数学物理方法第十市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

在复变函数理论中，我们曾用拉普拉斯变换法求解在复变函数理论中，我们曾用拉普拉斯变换法求解常微分方程经过变换，常微分方程变成了代数方程，常微分方程经过变换，常微分方程变成了代数方程，解出代数方程，再进行反演就得到了原来常微分方程解出代数方程，再进行反演就得到了原来常微分方程解解1第1页 积分变换法积分变换法是经过积分变换简化定解问题一个有效求解方是经过积分变换简化定解问题一个有效求解方法对于多个自变量线性偏微分方程，能够经过实施积分变换法对于多个自变量线性偏微分方程，能够经过实施积分变换来降低方程自变量个数，直至化为常微分方程，这就使问题得来降低方程自变量个数，直至化为常微分方程，这就使问题得到大大简化，再进行反演，就得到了原来偏微分方程解积分到大大简化，再进行反演，就得到了原来偏微分方程解积分变换法在数学物理方程（也包含积分方程、差分方程等）中亦变换法在数学物理方程（也包含积分方程、差分方程等）中亦含有广泛用途尤其当泛定方程及边界条件均为非齐次时，用含有广泛用途尤其当泛定方程及边界条件均为非齐次时，用经典分离变量法求解，就显得有些烦琐和笨挫，而积分变换法经典分离变量法求解，就显得有些烦琐和笨挫，而积分变换法为这类问题提供了一个系统处理方法，而且显得含有固定程序，为这类问题提供了一个系统处理方法，而且显得含有固定程序，按照解法程序进行易于求解利用积分变换，有时还能得到有按照解法程序进行易于求解利用积分变换，有时还能得到有限形式解，而这往往是用分离变限形式解，而这往往是用分离变量法不能得到量法不能得到2第2页 尤其是尤其是对于无界或半无界定界问题对于无界或半无界定界问题，用积分变换来，用积分变换来 求解，最适当不过了（注明：无界或半无界定界问题求解，最适当不过了（注明：无界或半无界定界问题也能够用行波法求解）也能够用行波法求解）用积分变换求解定解问题步骤为：用积分变换求解定解问题步骤为：第一第一：依据自变量：依据自变量改变范围和定解条件改变范围和定解条件确定选择适当确定选择适当积积分变换分变换；对于自变量在对于自变量在 内改变定解问题内改变定解问题（如无界域（如无界域坐标变量）常采取坐标变量）常采取傅氏变换傅氏变换，而自变量在，而自变量在 内改变内改变定解问题（如时间变量）常采取定解问题（如时间变量）常采取拉氏变换拉氏变换 3第3页 第二第二：对方程取积分变换，将一个：对方程取积分变换，将一个含两个自变量含两个自变量偏微分方偏微分方程化为程化为一个含参量一个含参量常微分方程；常微分方程；第三第三：对定解条件取对应变换，导出常微分方程定解：对定解条件取对应变换，导出常微分方程定解条件；条件；第四第四：求解：求解常微分方程解常微分方程解，即为原定解问题变换；，即为原定解问题变换；第五第五：对所得解取：对所得解取逆变换逆变换，最终得，最终得原定解问题解原定解问题解4第4页2.2.傅里叶变换法解数学物理定解问题傅里叶变换法解数学物理定解问题 用用分离变量法求解有限空间定解问题分离变量法求解有限空间定解问题时，所得到时，所得到 本征值本征值谱谱是分立，所求解可表为对分立本征值求和是分立，所求解可表为对分立本征值求和傅里叶级数傅里叶级数对于对于无限空间，用分离变量法求解定解问题时，所得到本征值谱普无限空间，用分离变量法求解定解问题时，所得到本征值谱普通是连续，所求解可表为通是连续，所求解可表为对连续本征值求积分傅里叶积分对连续本征值求积分傅里叶积分 所以，对于所以，对于无限空间定解无限空间定解问题，傅里叶变换是一个很问题，傅里叶变换是一个很适用求解方法本节将经过几个例子说明利用傅里叶变换求解适用求解方法本节将经过几个例子说明利用傅里叶变换求解无界空间（含一维半无界空间）定界问题基本方法，并给出几无界空间（含一维半无界空间）定界问题基本方法，并给出几个主要解公式个主要解公式 5第5页下面讨论我们假设待求解函数下面讨论我们假设待求解函数 及其一阶导数是有限及其一阶导数是有限.12.1.1 12.1.1 弦振动问题弦振动问题例例1 求解无限长弦自由振动定解问题求解无限长弦自由振动定解问题（假定假定：函数：函数 及其及其一阶导数是有限一阶导数是有限)6第6页简化表示为简化表示为 对其它函数也作傅氏变换，即为对其它函数也作傅氏变换，即为解解 应用傅里叶变换，即用应用傅里叶变换，即用 遍乘定解问题中各式，遍乘定解问题中各式，并对并对空间变量空间变量x积分积分（这里把时间变量看成参数），按照傅里（这里把时间变量看成参数），按照傅里叶变换定义，我们采取以下叶变换定义，我们采取以下傅氏变换对傅氏变换对：7第7页于是原定解问题变换为以下于是原定解问题变换为以下常微分方程定解问题常微分方程定解问题上述常微分方程通解为上述常微分方程通解为代入代入初始条件初始条件能够定出能够定出8第8页这么这么最终，上式乘以最终，上式乘以 并作并作逆傅氏变换逆傅氏变换应用应用延迟定理和积分延迟定理和积分定理得到定理得到这正是前面学过达朗贝尔公式这正是前面学过达朗贝尔公式.9第9页 为了说明为了说明傅氏变换法解非齐次方程傅氏变换法解非齐次方程尤其简便，我们特尤其简便，我们特举一举一强迫弦振动强迫弦振动问题：问题：求解无限长弦强迫振动方程初值问题求解无限长弦强迫振动方程初值问题解解依据与例依据与例1 1 相同方法，相同方法，作傅氏变换作傅氏变换例例2 210第10页我们轻易得到原定解问题可变换为以下我们轻易得到原定解问题可变换为以下常微分方程问题常微分方程问题上述问题解为上述问题解为利用利用傅氏变换性质傅氏变换性质有有11第11页代入得到代入得到即得即得故得到故得到12第12页12.1.2 12.1.2 热传导问题热传导问题例例 3 求解无限长细杆热传导（无热源）问题求解无限长细杆热传导（无热源）问题解解 作傅氏变换作傅氏变换 定解问题变换为定解问题变换为13第13页常微分方程初值问题解是常微分方程初值问题解是 再进行逆傅里叶变换，再进行逆傅里叶变换，交换积分次序交换积分次序14第14页引用积分公式引用积分公式且令且令 方便利用积分公式，即方便利用积分公式，即得到得到15第15页例例4 求解无限长细杆有源热传导方程定解问题求解无限长细杆有源热传导方程定解问题解解 利用利用 对定解问题作对定解问题作傅氏变换傅氏变换，得到常微分方程定解问题，得到常微分方程定解问题 上述问题解为上述问题解为16第16页为了求出上式逆变换，利用下面为了求出上式逆变换，利用下面傅氏变换卷积公式傅氏变换卷积公式，即，即 若若 则则 而积分而积分 即为即为 最终得到定解问题解为最终得到定解问题解为17第17页12.1.3 12.1.3 稳定场问题稳定场问题 我们先给出求半平面内我们先给出求半平面内 拉普拉斯方程第一拉普拉斯方程第一边值问题傅氏变换边值问题傅氏变换系统解法（读者能够与格林函数解法进系统解法（读者能够与格林函数解法进行比较）行比较）例例 5 5 定解问题定解问题 解解 对于变量对于变量 作作傅氏变换傅氏变换，有，有18第18页定解问题变换为常微分方程定解问题变换为常微分方程 因为因为 可取正、负值，所以可取正、负值，所以常微分定解问题通解常微分定解问题通解为为 因为因为 ，故得到，故得到常微分方程解为常微分方程解为设设 19第19页依据傅氏变换定义，依据傅氏变换定义，傅氏逆变换傅氏逆变换为为再利用再利用卷积公式卷积公式 最终得到最终得到原定解问题解原定解问题解为为轻易看出与格林函数解出结果含有相同表示式轻易看出与格林函数解出结果含有相同表示式20第20页例例6 6 假如定解问题为以下第二边值问题假如定解问题为以下第二边值问题解解 令令 即即 轻易得到轻易得到 满足定解问题为满足定解问题为21第21页则依据上述则依据上述稳定场第一边值问题公式稳定场第一边值问题公式故得到故得到22第22页23第23页 本节介绍另一个变换法：本节介绍另一个变换法：拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法求解定解问题求解定解问题 12.2.1 12.2.1 无界区域问题无界区域问题例例12.2.1 12.2.1 求解无限长细杆热传导（无热源）问题求解无限长细杆热传导（无热源）问题(12.2.1)(12.2.1)12.2 拉普拉斯变换解数学物理定解问题拉普拉斯变换解数学物理定解问题因为要作因为要作傅氏变换函数傅氏变换函数必须定义在必须定义在 上，故当上，故当我们讨论我们讨论 半无界问题半无界问题时，就不能对变量时，就不能对变量作傅氏变换了作傅氏变换了 24第24页由此由此原定解问题中泛定方程原定解问题中泛定方程变为变为 对方程对方程(12.2.3)(12.2.3)实施傅氏逆变换来进行求解实施傅氏逆变换来进行求解.利用利用傅氏逆变换公式傅氏逆变换公式【解】【解】先对时间先对时间 作作拉氏变换拉氏变换 25第25页以及卷积定理以及卷积定理得方程得方程(12.2.3)(12.2.3)解为解为(12.2.4)(12.2.4)(12.2.4)(12.2.4)式作式作拉氏逆变换拉氏逆变换,并查阅拉氏变换表，并查阅拉氏变换表，得得原定解问题原定解问题(12.2.1)(12.2.1)解解为为26第26页 (12.2.6)解首先作变量解首先作变量 拉氏变换拉氏变换 原定解问题即为原定解问题即为12.2.212.2.2半无界区域问题半无界区域问题例例 2 求定解问题求定解问题27第27页易得到易得到(12.2.8)(12.2.8)式解为式解为28第28页又又 故故因为因为及拉氏变换卷积定理及拉氏变换卷积定理最终最终,得得原定解问题解原定解问题解为为29第29页【解解】首先作变量首先作变量 拉氏变换拉氏变换原定解问题即为原定解问题即为12.2.212.2.2半无界区域问题半无界区域问题例例 2 求定解问题求定解问题30第30页易得到易得到(12.2.8)(12.2.8)式解为式解为因为因为 所以所以又又 故故31第31页利用利用及及拉氏变换卷积定理拉氏变换卷积定理最终最终,得得原定解问题解为原定解问题解为32第32页例例3 3 求解在无失真条件下求解在无失真条件下 电报方程定解问题电报方程定解问题（12.2.1612.2.16）解解令令 并考虑到无失真条件则原方程并考虑到无失真条件则原方程(15.2.16)(15.2.16)化为化为 （15.2.1715.2.17）33第33页(12.2.18)(12.2.18)上述问题解为上述问题解为因为因为 若对时间若对时间 作拉氏变换有作拉氏变换有于是定解问题于是定解问题(15.2.16)(15.2.16)化为以下化为以下常微分方程边值问题常微分方程边值问题:34第34页于是于是最终利用拉氏变换延迟定律最终利用拉氏变换延迟定律,得得定解问题定解问题(15.2.16)(15.2.16)解解为：为：或或(12.2.47)所以所以 35第35页