分析yC-R条件xux=vy xvx=-uyy充分条件x偏导数 ux，vy，vx，uy 连续x满足C-R条件y意义x可导函数虚部与实部不是独立，而是相互紧密联络。第10页柯西柯西黎曼条件应用黎曼条件应用 例例2.1.3 讨论函数 在复平面上可导性。【解解】注意到 ，判断 C-R条件是否成立 即 ，显然在复平面处处不满足C-R条件，故原函数在复平面处处不可导。说明：说明：上述例题告诉我们，用C-R条件来判断函数不可导是方便但当满足C-R条件时，函数就一定可导吗？第13页第14页 依据函数可导定义式有 当 ，（且使得 ），那么当z沿射线 趋于0时，上式比值为 ，显然不一样 趋向得到不一样值，故原函数在z0=0 处不可导。本例题告诉我们即使函数满足C-R条件，依然可能不可导那么C-R条件还需加上什么条件才能确保函数可导呢？所以需要讨论可导充分必要条件.第15页定理定理 设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内，则f(z)在D内一点z=x+iy可导充要条件是：u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微，而且在该点满足Cauchy-Riemann(柯西黎曼)方程 且意义：可导函数虚部与实部不是独立，而是相互紧密联络。第16页导数计算公式极坐标下Cauchy-Riemann条件设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy可导，那么第17页三、解析函数概念三、解析函数概念 1 1、定义定义 若函数w=f(z)在点z0及其邻域内处处可导，则称函数w=f(z)在点z0处解析。若函数w=f(z)在区域D内处处可导，则称函数w=f(z)在区域D内解析，或称f(z)是区域D内解析函数。若w=f(z)在点z0不解析，则称点z0为w=f(z)奇点。应该注意应该注意，可导与解析关系.就个别点来说，可导与解析是两个不一样概念，但就区域而言，可导与解析则是等价概念。第18页 由导数运算法则和解析函数定义，轻易得到下述结论：定理定理 两个解析函数和、差、积、商(分母不为零)及复合函数依然解析，有理分式函数 (其中P(z)、Q(z)都是多项式)，除去使Q(z)=0点外处处解析。第19页2 2、函数解析充要条件函数解析充要条件 定理定理 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定义域D内解析充要条件是：u(x,y)与v(x,y)在D内可导，而且满足Cauchy-Riemann(柯西黎曼)(C-R)方程 例：讨论以下函数连续性、可导性和解析性第20页例：假如函数w=u(x,y)+iv(x,y)为解析函数，那么它一定能单独用z来表示（即w=f(z),而与 无关，即 。证：第21页四、初等函数四、初等函数 1.1.幂函数幂函数 性质：单值，复平面上处处解析。3.3.指数函数指数函数定义：设z=x+iy是任意复数，指数函数ez定义为 2.2.分式函数分式函数 性质：单值，复平面上除了Q(z)=0外处处解析，Q(z)=0和z=是奇点。第22页性质：(3)指数函数不取零值：ez0，即复平面上 无零点。(1)服从加法定理：对于任意z1，z2，有 (2)周期性：ez以2i为周期 (4)ez在复平面上解析，且 (5)不存在，z=是奇点第23页第24页注意注意 (1)ez可能取负值。比如，即不满足Rolle(洛尔)定理，可见数学分析中微分中值定理不能推广到复平面上来。(2)在复平面上，ez=ez+2ki(k为整数)，但第25页 4.4.三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数 称为复数z正弦函数正弦函数和余弦函数余弦函数。(2)解析性：在复平面上处处解析（为何？）且(1)当z为实数时，与普通正弦函数正弦函数和余弦函数相同。余弦函数相同。2）性质性质 (4)遵从通常三角恒等式 (3)周期性：以2为周期 1）定义：把第26页（5）无界函数：与 不成立！我们把 分别称为z正切、余切、正割和余割函数。第27页第28页 双曲函数双曲函数 我们分别称为双曲余弦函数，双曲正弦函数和双曲正切函数。第29页第30页 双曲函数性质双曲函数性质 (2)解析性 (1)奇偶性 (3)加法定理成立 (4)周期性 (5)与三角函数关系第31页2 2 多值函数和单值分枝多值函数和单值分枝 1.1.根式函数根式函数-幂函数反幂函数反函数函数 多值函数，n值 根式函数多值性源于辐角多值性，也能够说，是因为自变量z能够绕支点转动，造成辐角改变假如以某种方式把z平面割破，使得自变量z不能绕支点转动，这等价于对宗量辐角取值范围加以限制，则函数值就变成确定，也就是得到了一个单值分支对辐角取值范围加以不一样限制就得到不一样单值分支 第32页 对于一个给定点z0和给定函数w=f(z)，假如变点z在z0点充分小邻域内绕z0转一周回到原来点时，函数值与原来值不相同，则称此z0点为函数f(z)支点。根式函数如在复平面上割破(连接z=0和z=点)负实轴(标准上，可用任一条连结z=0和z=射线，把z平面割破)，点z就算也不能绕支点z=0和支点z=回绕了。所以，任意点幅角都是唯一确定。普通地，用来割破z平面借以分出多值函数单值分支割线，称为支割线(通俗地说，支割线就是支点连线)。第33页 函数函数 黎曼面黎曼面 在z平面上割破(连接z=0和z=)负实轴，能够得到 两个不一样完全分离单值函数。第34页为了直观地表示出w0及w1来，我们构想两个z平面相重迭，原点位置与实轴、虚轴方向都相同，在上平面用D0表示，相当于-；在下平面用D1表示，相当于3,而且沿着支割线(即从原点出发负半轴)使D0上岸(=)与D1下岸(=)粘合,并使D1上岸(=3)与D0下岸(=-)“粘合”，这么模型就是 黎曼面。两叶截口处相互交叉，其在支割线垂直纵面如图。第35页 2.2.对数函数对数函数-指数函数指数函数反反函数函数表示式：称 为Lnz主值，记为lnz，即 定义：定义：满足 函数w=f(z)称为对数函数，记为为一单值函数对数函数为无穷多值函数，对每一个k值称为Lnz一个分支第36页 解析性：w=Lnz在各个分支，即除去原点及负实轴平面内解析，而且有相同导数值 。性质:设z10,z20，则 注意注意 普通不能有 ln(z1z2)=lnz1+lnz2 等式子，这一点要尤其小心。第37页第38页 2）等式 不再成立。(请举出例子)注意注意 1)在复变函数中，负数也有对数。这一点和实变函数中不一样，而且正实数对数在复变函数中也是无穷多值。第39页 3.3.普通幂函数普通幂函数 我们定义 Zs=eslnz (s为复数，z0)为普通幂函数。因为 所以，普通来说zs是一个多值函数，称 为zs主值。第40页 尤其(1)当s=n(n为正整数)时，w=zs=zn为单值函数，它是zn次乘方。(2)当s=-n(n为正整数)时，(3)当 (n为正整数)时，,为根式函数，是n多值函数 (4)当 (p和q为互质整数，q0)时，zs含有q个不一样值，即当k=0,1,q-1时对应各个值(5)当s是无理数或普通复数(Ims0)时，zs含有没有穷多值。第41页 (1)zs在除去原点与负实轴z平面上解析，而zn在整个z平面上解析(当n取负整数时除去原点)。普通幂函数普通幂函数 w=zs解析性解析性在单值分支内普通幂函数是单值函数 w=zs=eslnz也是除去原点与负实轴z平面上解析函数，而且 注意注意 普通幂函数zs与整数次幂函数zn有以下两点较大区分：(2)zs是无穷多值函数，而zn是单值函数。第42页4.4.反三角函数反三角函数 定义：定义：满足z=sinw（z=cosw)函数w=f(z)称为反正(余）弦函数，记为 。第43页第三节第三节 解析函数和调和函数解析函数和调和函数一、一、Laplace方程和调和函数方程和调和函数 二元函数u(x,y)有连续二阶偏导数，且满足Laplace方程 则u(x,y)是调和函数。第44页二、解析函数实部和虚部是调和函数二、解析函数实部和虚部是调和函数 如 是解析函数，则u(x,y)和v(x,y)是调和函数。第45页三、共轭调和函数三、共轭调和函数 解析函数实部和虚部是调和函数，不过任何二个调和函数并不一定能组成解析函数，能够组成解析函数二个调和函数称为共轭调和函数。定义定义:设f(z)=u+iv为解析函数，则称v为u共轭调和函数。利用C-R条件，能够求出任何一个调和函数共轭调和函数，普通有二个方法：1）利用C-R条件进行积分，2）利用全微分进行积分,3)不定积分法（第三章中讲）。第46页1 1）利用）利用C-RC-R条件进行积分条件进行积分,由由u u求求v v 因为 vy=ux,所以其中F（x,y）是已知函数，C（x,y）是待定参数。即可求出C(x),从而v(x,y)=F（x,y）+C（x,y）第47页 2）利用全微分进行积分 设u为解析函数f(z)实部。因为u和v是调和函数，一定是可微，它全微分是 全微分积分和积分路径无关，仅和起点和终点相关。依据C-R条件，全微分又能够写成 积分路径起点是定点。第48页 3 3）不定积分法）不定积分法由解析函数导数 第49页例1已知第50页