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MATLAB数学试验数学试验第三章第三章 矩阵代数矩阵代数 第1页/10/102第三章第三章 矩矩阵阵代数代数第三章第三章 矩阵代数矩阵代数n n3.1 预备知知识：线性代数性代数n n3.2 矩矩阵代数代数MATLAB指令指令n n3.3 计算算试验：线性方程性方程组求解求解n n3.4 建模建模试验：投入：投入产出分析和基因出分析和基因遗传第2页/10/103第三章第三章 矩矩阵阵代数代数3.1 预备知识：线性代数预备知识：线性代数n n线性方程性方程组n n记为 A x=b第3页/10/104第三章第三章 矩矩阵阵代数代数3.1 预备知识：线性代数预备知识：线性代数n n线性方程性方程组 若秩若秩若秩若秩(A)(A)秩秩秩秩(A,b)(A,b)，则无解；，则无解；，则无解；，则无解；若秩若秩若秩若秩(A)=(A)=秩秩秩秩(A,b)=n,(A,b)=n,存在唯一解；存在唯一解；存在唯一解；存在唯一解；若秩若秩若秩若秩(A)=(A)=秩秩秩秩(A,b)n,(A,b)n,存在无穷多解；存在无穷多解；存在无穷多解；存在无穷多解；通解是齐次线性方程组通解是齐次线性方程组通解是齐次线性方程组通解是齐次线性方程组 Ax=0 Ax=0 基础解系与基础解系与基础解系与基础解系与 Ax=b Ax=b 一一一一个特个特个特个特解之和。解之和。解之和。解之和。第4页/10/105第三章第三章 矩矩阵阵代数代数3.1 预备知识：线性代数预备知识：线性代数n n逆矩阵逆矩阵n n方阵方阵A称为可逆，假如存在方阵称为可逆，假如存在方阵B，使，使A B=B A=E，记，记 B=A-1n n方阵方阵A可逆充分必要条件可逆充分必要条件:A0n nA-1=A*/|A|这里这里A*为为A伴随矩阵伴随矩阵n n（A E）行变换行变换（EA-1）第5页/10/106第三章第三章 矩矩阵阵代数代数3.1 预备知识：线性代数预备知识：线性代数n n特征值与特征向量特征值与特征向量 对于方于方阵A，若存在数，若存在数 和非零向量和非零向量x 使使 A x=x，则称称 为A一一个特征个特征值，x 为A 一个一个对应于特征于特征值 特特征向量。征向量。n n特征值计算特征值计算归结为特征多特征多项式求根。式求根。n n特征向量计算特征向量计算：齐次次线性方程性方程组(A-E)x=0 全部一全部一组线性无关解。性无关解。第6页/10/107第三章第三章 矩矩阵阵代数代数3.2 矩阵代数矩阵代数MATLAB指令指令n n运算符运算符n nA A (共轭共轭共轭共轭)转置转置转置转置,A.,A.转置转置转置转置 n nA+BA+B与与与与A-BA-B 加与减加与减加与减加与减n nk+Ak+A与与与与k-Ak-A 数与矩阵加减数与矩阵加减数与矩阵加减数与矩阵加减n nk*Ak*A或或或或A*kA*k 数乘矩阵数乘矩阵数乘矩阵数乘矩阵 n nA*BA*B 矩阵乘法矩阵乘法矩阵乘法矩阵乘法 n nAkAk 矩阵乘方矩阵乘方矩阵乘方矩阵乘方n n左除左除左除左除ABAB 为为为为AX=BAX=B解解解解n n右除右除右除右除B/AB/A 为为为为XA=BXA=B解解解解与数组运算不一样第7页/10/108第三章第三章 矩矩阵阵代数代数3.2 矩阵代数矩阵代数MATLAB指令指令n n矩矩阵运算与数运算与数组运算区分运算区分n n数组运算按元素定义，矩阵运算按线性代数定义数组运算按元素定义，矩阵运算按线性代数定义数组运算按元素定义，矩阵运算按线性代数定义数组运算按元素定义，矩阵运算按线性代数定义n n矩阵加、减、数乘等运算与数组运算是一致矩阵加、减、数乘等运算与数组运算是一致矩阵加、减、数乘等运算与数组运算是一致矩阵加、减、数乘等运算与数组运算是一致 n n矩阵乘法、乘方和除法与数组乘法、乘方和除法矩阵乘法、乘方和除法与数组乘法、乘方和除法矩阵乘法、乘方和除法与数组乘法、乘方和除法矩阵乘法、乘方和除法与数组乘法、乘方和除法不不不不一样一样一样一样n n数与矩阵加减、矩阵除法在数学上是没有意义。但数与矩阵加减、矩阵除法在数学上是没有意义。但数与矩阵加减、矩阵除法在数学上是没有意义。但数与矩阵加减、矩阵除法在数学上是没有意义。但在在在在MATLABMATLAB中有定义。中有定义。中有定义。中有定义。n n例子例子 P45-46第8页/10/109第三章第三章 矩矩阵阵代数代数3.2 矩阵代数矩阵代数MATLAB指令指令n n特殊矩阵生成特殊矩阵生成n nzeros(m,n)zeros(m,n)m m行行行行n n列零矩阵列零矩阵列零矩阵列零矩阵;n nones(m,n)ones(m,n)m m行行行行n n列元素全为列元素全为列元素全为列元素全为1 1阵阵阵阵;n neye(n)eye(n)n n阶单位矩阵阶单位矩阵阶单位矩阵阶单位矩阵;n nrand(m,n)rand(m,n)m m行行行行n n列列列列0,10,1上均匀分布随机数矩阵上均匀分布随机数矩阵上均匀分布随机数矩阵上均匀分布随机数矩阵n nrandn randn：产生均值为产生均值为产生均值为产生均值为0 0，方差为，方差为，方差为，方差为1 1标准正态分布随机标准正态分布随机标准正态分布随机标准正态分布随机矩阵。矩阵。矩阵。矩阵。第9页/10/1010第三章第三章 矩矩阵阵代数代数n nzeros生成全部元素为生成全部元素为0零矩阵零矩阵n nA=zeros(n)生成生成nn零矩阵零矩阵n nA=zeros(m,n)或或 zeros(m,n)生生成成mn零矩阵零矩阵n nA=zeros(m,n,p,)生生成成mnp零零矩矩阵阵B=zeros(size(A)生生成成和矩阵和矩阵A大小相等全零矩阵。大小相等全零矩阵。n n举例举例:第10页/10/1011第三章第三章 矩矩阵阵代数代数例例例例2-3 2-3 分别建立分别建立分别建立分别建立3333、3232和与矩阵和与矩阵和与矩阵和与矩阵A A一样大小零矩一样大小零矩一样大小零矩一样大小零矩阵。阵。阵。阵。(1)(1)建立一个建立一个建立一个建立一个3333零矩阵。零矩阵。零矩阵。零矩阵。zeros(3)zeros(3)(2)(2)建立一个建立一个建立一个建立一个3232零矩阵。零矩阵。零矩阵。零矩阵。zeros(3,2)zeros(3,2)(3)(3)设设设设A A为为为为2323矩阵，则能够用矩阵，则能够用矩阵，则能够用矩阵，则能够用zeros(size(A)zeros(size(A)建立建立建立建立一个与矩阵一个与矩阵一个与矩阵一个与矩阵A A一样大小零矩阵。一样大小零矩阵。一样大小零矩阵。一样大小零矩阵。A=1 2 3;4 5 6;%A=1 2 3;4 5 6;%产生一个产生一个产生一个产生一个2323阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵A Azeros(size(A)%zeros(size(A)%产生一个与矩阵产生一个与矩阵产生一个与矩阵产生一个与矩阵A A一样大小零一样大小零一样大小零一样大小零矩阵矩阵矩阵矩阵第11页/10/1012第三章第三章 矩矩阵阵代数代数3.2 矩阵代数矩阵代数MATLAB指令指令n n矩阵处理矩阵处理 n ntrace(A)trace(A)迹迹迹迹(对角线元素和对角线元素和对角线元素和对角线元素和)n ndiag(A)diag(A)A A对角线元素组成向量对角线元素组成向量对角线元素组成向量对角线元素组成向量;n ndiag(x)diag(x)向量向量向量向量x x元素组成对角矩阵元素组成对角矩阵元素组成对角矩阵元素组成对角矩阵.n ntril(A)Atril(A)A下三角部分下三角部分下三角部分下三角部分n ntriu(A)Atriu(A)A上三角部分上三角部分上三角部分上三角部分n nflipud(A)flipud(A)矩阵上下翻转矩阵上下翻转矩阵上下翻转矩阵上下翻转n nfliplr(A)fliplr(A)矩阵左右翻转矩阵左右翻转矩阵左右翻转矩阵左右翻转n nreshape(A,m,n)reshape(A,m,n)矩阵矩阵矩阵矩阵A A元素重排成元素重排成元素重排成元素重排成mm行行行行n n列矩阵列矩阵列矩阵列矩阵 第12页/10/1013第三章第三章 矩矩阵阵代数代数3.2 矩阵代数矩阵代数MATLAB指令指令n n矩阵分析矩阵分析 n nrank(A)rank(A)秩秩秩秩n ndet(A)det(A)行列式行列式行列式行列式;n ninv(A)inv(A)逆矩阵逆矩阵逆矩阵逆矩阵;n nnull(A)null(A)Ax=0Ax=0基础解系；基础解系；基础解系；基础解系；n north(A)orth(A)A A列向量正交规范化列向量正交规范化列向量正交规范化列向量正交规范化n nnorm(x)norm(x)向量向量向量向量x x范数（长度，模）范数（长度，模）范数（长度，模）范数（长度，模）n nnorm(A)norm(A)矩阵矩阵矩阵矩阵A A范数范数范数范数第13页/10/1014第三章第三章 矩矩阵阵代数代数3.2 矩阵代数矩阵代数MATLAB指令指令n n特征值与标准形特征值与标准形n neig(A)eig(A)方阵方阵方阵方阵A A特征值特征值特征值特征值n nV,D=eig(A)V,D=eig(A)返回方阵返回方阵返回方阵返回方阵A A特征值和特征向量。其中特征值和特征向量。其中特征值和特征向量。其中特征值和特征向量。其中D D为特征值组成对角阵，每个特征值对应为特征值组成对角阵，每个特征值对应为特征值组成对角阵，每个特征值对应为特征值组成对角阵，每个特征值对应V V列为属列为属列为属列为属于该特征值一个特征向量。于该特征值一个特征向量。于该特征值一个特征向量。于该特征值一个特征向量。n nV,J=jordan(A)V,J=jordan(A)返回返回返回返回A A相同变换矩阵和约当标准相同变换矩阵和约当标准相同变换矩阵和约当标准相同变换矩阵和约当标准形形形形n n 例子例子 P49-50第14页矩阵特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量(3)V,D=eig(A,nobalance)：与第：与第2种格式种格式类似，但第似，但第2种格式中先种格式中先对A作相同作相同变换后求矩后求矩阵A特征特征值和特征向量，而格式和特征向量，而格式3直接求矩直接求矩阵A特征特征值和特征向量。和特征向量。在在MATLAB中，计算矩阵中，计算矩阵A特征值和特征向量函数特征值和特征向量函数是是eig(A)，惯用调用格式有，惯用调用格式有3种：种：(1)E=eig(A)：求矩阵：求矩阵A全部特征值，组成向量全部特征值，组成向量E。(2)V,D=eig(A)：求矩阵：求矩阵A全部特征值，组成对全部特征值，组成对角阵角阵D，并求，并求A特征向量组成特征向量组成V列向量。列向量。第15页/10/1016第三章第三章 矩矩阵阵代数代数3.3 计算试验：线性方程组求解计算试验：线性方程组求解 n n 矩阵除法矩阵除法 n n(1)(1)当当当当A A为方阵，为方阵，为方阵，为方阵，ABAB结果与结果与结果与结果与inv(A)*Binv(A)*B一致；一致；一致；一致；n n(2)(2)当当当当A A不是方阵不是方阵不是方阵不是方阵,AX=B,AX=B存在存在存在存在唯一解唯一解唯一解唯一解,AB,AB将给出这将给出这将给出这将给出这个解；个解；个解；个解；n n(3)(3)当当当当A A不是方阵不是方阵不是方阵不是方阵,AX=B,AX=B为不定方程组为不定方程组为不定方程组为不定方程组(即即即即无穷多解无穷多解无穷多解无穷多解)，ABAB将给出一个含有最多零元素将给出一个含有最多零元素将给出一个含有最多零元素将给出一个含有最多零元素特解特解特解特解；n n(4)(4)当当当当A A不是方阵不是方阵不是方阵不是方阵,AX=B,AX=B若为超定方程组（即无解）若为超定方程组（即无解）若为超定方程组（即无解）若为超定方程组（即无解）,AB,AB给出给出给出给出最小二乘意义上近似解最小二乘意义上近似解最小二乘意义上近似解最小二乘意义上近似解，即使得向量，即使得向量，即使得向量，即使得向量AXAXB B范数到达最小。范数到达最小。范数到达最小。范数到达最小。第16页/10/1017第三章第三章 矩矩阵阵代数代数3.3 计算试验：线性方程组求解计算试验：线性方程组求解n n例例3.1 解方程组解方程组 第17页/10/1018第三章第三章 矩矩阵阵代数代数3.3 计算试验：线性方程组求解计算试验：线性方程组求解n n例例3.2 线性方程组通解线性方程组通解n n用用用用rrefrref化为行最简形以后求解化为行最简形以后求解化为行最简形以后求解化为行最简形以后求解n n用除法求出一个特解，再用用除法求出一个特解，再用用除法求出一个特解，再用用除法求出一个特解，再用nullnull求得一个齐次组基求得一个齐次组基求得一个齐次组基求得一个齐次组基础解系础解系础解系础解系n n用符号数学工具箱中用符号数学工具箱中用符号数学工具箱中用符号数学工具箱中solvesolve求解求解求解求解(第七章第七章第七章第七章)第18页/10/1019第三章第三章 矩矩阵阵代数代数3.3 计算试验：线性方程组求解计算试验：线性方程组求解n n相同对角化及应用相同对角化及应用 n n假如假如假如假如n n阶方阵阶方阵阶方阵阶方阵A A有有有有n n个线性无关特征向量，则必存在个线性无关特征向量，则必存在个线性无关特征向量，则必存在个线性无关特征向量，则必存在正交矩阵正交矩阵正交矩阵正交矩阵P P,使得使得使得使得 P P-1-1AP=AP=,其中其中其中其中 是是是是A A特征值组成特征值组成特征值组成特征值组成对角矩阵，对角矩阵，对角矩阵，对角矩阵，P P列向量是对应列向量是对应列向量是对应列向量是对应n n个正交特征向量。个正交特征向量。个正交特征向量。个正交特征向量。n n使用使用使用使用MATLABMATLAB函数函数函数函数eigeig求得每个特征向量都是单位求得每个特征向量都是单位求得每个特征向量都是单位求得每个特征向量都是单位向量向量向量向量(即模等于即模等于即模等于即模等于1)1)，而且属于同一特征值线性无关，而且属于同一特征值线性无关，而且属于同一特征值线性无关，而且属于同一特征值线性无关特征向量已正交化，所以由此轻易进行相同对角化。特征向量已正交化，所以由此轻易进行相同对角化。特征向量已正交化，所以由此轻易进行相同对角化。特征向量已正交化，所以由此轻易进行相同对角化。第19页/10/1020第三章第三章 矩矩阵阵代数代数3.3 计算试验：线性方程组求解计算试验：线性方程组求解n n例例3.3 用相同变换矩阵用相同变换矩阵P将将A相同对角化，相同对角化，并求并求 补充：向量线性相关性：极大线性无关组R,jb=rref(A)第20页/10/1021第三章第三章 矩矩阵阵代数代数3.4 建模试验建模试验设设有有有有n n个个个个经济经济部部部部门门，x xi i为为部部部部门门i i总产总产出，出，出，出，c cij ij为为部部部部门门j j单单位位位位产产品品品品对对部部部部门门i i产产品消耗，品消耗，品消耗，品消耗，d di i为为外部外部外部外部对对部部部部门门i i需求，需求，需求，需求，f fj j为为部部部部门门j j新新新新创创造价造价造价造价值值。分配平衡方程组分配平衡方程组分配平衡方程组分配平衡方程组(部门部门部门部门i i产品产品产品产品=内部需求内部需求内部需求内部需求+外部需求外部需求外部需求外部需求)消耗平衡方程组消耗平衡方程组消耗平衡方程组消耗平衡方程组(部门部门部门部门j j产值产值产值产值=生产成本生产成本生产成本生产成本+利润利润利润利润)第21页/10/1022第三章第三章 矩矩阵阵代数代数投入产出分析投入产出分析令令 C=（cij），），X=(x1,xn),D=(d1 1,dn n)，F=(f1 1,fn n),则分配平衡方程组分配平衡方程组 X=CX+D令令 A=EC，E为单位矩位矩阵，则 AX=DC称称为直接消耗矩直接消耗矩阵A称称为列昂杰夫（列昂杰夫（Leontief,1973Nobel奖）矩矩阵。第22页/10/1023第三章第三章 矩矩阵阵代数代数Y=1,1,1BY表示各部门总投入(消耗)。新创造价值向量 F=XYB=CB表示各部门间投入产出关系，称为投入产出矩阵投入产出矩阵。第23页/10/1024第三章第三章 矩矩阵阵代数代数投入产出分析投入产出分析 例例3.4 3.4 某地有三个某地有三个产业，一个煤，一个煤矿，一个，一个发电厂厂和一条和一条铁路，路，开采一元开采一元钱煤，煤煤，煤矿要支付要支付0.250.25元元电费及及0.250.25元运元运输费;生生产一元一元钱电力，力，发电厂厂要支付要支付0.650.65元煤元煤费，0.050.05元元电费及及0.050.05元运元运输费;创收一元收一元钱运运输费,铁路要支付路要支付0.550.55元煤元煤费和和0.100.10元元电费，在某一周内煤在某一周内煤矿接到外地金接到外地金额5000050000元定元定货，发电厂接到外地金厂接到外地金额2500025000元定元定货，外界，外界对地地方方铁路没有需求。路没有需求。第24页/10/1025第三章第三章 矩矩阵阵代数代数解：这是一个投入产出分析问题。设x1为本周内煤矿总产值，x2为电厂总产值,x3为铁路总产值,则问三个企业间一周内总产值多少才能满足本身及外界需求？三个企业间相互支付多少金额？三个企业各创造多少新价值?第25页/10/1026第三章第三章 矩矩阵阵代数代数直接消耗矩阵C=外界需求向量D=产出向量X=则原方程为则原方程为(E-C)X=D 投入产出矩阵为B=C*diag(X)总投入向量Y=ones(1,3)*B新创造价值向量F=X-Y第26页/10/1027第三章第三章 矩矩阵阵代数代数表3.3投入产出分析表(单位：元)消耗部门外界需求总产出煤矿电厂铁路生产部门煤矿0365061558250000102088电厂25522280828332500056163铁路2552228080028330新创造价值51044140419915总产出1020885616328330第27页/10/1028第三章第三章 矩矩阵阵代数代数投入产出分析表格式(行：分配平衡，列：消耗平衡)消耗部门外界需求总产出123生产部门1b11b12b13d1x12b21b22b23d2x23b31b32b33d3x3新创造价值f1f2f3总产出x1x2x3注：注：bij=cijxj第28页/10/1029第三章第三章 矩矩阵阵代数代数后代是从父母体基因对中各继承一个基因，形成自己基因型。假如所考虑遗传特征是由两个基因A和a控制，那么有三种基因型，上表给出父母基因型全部可能组合使其后代形成每种基因正确概率。基因遗传基因遗传第29页/10/1030第三章第三章 矩矩阵阵代数代数例5 设金鱼某种遗传病染色体正常基因为A，不正常基因为a,那么AA，Aa，aa分别表示正常金鱼，隐性患者，显性患者。设初始分布为90%正常金鱼，10%隐性患者，无显性患者。考虑以下两种配种方案对后代该遗传病基因型分布影响方案一：同类基因结合，均可繁殖；方案二：显性患者不允许繁殖，隐性患者必须与正常金鱼结合繁殖第30页/10/1031第三章第三章 矩矩阵阵代数代数解 设初始分布X(1)=(0.90.10),第n代分布为X(n)=A=B=则X(n)=An-1X(1)X(n)=Bn-1X(1)分别是两种情况下第n代基因型分布第31页/10/1032第三章第三章 矩矩阵阵代数代数结论结论n n计算方法：取n足够大n=20n n方案一：An-1X(1)0.95,0,0.05n n存在存在5%显性患者显性患者n n方案二：Bn-1X(1)1,0,0n n显性患者和隐性患者都消失显性患者和隐性患者都消失n本例说明了杂交优势第32页/10/1033第三章第三章 矩矩阵阵代数代数习题习题n nP59 ex2,ex3,ex4,ex5,ex6,ex10第33页