南昌工程学院概率统计试卷及答案.doc

题号
一
二
三
总分
统分人
题分
22
18
60
100

得分

一、填空题（每空2分，共22分） 得分| |阅卷人|
1. 设是三个事件，则至少有一个发生表示为 .
2. 设甲、乙两人独立对目标进行射击，其命中率分别为0.6和0.5，则目标被击中的概率为 ，若目标已经被击中，则是甲击中的概率为 .
3. 设且，则________.
4. 设离散型随机变量的联合分布律为
（X,Y）
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(2,1)
(2,2)
(2,3)
P
1/6
1/9
1/18
1/3

且和相互独立，则＝_______，＝________.
5. 若，且，则 ， _ .
6. 设，且和相互独立，则 .
7. 设，容量，均值，则未知参数的置信度0.95的置信区间为_________. (查表)
8. 设是来自正态总体的样本,则当 ， 是总体均值的无偏估计.
二、选择题（每题3分，共18分） 得分| |阅卷人|
1. 设事件与互斥， 则下列结论中一定成立的有( )
() 与互不相容 () ,为对立事件
()与相互独立 () 与不独立
2.设，概率密度为，分布函数为，则有( )
A

2
1
概率论与数理统计
概率论与数理统计
3. 设随机变量与的方差满足，则相关系数 ( )
0.2 0.3 0.4 0.5
4. 设是由直线,和围成的平面区域，二维随机变量在区域D上服从均匀分布，则关于的边缘概率密度在处的值为
( )

5. 设是正态总体的样本,其中已知,未知,则下列不是统计量的是( )

6. 设随机变量满足方差，则必有( ) 与独立 与不相关
与不独立 或
三、计算题（每题10分，共60分） 得分| |阅卷人|
1. 有三个盒子，第一个盒子中有2个黑球，4个白球，第二个盒子中有4个黑球，2个白球，第三个盒子中有3个黑球，3个白球.今从3个盒子中任取一个盒子，再从中任取1球.
(1) 求此球是白球的概率；
(2) 若已知取得的为白球，求此球是从第一个盒子中取出的概率.

概率论与数理统计
2 设随机变量的概率密度为 ，求 (1)值； (2)的分布函数；(3)落在区间内的概率.

3. 设的联合密度函数为，求 (1)常数; (2) 边缘概率密度; (3) 和是否独立？

4.设和是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为
，
求随机变量的概率密度。
2
2

5. 设随机变量具有密度函数，求及.

6. 设总体的概率密度为 ，，是取自总体的样本。（1）求的最大似然估计量。（2）证明
是的无偏估计量。

A
A

《概率论与数理统计》试卷A标准答案
一、填空题（每空2分，共28分）
1. 2. ， 3．
4. , 5.
6. 7. 8.
二、选择题（每题2分，共12分）
1. D 2.A 3.C 4.A 5.D 6.B
三、计算题（每题10分，共60分）
1. 设事件为“取到白球”，分别表示：取到第一个盒子、第二个盒子和第三个盒子”.
（1） …………………2分
…………………4分
…………………5分
（2） …………………7分
…………………10分
2. （1）由，得
， ………………3分
（2）
………………7分
（3） ………………10分
3. (1) 由，得 …………………1分
，
得 …………………3分

……………6分

……………9分
由于，因此和不是相互独立的. …………10分
4．
由，得 …………………3分
原式= = …………………10分
5. ……………1分
= ……………4分

== ……………8分
……………10分
6. 设是相应于的一个样本值 ……………1分
似然函数
……………2分
……………3分
……………4分
解得
因此的最大似然估计量
. ……………6分

因为， ……………8分

可知是的无偏估计量。 ……………10分

一．随机事件与概率

１．五卷文集按任意次序排列到书架上，则第一卷及第五卷分别在两端的概率为 （）
2. 若，则是 （）

3. 事件Ａ、Ｂ、Ｃ至少有一个不发生可表示为 （　）

4. 设为两个独立事件，，，求（ 0.3 ）

5． 某射手射击时，中靶的概率为，若射击直到中靶为止，求射击次数为３的概率？（ ）
5．设，，，求.
解：
6．某射手每次射击击中目标的概率为，连续向同一目标射击，直到某一次击中目标为止，求射击次数的分布律
解　在进行射击之前，无法知道射手在第几次射击时击中目标，因此射击次数是离散型随机变量，显然，的可能取值为，即一切正整数，而：
　上式即为的分布律。
7. 某工厂生产的100个产品中有5件次品, 检查产品质量时, 在产品中取一半来检查, 如果发现次品不多于一个, 则这批产品可以认为是合格的。求这批产品被认为是合格的概率。
解：按题意，每批100个产品中应有5个次品，95个合格品．设事件表示检查的50个产品中次品不多于1个，它可以看作两个互不相容事件之和：

其中表示检查的50个产品中没有次品， 而表示有1个次品．因为 ：

所以

8．设每100个男人中有5个色盲者，而每10000个女人中有25个色盲者，今在3000个男人和2000个女人中任意抽查一人，求这个人是色盲者的概率。
解　{抽到的一人为男人}，{抽到的一人为色盲者}，则
，，，
于是，由全概率公式，有
。

9.（1）已知，，，求。（2），，，求。
解　（1）利用加法公式、乘法公式计算事件概率
，。
（2）易知，，由，可得，从而
。

10. 某地有甲乙丙三种报纸，25%读甲报，20%读乙报，16%读丙报，10%兼读甲乙两报，5%读甲丙两报，4%读乙丙两报，2%读甲乙丙三报，求：
（1）只读甲报所占比例；
（2）至少读一种报纸所占比例。
解　设读甲、乙、丙三种报纸的事件分别为：，由已知条件，有
，，，，，，，从而有
（1）

（2）
.

二．一维随机变量
1. 设随机变量的分布函数为，求。 （）
2．已知随机变量的密度为，求A。
解　由；
可得。

３．随机变量X的概率密度为　求。 （）

4．若，且，求。
解　0.3=
故　，。

5．随机变量的概率密度为：，求随机变量的概率密度。
解　设，则，反函数，于是概率密度为：
，故。

6．设随机变量在上服从均匀分布，现在对进行3次独立试验，则至少有2次观察值大于2的概率为多少？
解　的概率密度为：。一次试验观察值大于2的概率为：

设3次独立试验观察值大于2的次数为，则，从而：
。

7．设随机变量，且，求。
解　根据正态分布的密度函数关于均值点的对称性，有

8．如果函数，，为某个随机变量的概率密度，求。
解　因为，而。
故。

9. 已知 X 的概率分布为

X
pk
-1 0 1 2

求 Y = X 2 的分布律.

解

三．二维随机变量
1．若的联合概率密度为：
（1）确定常数；（2）求。
解　1），故；
（2）

2．设随机变量的密度函数为，求概率。
解　

3．设二维随机变量()的分布函数

(1)求常数；(2)求。
解 (1)令
，得
(2)

4. 两个相互独立的元件串联成一系统，元件的寿命分别为,，其分布函数均为

求系统的寿命短于1000小时的概率。
解　串联的两个元件至少一个损坏时，系统将停止工作，所求概率为，

四．随机变量的数字特征

1．设随机变量服从参数为的泊松（Poisson）分布，且已知，求 。
解　因，有，从而。

2．设随机变量服从参数为 1 的指数分布，求。
解　
从而。

3．设随机变量和的相关系数为0.5，，，求。
解　利用期望与相关系数的公式进行计算即可。因为
=

说明：本题的核心是逆向思维，利用公式。

4．设两个相互独立的随机变量和的方差分别为6和3，求随机变量的方差。
解　由方差的性质，得。
5．设连续型随机变量的分布函数为，则求。
解　随机变量的概率密度为：，
，故＝３／４。

5．设随机变量的方差为2，求根据切比雪夫不等式有估计。
解　由切比雪夫不等式，有。

6．设随机变量和的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数0.5，则根据切比雪夫不等式求。
解　，关键要求的方差。

，
于是。

六七章．数理统计

1．样本取自总体，及分别表示样本均值和均方差，则服从什么分布？
解　因为独立同分布，，所以，
2．设随机变量相互独立，且则服从什么分布。
解：
3．设总体，为的样本，则服从什么分布。
解　因，所以，标准化后，有，故选择

4．设随机变量Ｘ～Ｆ（ｍ，ｎ）则服从什么分布。
解

5．设总体为取自总体的一个样本，为样本均值，要使成立，则样本容量至少应取多大？
解　，得。

6．设总体的概率密度为：，其中，求的极大似然估计。
解：似然函数为：

得极大似然估计：。

7．设X服从参数为的指数分布

是来自总体X的样本，求的极大似然估计。
解：似然函数为于是
令得，因此，为的极大似然估计。