2014益阳三校高二下学期数学期末试卷带答案理科湘教版.docx

2014益阳三校高二下学期数学期末试卷（带答案理科湘教版）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.复数 在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.已知集合 , ,则 ( ) A． B． C． D． 3.设 为等差数列 的前 项和,若 ,公差 , ,则 ( ) A． B． C． D． 4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( ) A． B． C． D． 5. 的展开式中 的系数是( ) A． B． C． D． 6.设a,b表示直线,α,β,γ表示不同的平面,则下列命题中正确的是( ) A．若a⊥α且a⊥b,则b∥α B．若γ⊥α且γ⊥β,则α∥β C．若a∥α且a∥β,则α∥β D．若γ∥α且γ∥β,则α∥β 7.已知 是不等式组 表示的平面区域内的一点, 点坐标为 ,且 为坐标原点,则 的最大值为( ) A． B． C． D． 8.现有6本不同的教科书,语文、数学、英语各2本,需将它们在书架上摆成一排(不叠放), 其中语文书必须摆在两端,且两本数学书相邻,则不同摆法的种数为( ) A． B． C． D． 9.直线 与圆 交于不同的两点 , ,且 ,其中 是坐标原点,则实数 的取值范围是( ) A． B． C． D． 10.已知函数f(x)＝ ,则方程f(x)＝ax恰有两个不同的实根时,实数a的取值 范围是( ) A．(－1,0) B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分） （一）选作题（请考生在11、12、13三题中任选2题作答，如果全做，则按前2题记分） 11.如右图, 为圆 的直径, ,过圆 上一点 作圆 的切线，交 的延长线于点 ,过点 作 于点 ,若 是 中点。则 。 12.在直角坐标系 中,以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线 与曲线 ( 为参数)有两个不同的交点,则实数 的取值范围为 。 13.若 ，则 的最大值为 。
（二）必作题（14～16题） 14.计算 = 。 15. 已知整数的数对列如下: (1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…… 则第60个数对是 。 16.如右图,一个类似杨辉三角的数阵，则 (1) 第9行的第2个数是 ； (2) 若第n(n≥2)行的第2个数为291,则 = 。

三、解答题(本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分) 已知 ,函数 在区间 上的最大值为2。 (Ⅰ) 求常数 的值； (Ⅱ) 在 中,角 , , 所对的边是 , , ,若 , , 面积为 ,求边长 。

18.(本小题满分12分) 某名牌大学从湖南省“自主选拔”招收某类特殊人才,对 位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试,其测试结果如右下表。例如,表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有 人。由于部分数据丢失,只知道从这 位参加测试的学生中随机抽取一位,抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为 。 (Ⅰ) 求 , 的值; (Ⅱ) 从参加测试的 位学生中任意抽取 位,求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率; 逻辑思维能力运动协调能力 一般 良好 优秀 一般 2 2 1 良好 4 b 1 优秀 3 a (Ⅲ) 从参加测试的 位学生中任意抽取 位,设抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀学生的人数为 ,求随机变量 的分布列及其数学期望 。

19.(本小题满分12分) 如图,在四棱锥 中,底面 是正方形,侧面 底面 , 分别为 , 中点, 。 (Ⅰ) 求证: 平面 ； (Ⅱ) 求二面角 的余弦值。

20.(本小题满分13分) 为稳定房价,某地政府决定建造一批保障房供给社会。计划用1600万元购得一块土地,在该土地上建造10幢楼房的住宅小区,每幢楼的楼层数相同,且每层建筑面积均为1000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x层楼房每平方米的建筑费用为(kx+800)元(其中k为常数)。经测算,若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1270元。 (每平方米平均综合费用＝购地费用+所有建筑费用所有建筑面积)。 (Ⅰ) 求k的值； (Ⅱ) 问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低,应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？

21.(本小题满分13分) 已知椭圆 的中心在坐标原点 ,焦点在 轴上,离心率为 ,右焦点到到右顶点的距离为 。 (Ⅰ) 求椭圆 的标准方程； (Ⅱ) 是否存在与椭圆 交于 , 两点的直线 , 使得 成立？若存在,求出实数 的取值范围,若不存在,请说明理由。

22.(本小题满分13分) 已知 ； (Ⅰ) 对一切 恒成立,求实数 的取值范围； (Ⅱ) 当 时,求函数 在 上的最值； (Ⅲ) 证明:对一切 ,都有 成立。

益阳市一中 岳阳县一中 澧县一中二年二期期末联考试卷答案 数学（理科） 一、选择题 B B D A D D D C D C
二、填空题 11. 3 12. 13. 14. 6 15. (5,7) 16. (1) 66 (2) 18
三、解答题 17. 【解】（Ⅰ） = ……………………………………2分 因为 ,所以 故当 即 时, 得 ………………6分 （Ⅱ）因为 ,所以 ,即 又 ,所以 ,故 ,即 ………………………8分 又 ,由正弦定理得 ① 且 ,得 ② 由①和②解得 ………………………………………………………………1 0分 故 =7,所以 ……………12分
18.【解】（I）设事件 ={抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生}． 由题意可知, 又 ,故由古典概型知． ,得 , ……………………3分 （II）设事件 ={至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生}． 由题意可知,至少有一项能力测试优秀的学生共有 人． 则 ……………………………………………………… 6分 （III）由题知 的可能取值为 , , ． 位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为 人． 0 1 2
所以 , , ． 所以 的分布列为,如右表所示, 所以 …………………… 12分
19. 【解】（Ⅰ）证明:如图,连结 ． 因为底面 是正方形,所以 与 互相平分． 又因为 是 中点,所以 是 中点． 在△ 中, 是 中点, 是 中点, 所以 ∥ ,又因为 平面 , 所以 ∥平面 ;……………………5分 （Ⅱ）取 中点 ,在△ 中,因为 ,所以 ． 因为面 底面 ,且面 面 , 所以 面 ,因为 平面 ,所以 ． 又因为 是 中点,所以 ． 如图,以 为原点, 分别为 轴建立空间直角坐标系． 因为 ,所以 ,则有 , , , , , , , ． 于是 , , ． 显然 是平面 的一个法向量． 设平面 的一个法向量是 ． 故 即 令 则 ． 所以 ． 由图可知,二面角 为锐角,所以其余弦值为 ………………………………12分
20.【解】(Ⅰ)当每栋楼建为5层时,那么每栋楼的建筑费用为: 又10栋楼的建筑总费用为: ,建筑总面积为 …………3分 所以每平方米的平均综合费用为 所以 …………………………………………………………………………………6分 (Ⅱ)假设将这10栋楼房都建设为n 层,那么 ①每栋楼的建筑费用: ……………………8分 ②10栋楼的总建筑面积10000n平方米…………………………………………………9分 ③小区楼房每平方米的平均综合费用为: …………………………………11分 当且仅当 ( ,即 时平均综合费用最小,最小值为1250元……13分
21.【解】(Ⅰ)设椭圆 的方程为 ,半焦距为 . 依题意 ,由右焦点到右顶点的距离为 ,得 ,解得 , ． 所以 . 所以椭圆 的标准方程是 ;…………………………5分 (Ⅱ)假设存在这样的直线 ,符合题意,设 ,则 由 ,即 ,等价于 ． 所以 ,即 , 故 ,……①……………………………………………7分 由 得, ． ,化简得 ……② 且 , ,…………………………………………………9分 代入①式得 ,即 ,得 , 又将 代入②式得, 中, ,解得, ． 从而 , 或 ． 所以实数 的取值范围是 .………………………………13分
22. 解】(Ⅰ)对一切 恒成立, 即 恒成立.,即 在 恒成立. 令 , , ………………3分 在 上 ,在 上 ,因此, 在 处取极小值, 也是最小值,即 ,所以 .…………………………………………5分 (Ⅱ)当 , ,由 得 .…………6分 广义上讲,有 时, , 递减,当 时, , 递增, 又显然 ,所以 ①当 时,显然 . 又 ,而 因此, …………………………………8分
②当 ,显然 上单调递增,所以 , ……10分 (Ⅲ)证明:问题等价于证明 , 由(Ⅱ)知 时, 的最小值是 ,当且仅当 时取得, 设 ,则 , 易知 ,当且仅当 时取到, 但 从而可知对一切 ,都有 成立.…………13分

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