2014高三上学期数学理科期末试题带答案.docx

北京市石景山区2014届高三第一学期期末测试数学理试题 本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1已知集合，那么（ ） A B C D 2复数（ ） A B C D 3已知向量，则“”是“”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4已知数列为等差数列，那么数列通项公式为（ ） A B C D 5执行如图所示的程序框图，若输入的的值为， 则输出的的值为（） A B C D6 在边长为的正方形中任取一点，则点恰好落在正方形与曲线围成的区域内(阴影部分)的概率为（ ） A B C D7用到这个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ） A B C D 8已知函数满足，当时，若在区间上方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（ ） A B C D第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分 9已知圆的参数方程为为参数，则圆的直角坐标方程为_，圆心到直线的距离为_ 10在中，角的对边分别为，若，则_ 11 若，满足约束条件则的最大值为 12如图，已知在中，是上一点， 以为圆心，为半径的圆与交于点，与切 于点，则的长为 ， 的长为 13已知抛物线的焦点为，准线为直线，过抛物线上一点作于，若直线的倾斜角为，则_ 已知四边形是边长为的正方形，且平面，为上动点，过且垂直于的平面交于，那么异面直线与所成的角的度数为 ，当三棱锥的体积取得最大值时， 四棱锥的高的长为 三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15（本小题满分13分） 已知函数 （）求函数的单调递增区间； （）求函数在上的最小值，并写出取最小值时相应的值16（本小题满分13分） 北京市各级各类中小学每年都要进行“学生体质健康测试”，测试总成绩满分为分，规定测试成绩在之间为体质优秀；在之间为体质良好；在之间为体质合格；在之间为体质不合格 现从某校高三年级的名学生中随机抽取名学生体质健康测试成绩，其茎叶图如下： 9 1 3 5 6 8 0 1 1 2 2 3 3 3 4 4 5 6 6 7 7 9 7 0 5 6 6 7 9 6 4 5 8 5 6 （）试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数； （）根据以上名学生体质健康测试成绩，现采用分层抽样的方法，从体质为优秀和良好的学生中抽取名学生，再从这名学生中选出人 （。笤谘龅拿学生中至少有名体质为优秀的概率； （）记为在选出的名学生中体质为良好的人数，求的分布列及数学期望17.（本小题满分14分） 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形， ，且，为的中点 （）求证：平面； （）求二面角的余弦值； （）在线段上是否存在一点（不与两点重合），使得平面?若存在，求出的长；若不存在，请说明理由18（本小题满分13分） 已知函数（为自然对数的底数）. （）当时，求曲线在点处的切线方程； （）求函数的单调区间； （）已知函数在处取得极小值，不等式的解集为，若，且，求实数的取值范围.19（本小题满分14分） 已知椭圆：（）过点，且椭圆的离心率为. （）求椭圆的方程； （）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且，再过作直线.证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 20（本小题满分13分） 已知集合，对于数列中. （）若项数列满足，则数列中有多少项取值为零？() （）若各项非零数列和新数列满足（） （。羰紫睿末项，求证数列是等差数列； （）若首项，末项，记数列的前项和为，求的最大值和最小值石景山区20132014学年第一学期期末考试 高三数学（理科）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C A A C B B D二、填空题共6小题，每小题5分，共30分 题号 9 10 11 12 13 14 答案 ， ，(两空的题目第一空2分，第二空3分)三、解答题共6小题，共80分 15（本小题共13分） 解：（） 2分 ， 4分 ， ， 6分 所以函数的单调递增区间为 7分 （）因为， 9分 ， ， 11分 所以当，即时，函数取得最小值13分 16（本小题共13分） 解：（）根据抽样，估计该校高三学生中体质为优秀的学生人数有人3分 （）依题意，体质为良好和优秀的学生人数之比为 所以，从体质为良好的学生中抽取的人数为，从体质为优秀的学生中抽取的人数为6分 （。琛霸谘龅拿学生中至少有名体质为优秀”为事件， 则 故在选出的名学生中至少有名体质为优秀的概率为9分 （）解：随机变量的所有取值为， ， 12分 所以，随机变量的分布列为: 13分 17（本小题共14分） （）证明： 因为平面，平面， 所以. 1分 取的中点，连结， 因为底面为直角梯形，且， 所以四边形为正方形，所以，且， 所以，即. 3分 又，所以平面. 4分 （）解：如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系5分 则， 所以， 因为平面，所以为平面的一个法向量 6分 设平面的法向量为， 由，得 令，则， 所以是平面的一个法向量 8分 所以 因为二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为 9分 （）解：假设在线段上存在点（不与两点重合），使得平面 设，则， 设平面的法向量为， 由，得 令，则， 所以是平面的一个法向量12分 因为平面，所以，即， 13分 解得， 所以在线段上存在一点（不与两点重合），使得平面，且14分 18.（本小题共13分） 解：（）当时，得，2分 所以曲线在点处的切线方程为. 3分 （）. 当时，恒成立，此时的单调递增区间为，无单调递减区间；5分 当时，时，时， 此时的单调递增区间为，单调递减区间为.7分 （）由题意知得，经检验此时在处取得极小值. 8分 因为，所以在上有解，即使成立，9分 即使成立， 10分 所以. 令，所以在上单调递减，在上单调递增， 则， 12分 所以. 13分 19（本小题共14分） 解：（）因为点在椭圆上，所以， 所以， 1分 因为椭圆的离心率为， 所以，即 ， 2分 解得， 4分 所以椭圆的方程为. 5分 （）设， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由得， 7分 所以， 8分 因为，即为中点，所以，即. 所以， 9分 因为直线， 所以，所以直线的方程为， 即 ，显然直线恒过定点. 11分 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时直线为轴，也过点. 13分 综上所述直线恒过定点. 14分 20（本小题共13分） 解：（）设数列中项为分别有项由题意知 解得所以数列中有项取值为零 3分 （） （。遥得到， 若，则满足此时，数列是等差数列； 若中有个，则不满足题意； 所以数列是等差数列 7分 （）因为数列满足，所以， 根据题意有末项，所以 而，于是为正奇数，且中有个和个 要求的最大值，则只需前项取，后项取， 所以 （为正奇数） 要求的最小值，则只需前项取，后项取， 则 （为正奇数） 13分20 20