2023年全国数学竞赛预赛试题分类立体几何.doc

2023数学预赛试题分类：平面几何与立体几何
天津2．圆柱的底面半径为r，高为h，体积为2，表面积为24，则的值是（ ）
(A) ．6 (B) ．8 (C) ．12 (D)．24

天津14．在四周体ABCD内部有一点O，满足OA=OB=OC=4, OD=l，求四周体ABCD体积的最大值．

河北5、在四周体ABCD中，AB=CD=5，AC=BD=，AD=BC=，则ABCD外接球的表面积是 。

河北10、如图，四棱锥S-ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，∠SDA=∠SDC=60°，AD=DC=BC=SD，E在棱SD上，F为BC的中点。
（1）若SF∥面AEC，求证：CE⊥平面ABE；
（2）在（1）的条件下，求BC与平面CDE所成角的余弦值。

山西2、直角四周体ABCD中，六条棱长的和为6，则其体积的最大值为 。
山西9、如图，△ABC的内切圆切BC边于D，点E、F分别是△ABD、△ACD的内心。证明：EF⊥AD。

辽宁6．设直线与球有且只有一个公共点，从直线出发的两个半平面、截球的两个截面圆的半径分别为和，二面角的平面角为，则球的半径为（ ）
A． B． C． D．
辽宁14．（本小题满分20分）
如图，锐角外心为，直线和分别与边，交于点，．直线交外接圆于点，．若，证明：是等腰三角形锐角三角形．

吉林8、下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为 。

吉林9、给定平面上四点O,A,B,C，满足OA=4，OB=3，OC=2，=3，则△ABC面积的最大值为 。

山东5、已知直角△ABC的两条直角边AC=2，BC=3，P为斜边AB上一点，沿CP将此三角形折成直二面角A-CP-B，当AB=时，则二面角P-AC-B的值为 。

福建3．在三棱锥中，，，，，则三棱锥的体积为 。

福建13．如图，在五边形中，，，，为中点，为的外心，且。延长至点，使得。
（1）求证：；
（2）求证：。

江西5．正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，过点作截面与侧棱，分别相交于点，，当的周长最小时，的面积为 ．

江西11．如图，为半圆弧的中点，点为直径延长线上一点，过点作半圆的切线，为切点，的平分线分别交、于点、．证明：．

河南3、棱长为1的正四周体的四个面的中心所组成的小四周体的外接球的体积为 。

湖北7． 在四周体中，面，则四周体的外接球的半径为 .

四川5、半径为6的球，则该球内接正三棱锥的体积的最大值是（ ）

四川8、

陕西9、
为△ABC的中心，则PO的长为 。

陕西加3、

甘肃7、圆锥的轴截面SAB是边长为2的等比三角形，O是底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（涉及圆周），若AM⊥MP，则P点形成的轨迹的长度为 。

黑6、如图是某几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积是 。
A、 B、 C、 D、
黑5、已知在三棱锥S-ABC内任取一点P，使得的概率是 。
A、 B、 C、 D、
黑8、已知点E、F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、AA1的中点，点M、N分别是线段D1E与C1F上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有 条。 A、0 B、1 C、2 D、无数

黑12、如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在以点C为圆心且与直线BD相切的圆内运动，，则α+β的取值范围是（ ）
A、（0， B、（0， C、（1， D、（1，

黑13、已知正三棱锥P-ABC，点P、A、B、C都在半径为的球面上，若PA、PB、PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为 。
黑18、如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中， AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AB= AA1，E、F分别是棱BC、A1A的中点，G为棱C C1上的一点，且C1F∥平面AEG。
（1）求的值；
（2）求证：EG⊥A1C；
（3）求二面角A1-AG-E的余弦值。

黑20、如图，设D是锐角△ABC内部的一个点，使得∠ADB=∠ACB+90°，并且AC•BD=AD•BC，计算比值

贵州2．桌面上放着3个半径为2023的球，两两相切，在它上方的空隙里放入一个球使其顶点（最高处）恰巧和3个球的顶点在同一个平面上，则该球的半径等于 ．
安徽4. 设是平面上两点，是关于的对称点，是关于的对称点,．若，则__________．
安徽5. 已知四周体的侧面展开图如下图所示，则其体积是__________．

安徽7. 设动点，其中参数，则线段扫过的平面区域的面积是_____________．
浙江6．若某立体的三视图如下，则该立体的体积为（ ） A．1 B．2 C． D．
浙江13．如图，ABCD-A1B1C1D1为正四棱柱．已知AB1与底面A1B1C1D1所成角的正切值为a，则二面角A-B1D1-A1的正切值为

湖南5．在如图所示的三棱柱中，点、的中点以及的中点所决定的平面把三棱柱割成积不同的两部分，则较小部分的体积和原三棱柱的体积之比为（ ）
A． B． C． D．

湖南13．（本小题满分16分）
已知为的内部一点，，试探究的三边满足的关系，并证明你的结论．

新疆4、已知正四周体ABCD的边长为，其外接球的球心为O，则= 。

全国5、正四棱锥P-ABCD中，侧面是边长为1的正三角形，M,N分别是边AB,BC的中点，则异面直线MN与PC之间的距离是 。

全国7、设等边三角形ABC的内切圆半径为2，圆心为I。若点P满足PI=1，则△APB与△APC的面积之比的最大值为 。