方程概论省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

数学物理方程Equations of Mathematical PhysicsEquations of Mathematical Physics第1页序言经典二阶线性偏微分方程有三种：波动方程；热传导方程；位势方程。第2页完整地处理数学物理方程包含三个方面内容：将物理问题转化为数学上定解问题；求解定解问题；求解定解问题；对得到解作出物了解释。第3页 波动方程解法行波法行波法 适合用于无界波动方程初值适合用于无界波动方程初值(Cauchy)问题问题#；分离变量法分离变量法（包括固有值问题和特殊函数）（包括固有值问题和特殊函数）适合用于有界波动方程初值边值问题；适合用于有界波动方程初值边值问题；傅氏变换法傅氏变换法 适合用于无界波动方程初值适合用于无界波动方程初值(Cauchy)问题；问题；拉氏变换法拉氏变换法 适合用于半无界波动方程初值边值问题；适合用于半无界波动方程初值边值问题；基本解方法基本解方法 适合用于无界波动方程初值适合用于无界波动方程初值(Cauchy)问题。问题。第4页 热传导方程解法分离变量法分离变量法 适合用于有界热传导方程适合用于有界热传导方程初值边值问题初值边值问题；傅氏变换法傅氏变换法 适合用于无界热传导方程初值适合用于无界热传导方程初值(Cauchy)问题；问题；拉氏变换法拉氏变换法 适合用于半无界热传导方程初值边值问题；适合用于半无界热传导方程初值边值问题；基本解方法基本解方法 适合用于无界热传导方程初值适合用于无界热传导方程初值(Cauchy)问题；问题；第5页 位势方程解法分离变量法分离变量法 适合用于有界位势方程边值问题；适合用于有界位势方程边值问题；傅氏变换法傅氏变换法 适合用于半无界高维位势方程边值问题；适合用于半无界高维位势方程边值问题；格林函数法格林函数法 适合用于一些规则区域位势方程边值问题。适合用于一些规则区域位势方程边值问题。第6页 课时安排1.方程概论(6课时)2.分离变量(4课时)3.特殊函数(8课时)4.积分变换(4课时)5.格林函数(6课时)6.数值计算(8课时)介绍性专题(4课时)第7页 数值解法第六章讨论数理方程数值解法。第六章讨论数理方程数值解法。在第一节，给出了固有值问题和特殊函数计算方法；在第一节，给出了固有值问题和特殊函数计算方法；在第二节研究了一维抛物线型方程计算方法；在第二节研究了一维抛物线型方程计算方法；第三节讨论了二维椭圆型方程、抛物线型方程以及第三节讨论了二维椭圆型方程、抛物线型方程以及双曲线型方程计算方法，包含前处理和后处理问题。双曲线型方程计算方法，包含前处理和后处理问题。第8页单位圆域内调和方程边值问题 第9页带孔矩形板热传导方程初边值问题 第10页圆形薄膜震动问题初始位移初始位移 u=Ju=J0 0(0101r)r)第11页零阶贝塞尔函数零阶贝塞尔函数J0(x)第12页第一章 方程概论1.1 基本概念偏微分方程普通形式中包含多元未知函数偏微分方程普通形式中包含多元未知函数u(x1,x2,xn)及及其若干阶偏导数其若干阶偏导数偏微分方程中能够不含未知函数偏微分方程中能够不含未知函数u，但必须含有未知函数，但必须含有未知函数u偏导数。偏导数。(1)第13页 举例第14页 线性偏微分方程未知函数未知函数u及各阶偏导数项都是一次，系数仅依赖于自变及各阶偏导数项都是一次，系数仅依赖于自变量量，则方程称之为，则方程称之为线性线性线性线性偏微分方程。偏微分方程。偏微分方程。偏微分方程。第15页 非线性偏微分方程不然称之为非线性偏微分方程。不然称之为非线性偏微分方程。第16页 拟线性偏微分方程在非线性偏微分方程中，假如关于在非线性偏微分方程中，假如关于未知函数最高阶偏导数未知函数最高阶偏导数是线性是线性，则称之为，则称之为拟线性偏微分方程。拟线性偏微分方程。拟线性偏微分方程。拟线性偏微分方程。第17页 偏微分方程阶数偏微分方程阶数等于未知函数最高偏导数阶数。偏微分方程阶数等于未知函数最高偏导数阶数。偏微分方程阶数等于未知函数最高偏导数阶数。偏微分方程阶数等于未知函数最高偏导数阶数。第18页1.2 经典方程导出导出经典方程方法有两种：导出经典方程方法有两种：守恒方程守恒方程变分原理变分原理本节利用第一个方法导出三种经典方程。本节利用第一个方法导出三种经典方程。第19页波动方程杆纵向振动方程可由杆力学基本方程导出。对于均匀直杆纵向振动方程可由杆力学基本方程导出。对于均匀直杆纵向振动方程可由杆力学基本方程导出。对于均匀直杆纵向振动方程可由杆力学基本方程导出。对于均匀直杆，有杆，有杆，有杆，有纵向纵向纵向纵向运动方程运动方程物理方程物理方程几何方程几何方程第20页此式称为此式称为此式称为此式称为杆纵向振动方程杆纵向振动方程杆纵向振动方程杆纵向振动方程。依次将物理方程和几何方程代入运动方程，可得依次将物理方程和几何方程代入运动方程，可得记记则有则有第21页弦力学基本方程为弦力学基本方程为弦力学基本方程为弦力学基本方程为纵向运动方程纵向运动方程横向运动方程横向运动方程第22页此式称为此式称为此式称为此式称为弦弦弦弦横向振动方程横向振动方程横向振动方程横向振动方程。弦张力弦张力T为常数，横向运动方程可写成为常数，横向运动方程可写成 记记则有则有第23页在在连连续续介介质质热热传传导导问问题题中中，基基本本物物理理定定律律有有两两个个：热热传传导导定定律律和和能量守恒定律能量守恒定律。对对于于各各向向同同性性物物体体热热传传导导问问题题，依依据据热热传传导导定定律律可可知知，热热量量由由温温度度高高处处流流向向温温度度低低处处，单单位位时时间间内内经经过过单单位位面面积积热热流流密密度度向向量与温度负梯度成正比量与温度负梯度成正比或或其中其中 q 为热流密度向量，为热流密度向量，k 为热传导率，为热传导率，u 为温度。为温度。热传导方程和扩散方程热传导方程和扩散方程第24页考虑任意闭合曲面所围物质体考虑任意闭合曲面所围物质体V，利用，利用能量守恒定律能量守恒定律可得可得 其中其中 c,分别分别为物体比热和密度，等式左端项代表为物体比热和密度，等式左端项代表物质体物质体总热量改变率总热量改变率,右端右端第一项代表第一项代表单位时间内单位时间内热源产生热源产生总总热量热量，第二项代表第二项代表单位时间内单位时间内经过物质体表面总热量经过物质体表面总热量，流入物体，流入物体内部为正，流出为负。内部为正，流出为负。对于固体对于固体，上式微分形式可写成，上式微分形式可写成第25页对于流体对于流体，热传导方程微分形式可写成，热传导方程微分形式可写成其中其中vi为流体速度。为流体速度。第26页设设水水源源中中污污染染物物浓浓度度为为c,将将污污染染物物浓浓度度扩扩散散问问题题与与流流体体热传导问题相热传导问题相类比类比，可得污染物浓度偏微分方程，可得污染物浓度偏微分方程其中其中vi为水源流速；为水源流速；Di为污染物扩散速率；为污染物扩散速率；Q为污染源。为污染源。第27页泊松方程利用静电场电位问题导出泊松方程。利用静电场电位问题导出泊松方程。依据静电学中依据静电学中电通量方程电通量方程，有，有其中其中E为电场强度，为电场强度，为电荷密度。利用荷密度。利用电场强度与电位电场强度与电位关系，关系，E=-u，方程可写成，方程可写成第28页由由积分区分区域域V 任意性，最终导出任意性，最终导出电位所满足电位所满足三维泊松方程三维泊松方程。若若电荷密度为零，则得到电荷密度为零，则得到电位所满足电位所满足三维拉普拉斯方程三维拉普拉斯方程。第30页1.3 定解条件与定解问题前面导出了一些经典偏微分方程。本节讨论与之相关问题。首前面导出了一些经典偏微分方程。本节讨论与之相关问题。首先什么是偏微分方程解？先什么是偏微分方程解？第31页1.3.1 通解和特解假如函数假如函数 u 及其导数能够满足偏微分方程，则称函及其导数能够满足偏微分方程，则称函数数 u 为该为该方程解方程解。第32页例 1 方程通解 求解二阶偏微分方程。第33页设设化为化为解则原方程则原方程将将 v 看作看作 t 函数，函数，x 作为参数。作为参数。第34页解得解得两边对两边对 x 积分得积分得其中其中 h(x),g(t)是两个任意一次可微函数。是两个任意一次可微函数。第35页例 2 方程特解试证实除点试证实除点(x0,y0)外，函数外，函数满足二维满足二维Laplace方程方程其中其中Laplace算子为标量算子算子为标量算子。第37页设设证得证得可得可得同理同理证实第38页1.3.2 定解条件由物理定律导出偏微分方程称之为泛定方程泛定方程，这是 因为，要确定完全一个真实物理问题还需附加一些定解条件定解条件。定解条件又分为初始条件初始条件和边边界条件界条件两种。第39页初始条件初始条件又称为初始条件又称为Cauchy条件条件。初始条件与微分方程中所含对时间偏导最高阶初始条件与微分方程中所含对时间偏导最高阶数相联络。数相联络。初始位移初始位移初始速度初始速度波动方程含有对时间二阶偏导数，初始条件包含波动方程含有对时间二阶偏导数，初始条件包含第40页热传导方程含有对时间一阶偏导数，初始条件是指热传导方程含有对时间一阶偏导数，初始条件是指初始温度初始温度在位势方程中，未知函数与时间无关，所以没有初始条件。在位势方程中，未知函数与时间无关，所以没有初始条件。第41页边界条件边界条件与微分方程中所含对坐标偏导最高阶数相联络。边界条件与微分方程中所含对坐标偏导最高阶数相联络。经典方程中含有对坐标二阶偏导数，边界条件可分为三种类经典方程中含有对坐标二阶偏导数，边界条件可分为三种类型：型：第一类边界条件第一类边界条件(Dirichlet条件条件)第一类边界条件是给出未知函数第一类边界条件是给出未知函数u在边界在边界S上取值，其普通上取值，其普通形式为形式为其中其中f1为已知函数。为已知函数。第42页其中其中f2为已知函数。为已知函数。第三类边界条件第三类边界条件(Robin条件条件)第三类边界条件能够看作是前两种边界条件线性组合，其普第三类边界条件能够看作是前两种边界条件线性组合，其普通形式为通形式为其中其中是常数，是常数，f3为已知函数。为已知函数。第二类边界条件第二类边界条件(Neumenn条件条件)第二类边界条件是给出未知函数第二类边界条件是给出未知函数u沿边界沿边界S单位法线方向单位法线方向n方方向导数值，其普通形式为向导数值，其普通形式为第43页1.3.3 定解问题偏微分方程加上对应定解条件所组成问题，称为定解问题定解问题。依据定解条件不一样对定解问题进行分类。第44页初值问题由泛定方程和初始条件组成定解问题称为初值问题(Cauchy问题)。比如：一维齐次波动方程初值问题第45页一维无界杆热传导方程初值问题第46页泛定方程与边界条件组成定解问题称为边值问题。位势方程泛定方程与边界条件组成定解问题称为边值问题。位势方程边值问题可分为三种。边值问题可分为三种。第一边值问题第一边值问题位势方程与第一类边界条件组成定解问题成为第一边值问题，位势方程与第一类边界条件组成定解问题成为第一边值问题，也称为也称为Dirichlet问题问题。比如。比如三维泊松方程第一边值问题三维泊松方程第一边值问题#边值问题边值问题第47页 第二边值问题第二边值问题位势方程与第二类边界条件组成定解问题成为第二边值问题，位势方程与第二类边界条件组成定解问题成为第二边值问题，也称为也称为Neumenn问题问题。比如。比如三维三维泊松方程泊松方程第二边值问题第二边值问题第48页 第三边值问题第三边值问题位势方程与第三边界条件组成定解问题成为第三边值问题，位势方程与第三边界条件组成定解问题成为第三边值问题，也称为也称为Robin问题问题。比如。比如三维三维泊松方程泊松方程第三边值问题第三边值问题第49页现有初值条件又有边界条件定解问题称为称为初值边值问题现有初值条件又有边界条件定解问题称为称为初值边值问题或混合问题，如或混合问题，如有界弦自由振动初值边值问题有界弦自由振动初值边值问题初值边值问题初值边值问题第50页1.3.4 适定性概念判断一个定解问题是否合理，是否能够描述一个给定物理状判断一个定解问题是否合理，是否能够描述一个给定物理状态，普通有三个标准：态，普通有三个标准：解存在性解存在性 所给定解问题有解；所给定解问题有解；解唯一性解唯一性 所给定解问题只有一个解；所给定解问题只有一个解；解稳定性解稳定性 当定解条件以及方程中系数有微小变动时，对应当定解条件以及方程中系数有微小变动时，对应解也只有微小变动。解稳定性也称为解关于参数连续依赖性。解也只有微小变动。解稳定性也称为解关于参数连续依赖性。假如定解问题解存在、唯一且稳定，就称这个定解问题是假如定解问题解存在、唯一且稳定，就称这个定解问题是适适定定。第51页1.4 含有两个自变量二阶线性偏微分方程分类1.4.1 方程分类第52页双自变量二阶线性偏微分方程双自变量二阶线性偏微分方程普通形式普通形式普通形式普通形式为为其中u(x,y)是未知函数，a11,a12,a22,b1,b2,c,f 都是x,y已知函数，而且含有足够连续性和可微性，且a11,a12,a22不一样时零。方程普通形式第53页双自变量二阶线性偏微分方程分类。双自变量二阶线性偏微分方程分类。双自变量二阶线性偏微分方程分类。双自变量二阶线性偏微分方程分类。定义判别式定义判别式依据在某点依据在某点(x0,y0)处，系数判别式符号三种可能，将处，系数判别式符号三种可能，将二二二二阶线性偏微分方程分成三类：阶线性偏微分方程分成三类：阶线性偏微分方程分成三类：阶线性偏微分方程分成三类：1.双曲型方程双曲型方程 02.抛物型方程抛物型方程 =0 3.椭圆型方程椭圆型方程 00时，以时，以,为新变量可得双曲型方程第一标准为新变量可得双曲型方程第一标准形式形式第57页原微分方程可化为原微分方程可化为椭圆型方程椭圆型方程标准形式标准形式(2)当当000时，方程为时，方程为双曲型方程，将特征方程双曲型方程，将特征方程第61页积分后得两族特征线积分后得两族特征线取取新变量新变量,为为分解为两个特征线方程分解为两个特征线方程 计算可得计算可得第62页详细地计算函数微分：详细地计算函数微分：第63页方程化为方程化为双曲型方程第一标准形式双曲型方程第一标准形式即即微分计算结果及原方程：微分计算结果及原方程：第64页(2)当当=-y=-y 0at第80页验证端点固定条件。当验证端点固定条件。当 x=0 时，由上述时，由上述公式有公式有公式有公式有满足端点固定条件，满足端点固定条件，满足端点固定条件，满足端点固定条件，即初始条件决定左行波与端点反射即初始条件决定左行波与端点反射右行波作用在此抵消。右行波作用在此抵消。第81页考虑区域（考虑区域（x-at0），由），由达朗贝尔公式可得达朗贝尔公式可得达朗贝尔公式可得达朗贝尔公式可得公式表明，解析解不受端点反射波影响。公式表明，解析解不受端点反射波影响。第82页端点自由端点自由半无界弦振动问题初值问题半无界弦振动问题初值问题(A)为了利用无界问题研究结果，设计一个右半端保持原状态无为了利用无界问题研究结果，设计一个右半端保持原状态无界问题，使其初始条件界问题，使其初始条件对称于对称于坐标原点。坐标原点。第83页(B)在反射区（在反射区（x0，x-at0），），由由达朗贝尔公式可得达朗贝尔公式可得达朗贝尔公式可得达朗贝尔公式可得第84页验证端点自由条件。验证端点自由条件。计算计算上述上述公式梯度公式梯度公式梯度公式梯度满足端点自由条件。满足端点自由条件。满足端点自由条件。满足端点自由条件。当当 x=0 时时第85页在区域（在区域（x-at0）内）内，由，由达朗贝尔公式可得达朗贝尔公式可得达朗贝尔公式可得达朗贝尔公式可得公式表明，方程解不受端点反射波影响。公式表明，方程解不受端点反射波影响。第86页1.6 叠加原理和齐次化原理在线性物理方程和线性定解条件中，非齐次项作用类似于力叠加，全部非齐次项作用结果等于每个非全部非齐次项作用结果等于每个非齐次项单独作用结果总和齐次项单独作用结果总和，所以解析解结构也是线性。第87页1.6.1 叠加原理考虑二阶线性偏微分方程考虑二阶线性偏微分方程其中其中aij,bi,c,f是自变量是自变量x1,x2,xn连续函数，且方程定解条连续函数，且方程定解条件也是线性，则关于微分方程解有以下叠加原理：件也是线性，则关于微分方程解有以下叠加原理：第88页满足原方程满足原方程则它们任意线性组合则它们任意线性组合设基函数设基函数un满足方程满足方程第89页当当 m 趋于无穷时，要求级数趋于无穷时，要求级数都收敛，且级数解都收敛，且级数解 u 可逐项求导两次，则可逐项求导两次，则 u 满足原方程满足原方程第90页思索怎样考虑定解条件?第91页例 5依据叠加原理，能够将一个较为复杂线性问题等价地分解成依据叠加原理，能够将一个较为复杂线性问题等价地分解成若干个简单线性问题。若干个简单线性问题。圆域内泊松方程第一边值问题圆域内泊松方程第一边值问题试将该问题等价地分解成两个简单边值问题，并求解析解。试将该问题等价地分解成两个简单边值问题，并求解析解。第92页解设设 u=v+w，其中，其中v,w分别满足非齐次方程和齐次分别满足非齐次方程和齐次方程边值问题方程边值问题设设 v,w 表示式分别为表示式分别为第93页可得可得以及以及解得解得第94页1.6.2 1.6.2 齐次化原理齐次化原理设设 L 是关于是关于 t 和和 x 线性微分算子，其中关于线性微分算子，其中关于 t 最高解导数最高解导数不超出不超出 m-1 阶，若阶，若函数函数 w(x,t;)满足齐次方程满足齐次方程则函数则函数满足非齐次方程初值问题满足非齐次方程初值问题第95页设设 L 是关于是关于 t 和和 x 线性微分算子，其中关于线性微分算子，其中关于 t 最高解导数最高解导数不超出不超出 m-1 阶，若阶，若函数函数 w(x,t;)满足齐次方程满足齐次方程则函数则函数满足非齐次方程初值问题满足非齐次方程初值问题初值边值问题齐次化原理初值边值问题齐次化原理第96页例 6齐次化原理应用。齐次化原理应用。（1）试求解）试求解一维非齐次波动方程齐次初值问题一维非齐次波动方程齐次初值问题（2）验证所得结果满足）验证所得结果满足齐次初始条件。齐次初始条件。（3）依据叠加原理，写出）依据叠加原理，写出一维非齐次波动方程非一维非齐次波动方程非齐次初值问题达朗贝尔公式。齐次初值问题达朗贝尔公式。第97页解（1）首先求解下述问题）首先求解下述问题依据达朗贝尔公式（或行波法），有依据达朗贝尔公式（或行波法），有第98页其次，验证结果满足齐次初始条件其次，验证结果满足齐次初始条件依据齐次化原理，依据齐次化原理，一维非齐次波动方程齐次初值问题解为一维非齐次波动方程齐次初值问题解为（2）第99页（3）最终给出非齐次波动方程非齐次初值问题）最终给出非齐次波动方程非齐次初值问题其中其中 。达朗贝尔公式达朗贝尔公式第100页第一章 方程概论第101页例 6_2*齐次化原理应用。（1）试求解一维非齐次波动方程齐次初值问题（2）验证所得结果满足齐次初始条件和一维非一维非齐次波动方程齐次波动方程。（3）依据叠加原理，写出一维非齐次波动方程非齐次初值问题达朗贝尔公式。第102页（2）验证结果满足非齐次波动方程解第103页