清华微积分高等数学第八讲微分中值定理市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

作业作业P88 习题习题4.1 5(1).7.8(2)(4).9(1).10(3).P122 综合题综合题:4.5.复习复习：P8088预习预习：P899510/10/1第1页应用导数研究函数性态应用导数研究函数性态局部性态局部性态 未定型极限未定型极限 函数局部近似函数局部近似整体性态整体性态 在某个区间上在某个区间上 函数单调性、函数极值函数单调性、函数极值 函数凸性、渐近性、图形函数凸性、渐近性、图形10/10/2第2页微分中值定理，包含：微分中值定理，包含：罗尔定理、拉格朗中值定理、罗尔定理、拉格朗中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理柯西中值定理、泰勒中值定理 微分中值定理是微分学理论基础。是微分中值定理是微分学理论基础。是利用导数研究函数性质理论依据。利用导数研究函数性质理论依据。微分中值定理共同特点是：微分中值定理共同特点是：在一定条件下，能够断定在所给区间在一定条件下，能够断定在所给区间内最少有一点，使所研究函数在该点含有内最少有一点，使所研究函数在该点含有某种微分性质。某种微分性质。10/10/3第3页第八讲第八讲 微分中值定理微分中值定理一、费尔马一、费尔马(Fermat)定理定理二、罗尔二、罗尔(Rolle)定理定理三、拉格朗日三、拉格朗日(Lagrange)定理定理四、柯西四、柯西(Cauchy)定理定理10/10/4第4页一、费尔马一、费尔马(Fermat)定理定理（一）极值定义：（一）极值定义：10/10/5第5页极值研究是微积分产生主要动力之一极值研究是微积分产生主要动力之一10/10/6第6页（二）费尔马定理（二）费尔马定理 (极值必要条件极值必要条件)10/10/7第7页10/10/8第8页证证10/10/9第9页10/10/10第10页微分中值定理引入微分中值定理引入(10/10/11第11页10/10/12第12页10/10/13第13页10/10/14第14页二、罗尔二、罗尔(Rolle)(Rolle)定理定理10/10/15第15页怎样证实罗尔定理怎样证实罗尔定理？先利用形象思维先利用形象思维去找出一个去找出一个C点来！点来！想到利用闭区间上连续函数想到利用闭区间上连续函数最大最小值定理！最大最小值定理！10/10/16第16页罗尔定理证实：罗尔定理证实：10/10/17第17页10/10/18第18页三、拉格朗日三、拉格朗日(Lagrange)定理定理10/10/19第19页怎样证实拉格朗日定理怎样证实拉格朗日定理？拉格朗日定理若添加条件拉格朗日定理若添加条件:则收缩为罗尔定理；则收缩为罗尔定理；罗尔定理若放弃条件罗尔定理若放弃条件:则推广为拉格朗日定理。则推广为拉格朗日定理。知识扩张所遵照规律之一就是将欲探知识扩张所遵照规律之一就是将欲探索索新问题新问题转化为已掌握转化为已掌握老问题老问题。所以想到利用罗尔定理！所以想到利用罗尔定理！10/10/20第20页满足罗尔定理条件满足罗尔定理条件弦线与弦线与f(x)在端点处相等在端点处相等设设函数函数10/10/21第21页拉格朗日定理证实：拉格朗日定理证实：结构辅助函数结构辅助函数拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式10/10/22第22页拉格朗日公式各种形式拉格朗日公式各种形式有限增量公式有限增量公式10/10/23第23页10/10/24第24页推论推论1：证证10/10/25第25页推论推论2：推论推论3：推论推论4：10/10/26第26页四、柯西四、柯西(Cauchy)定理定理10/10/27第27页柯西中值定理证实：柯西中值定理证实：结构辅助函数结构辅助函数10/10/28第28页费尔马定理费尔马定理罗尔定理罗尔定理拉格朗日定理拉格朗日定理柯西定理柯西定理10/10/29第29页零点问题零点问题以下证实恰好以下证实恰好有三个根有三个根该方程实根个数该方程实根个数就是两条曲线就是两条曲线10/10/30第30页首先证实最少有三个根首先证实最少有三个根计算表明计算表明依据介值定理依据介值定理所以方程最少有三个根所以方程最少有三个根然后证实方程最多有三个根然后证实方程最多有三个根用反证法用反证法 10/10/31第31页依据洛尔定理依据洛尔定理矛盾！矛盾！总而言之，方程恰好有三个实根总而言之，方程恰好有三个实根3510/10/32第32页直观观察能直观观察能够启发思绪够启发思绪在第一个情形在第一个情形,都不是最小值都不是最小值所以最小值一定在区间内部到达所以最小值一定在区间内部到达10/10/33第33页证证10/10/34第34页证实思绪直观分析证实思绪直观分析 例例3310/10/35第35页证证依据连续函数最依据连续函数最大最小值定理大最小值定理10/10/36第36页证证10/10/37第37页4410/10/38第38页证证10/10/39第39页10/10/40第40页证证10/10/41第41页10/10/42第42页10/10/43第43页证证10/10/44第44页10/10/45第45页证证10/10/46第46页10/10/47第47页10/10/48第48页证证10/10/49第49页10/10/50第50页10/10/51第51页