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第二章 均值比较检验与方差分析 在经济社会问题的研究过程中，常常需要比较现象之间的某些指标有无显著差异，特别当考察的样本容量n比较大时，由随机变量的中心极限定理知，样本均值近似地服从正态分布。所以，均值的比较检验主要研究关于正态总体的均值有关的假设是否成立的问题。u 本章主要内容：1、单个总体均值的 t 检验（One-Sample T Test）；2、两个独立总体样本均值的 t 检验（Independent-Sample T Test）；3、两个有联系总体均值均值的 t 检验（Paired-Sample T Test）；4、单因素方差分析（One-Way ANOVA）；5、双因素方差分析（General Linear ModelUnivariate）。u 假设条件：研究的数据服从正态分布或近似地服从正态分布。在Analyze菜单中，均值比较检验可以从菜单Compare Means，和General Linear Model得出。如图2.1所示。图2.1 均值的比较菜单选择项2.1 单个总体的 t 检验（One-Sample T Test）分析单个总体的 t 检验分析也称为单一样本的 t 检验分析，也就是检验单个变量的均值是否与假定的均数之间存在差异。如将单个变量的样本均值与假定的常数相比较，通过检验得出预先的假设是否正确的结论。例1：根据2002年我国不同行业的工资水平（数据库SY-2），检验国有企业的职工平均年工资收入是否等于10000元，假设数据近似地服从正态分布。首先建立假设：H0：国有企业工资为10000元；H1：国有企业职工工资不等于10000元打开数据库SY-2，检验过程的操作按照下列步骤：1、单击Analyze Compare Means One-Sample T Test，打开One-Sample T Test 主对话框，如图2.2所示。 图2.2 一个样本的t检验的主对话框2、从左边框中选中需要检验的变量（国有单位）进入检验框中。3、在Test Value框中键入原假设的均值数10000。4、单击Options按钮，得到Options对话框（如图2.3），选项分别是置信度（默认项是95）和缺失值的处理方式。选择后默认值后返回主对话框。 图2.3 一个样本t检验的Options对话框5、单击OK，得输出结果。如表2.1所示。 表2.1（a）.数据的基本统计描述One-Sample Statistics N 样本容量Mean均值Std. Deviation标准差Std. Error Mean标准误国有单位3113559.90324809.97099863.89629表2.1 (b).一个样本均值t检验的检验结果One-Sample Test Test Value = 10000t 值df自由度Sig. (2-tailed)P值Mean Difference均值差95% Confidence Interval of the Difference置信区间LowerUpper国有单位4.12130.0003559.903231795.59165324.2148从上面检验结果表2.1（a）可以得出国有单位职工工资的平均值、标准差和均值的标准误等反映数据特征的数据。从表2.1（b）中可知检验的结果。即相应的检验统计量t值为4.229，自由度为30，假设检验的P值（sig）小于0.05，故原假设不成立，检验结论是拒绝原假设H0，接受假设H1。即认为国有企业职工的平均工资与10000元的假设差异显著。2.2 两个总体的 t 检验2.2.1 两个独立样本的t检验（Independent-samples T Test）Independent-sample T Test是检验两个没有联系的总体样本均值间是否存在显著的差异，两个没有联系的总体样本也称独立样本。如两个无联系的企业生产的同样产品之间的某项指标的均值的比较，不同地区的儿童身高、体重的比较等，都可以通过抽取样本检验两个总体的均值是否存在显著的差异。例2某医药研究所考察一种药品对男性和女性的治疗效果是否有显著差异，调查了10名男性服用者及7名女性服用者，对他们服药后的各项指标进行综合评分，服用的效果越好，分值就越高，每人所得的总分见表2.2，试根据表中的数据检验这种药品对男性和女性的治疗效果是否存在显著差异。解：由于药品对男性或女性的影响是无联系的，因此这两个样本是相互独立的。可以应用两独立样本的假设检验。首先，建立假设H0：该药品对男性和女性的治疗效果没有显著差异； H1：该药品对男性和女性的治疗效果有显著差异。 表2.2 男，女治疗效果的综合得分表性别分数序号男女11501402160120367784801355110896801007132105811596010100然后，根据表1的数据建立数据文件SY-4，并使用SPSS进行假设检验，具体操作步骤：1、单击Analyze Compare Means Independent-sample T Test，打开Independent-sample T Test 主对话框如图2.4。 图2.4 两个独立样本t检验的主对话框2、选择要检验的变量“综合得分”进入检验框中。3、选择分组变量“性别”进入分组框中，然后单击Define Group按纽，打开分组对话框如2.5图所示，确定分组值后返回主对话框，如果没有分组，可以选择Cut point单选项，并在激活的框内输入一个值作为分组界限值。4、由Option选择按纽确定置信度值和缺失值的处理方式。5、点击OK可得输出结果，见表2.3统计分析检验结果。图2.5 独立样本t检验Define Groups 对话框6、分析输出结果并对结果作出分析见表2.3。表2.3（a）Group Statistics分组统计描述表 性别NMeanStd. DeviationStd. Error Mean综合得分男10105.4034.39410.876 女7109.5723.1438.747表2.3（b）独立样本的均值比较检验表 方差齐性检验Levenes Test for Equality of Variances均值相等的t检验t-test for Equality of Means F值P值Sig. 统计量t自由度dfP值Sig. (2-tailed)均值差Mean Difference标准差Std. Error Difference95%的置信区间95% Confidence Interval of the Difference LowerUpper综合得分Equal variances assumed1.445.248-.27815.784-4.1714.980-36.10127.758 Equal variances not assumed-.29914.997.769-4.1713.957-33.92225.579检验表2.3(a) 基本统计表，检验表2.3（b）第三列和第四列是检验两样本数据的方差是否相等，从检验结果得知两样本的方差没有显著差异。从第五列开始是对两个样本的均值的是否相等进行检验。从假设检验的P值看出，它大于显著性水平0.05，所以说男女之间的机械能力之间并无显著差异，因此接受原假设H0。而第八列之后分别是均值差、均值差标准误、均值差的置信区间。2.2.2 两个有联系总体间的均值比较（Paired-Sample T Test）Paired-Sample T Test是检验两个有联系正态总体的均值是否存在显著的差异。又称配对样本的 t 检验。经常用于生物、医药、农业、工业等多个行业。如检验某种药品使用的效果是否显著，需要对使用者使用前后进行比较；再如对某种粮食进行品种改良，也需要比较改良前后粮食产量有无显著差异等。例3：某企业对生产线上的工人进行某种专业技术培训，要对培训效果进行检验，从参加培训的工人中抽取30人，将他们培训前后的数据每加工500个零件的不合格品数进行对比，得到数据表见表2.4。试根据表中数据检验培训前后工人的平均操作技术水平是否有显著提高，也就是检验培训效果是否显著。表 2.4 工人培训前后不合格品数据表序号培训前培训后序号培训前培训后120166423117623321862441196254120646422163742226384323639522463105225631153267312532773135228741453297415533083解：这显然是配对样本均值的假设检验的问题。所以要建立假设：H0：培训前后工人的技术水平没有显著差异；H1：培训前后工人的技术水平有显著差异；根据表2.3建立数据文件SY-5，根据中心极限定理，在大样本的情况下，样本均值近似地服从正态分布。所以可以利用正态参数的检验方法进行均值的检验。其检验过程的具体操作步骤为：1、单击Analyze Compare Means Paired-Sample T Test，打开Paired-Sample T Test主对话框如图2.6。2、选择要检验的两变量进入检验框中，注意，一定要选择两个变量进入检验框内，否则将无法得到检验结果。3、由Option选择按纽确定置信度值95和缺失值的处理方式。4、点击OK得输出结果。5、根据输出结果作出结论如表2.5所示。图2.6 配对样本的t检验主对话框表2.5（a） Paired Samples Statistics 样本统计量分析 Mean样本容量N标准差Std. Deviation均值标准误Std. Error MeanPair 1培训前5.30301.368.250 培训后2.5330.973.178表 2.5(b) Paired Samples Test 配对样本均值差检验表 Paired Differences检验统计量t自由度dfP值（双尾）Sig. (2-tailed) MeanStd. DeviationStd. Error Mean95% Confidence Interval of the Difference LowerUpper Pair 1培训前 - 培训后2.77.935.1712.423.1216.20329.000由上表2.5（b）中的检验结果知，假设检验的P值小于0.05，因此可以得出培训前后的差异是显著的，故拒绝假设H0，接受假设H1，认为培训的效果是显著的。2.3 单因素方差分析单因变量的单因素方差分析主要解决多于两个总体样本或变量间均值的比较问题。是一种对多个（大于两个）总体样本的均值是否存在显著差异的检验方法。其目的也是对不同的总体的数据的均值之间的差异是否显著进行检验。单因素方差分析的应用范围很广，涉及到工业、农业、商业、医学、社会学等多个方面。u 单因素方差分析的应用条件：在不同的水平（因素变量取不同值）下，各总体应当服从方差相等的正态分布。例4，某企业需要一种零件，现有三个不同的地区的企业生产的同种零件可供选择，为了比较这三个零件的强度是否相同，每个地区的企业抽出6件产品进行强度测试，其值如表2.6所示。假设每个企业零件的强度值服从正态分布，试检验这三个地区企业的零件强度是否存在显著差异。解：首先建立假设H0：三个地区的零件强度无显著差异；H1：三个地区的零件强度有显著差异。然后根据表2.6中数据，建立数据文件SY-6并进行单因素方差（One-Way ANOVA）分析。具体操作过程如下：表2.6 样本零件强度值 单位：百公斤地区强度样本123111611089298103853100118994115106735831079761051161021、单击Analyze Compare Means One-Way ANOVA，打开 One-Way ANOVA对话框。图 2.7 单因素方差主对话框2、从左框中选择因变量”零件强度”进入Dependent list框内，选择因素变量”地区”进入Factor框内。点击OK就可以得到方差分析表2.7。表2.7 ANOVA 方差分析表 百公斤 方差来源平方和Sum of Squares自由度Df均方Mean SquareF值P值Sig.Between Groups 组间1125.4442562.7225.591.015Within Groups 组内1509.66715100.644Total 总和2635.11117表2.7是方差分析表，由于F统计量值的P值明显小于显著性水平0.05，故拒绝假设H0，认为这三个地区的零件强度有显著差异。如果需要对各地区间的零件强度进行进一步的比较和分析，可以通过按纽Option选项，contrast对照比较，Post Hoc多重比较去实现。3、单击Option按纽，打开Option对话框如图2.8所示：在Option选项中选择输出项。主要有不同水平下样本方差的齐性检验，缺失值的处理方式及均值的图形。 图2.8 单因素方差分析 Options 对话框本例中选择Homogeneity of variance test 进行不同水平间方差齐性的检验以及Descriptive 基本统计描述。在Missing Value栏中选择系统默认项。完成所有选择后返回主对话框，然后单击OK，就可以得到三个地区零件强度分析表2.8。表2.8（a） Descriptives基本统计描述 NMeanStd. DeviationStd. Error95% Confidence Interval for MeanMinimumMaximum Lower BoundUpper Bound A16102.8312.2545.00389.97115.6983116A26110.005.8992.408103.81116.19103118A3690.8310.8154.41579.48102.1873102Total18101.2212.4502.93595.03107.4173118 表2.8（b）Test of Homogeneity of Variances方差齐性检验百公斤 Levene Statisticdf1df2Sig.1.203215.328从基本统计分析表2.8（a）可以得到均值、标准差等数据相应的统计特征值。从表2.8（b）中的统计检验可以得出，因素变量的各水平间的方差是没有显著差异的。4、Contrasts按纽可以用来进一步分析随着控制变量水平的变化，观测值变化的总体趋势以及进一步比较任意指定水平间的均值差异是否显著。单击Contrasts按纽，打开One-Way ANOVA：Contrasts对话框.见图2.9.图2.9 单因素方差分析 Contrasts对话框如果要对组间平方和进行趋势成分检验，选中Polynomial多项式复选项，选中后激活Degree参数框，在Degree框中选择趋势检验多项式的阶数，有最高次数可达5 次。系统将给出指定阶数和低于指定阶次各阶次的自由度、F值和F检验的概率值。在Contrast栏，指定需要对照比较两个水平的均值。在Coefficients 框中输入一个系数，单击Add按纽，系数就进入到Coefficients 框中。重复上述，依次输入各组均值的系数。注意系数的和应当等于0。如；图2.9中就是指第一个水平与第三个水平的均值差比较。5、如果需要将水平间两两比较，可以单击Post Hoc 按纽，打开多重比较对话框。如图2.10 所示：在该对话框中列出了二十种多重比较检验，涉及到许多的数理统计方法，在实际中只选用其中常用的方法即可。对话框下部的Significance level表示显著性水平，默认值是0.05，也可以根据需要重新输入其它值。l 如果满足在水平间方差相等的条件，常用LSD（least-significant difference最小显著性差异法）,表示用 t 检验完成各组均值间的配对比较。l 当方差不等的情况下，可以选择Tamhanes T2, 用t检验进行各组均值间的配对比较。图2.10 单因素方差分析 PHC 对话框选择多重比较方式后，点击OK，得到输出结果表2.9。表2.9 Multiple Comparisons多重比较Dependent Variable: 百公斤 LSD (I) 地区(J) 地区Mean Difference (I-J)Std. ErrorSig.95% Confidence IntervalLower BoundUpper BoundA1A2-7.175.792.235-19.515.18A312.005.792.056-.3524.35A2A17.175.792.235-5.1819.51A319.17(*)5.792.0056.8231.51A3A1-12.005.792.056-24.35.35A2-19.17(*)5.792.005-31.51-6.82* The mean difference is significant at the .05 level.从表2.8中可以看出，地区2与地区3之间的差异是非常显著的，它们均值差的检验的尾概率为0.005，明显小于显著性水平0.05。2.4 双因素方差（Univariate）分析过程单因变量的双因素方差分析是对观察的现象（因变量）受两个因素或变量的影响进行分析，检验不同水平组合之间对因变量的影响是否显著。双因素方差分析的应用范围很广，如粮食产量受到气候、温度因素的影响；某生物产品的生产过程不仅受催化剂多少的影响、还受温度高低的影响等，甚至两因素变量之间的交互作用对因变量也有一定的影响。要分清楚哪个因素的影响作用比较大，就可以应用双因素方差分析的方法来解决。u 双因素方差分析应用条件：因变量和协变量必须是数值型变量，且因变量来自或近似来自正态总体。因素变量是分类变量，变量可以是数值型或字符型的。各水平下的总体假设服从正态分布，而且假设各水平下的方差是相等的。双因素方差分析过程可以分析出每一个因素的作用；各因素之间的交互作用；检验各总体间方差是否相等；还能够对因素的各水平间均值差异进行比较等。例5：表2.10是某商品S在不同地区和不同时期的销售量表。已知数据服从正态分布，则要检验地区因素及时间因素对销售量的影响是否显著。 表2.10 某商品S销售量表 单位：千件地区时期1234516.514.213.42.46.221.87.19.41.54.833.610.87.21.74.943.78.98.62.34.657.612.67.52.85.2由于销售量受地区和时间两个因素的影响，这是一个双因素方差分析的问题，根据上表建立数据文件SY-7，具体分析的步骤如下：1、单击Analyze General linear Model Univariate，打开Univariate主对话框。如图2.11所示：图2.11 双因素方差分析对话框2、选择要分析的变量”销售量”进入Dependent Variable 框中，选择因素变量”地区”和”时期”进入Fixed Factor框中。3、单击Model按纽选择分析模型，得到Model对话框。如图2.12所示：在Specify框中，指定模型类型。Full Factorial 选项为系统默认项，建立全模型，全模型中包括因素之间的交互作用。如果选择分析两个因素的交互作用，则必须在每种水平组合下，取得两个以上的实验数据，才能实现两个因素的交互作用的分析结果。如果不考虑因素间的交互作用时，应当选择自定义模型。图2.12 Univariate：Model对话框Custom选项为自定义模型，本例选择此项并激活下面的各项操作。先从左边框中选择因素变量进入Model框中，然后选择效应类型。一般不考虑交互作用时，选择主效应Main，考虑交互作用时，选择交互作用Interaction。可以通过单击Build Term下面的小菜单完成，本例中选择主效应。最后在Sum of Square 中选择分解平方和的方法后返回在主对话框。一般选取默认项Type。单击OK就可以得到相应的双因素方差分析表2.11.表2.11 销售量的双因素方差分析检验表 Tests of Between-Subjects EffectsDependent Variable: 商品S（千件） SourceType III Sum of SquaresdfMean SquareFSig.Corrected Model289.717(a)836.21514.679.000Intercept1015.06011015.060411.438.000地区247.218461.80525.052.000时期42.498410.6254.307.015Error39.474162.467 Total1344.25025 Corrected Total329.19024 a R Squared = .880 (Adjusted R Squared = .820)表中用黑体字部分是一般统计学原理书中给出的双因素方差分析表。从表中数据可以看出，F值对应概率P值都小于显著性水平0.05，这说明地区和时期对销售量的影响都是显著的。4、如果需要进行特定的两水平间的均值比较，可单击Contrast比较按纽，打开Contrast对话框如图2.13。在Factor框中显示所有在主对话框中选择的因素变量，括号中显示的是当前的比较方法，点击选中因素变量，可以改变均值的比较方法。图2.13 Univariate：Contrasts 对话框l Change Contrast栏中列出对比方法。在小菜单中供选择的方法依次是：None 不进行均数比较；Deviation 以观测量均值为标准进行比较；Simple 以第一个或最后一个水平的观察值均值为标准；Difference 各水平上观察值均值与前一个水平的均值进行比较；Hermert 各水平上观察值与最后一个水平的均值比较。选择了比较方法后，再点击Change按纽确定，将选中的比较方法显示在选中的因素变量后的括号内。然后返回主对话框。图2.14 Univariate ：Profile Plots对话框5、如果需要进行图形展示，可单击Plots按纽，打开图形对话框如图2.14所示。选择作均值轮廓图（Profile)的参数。（1）在Factor框中选择因素变量进入横坐标Horizontal Axis框内，然后单击add按纽，可以得到该因素不同水平的因变量均值的分布。（2）如果要了解两个因素变量的交互作用，将一个因素变量送入横坐标后，将另一个因素变量送入Separate Lines分线框中，然后单击add按纽。就可以输出反映两个因素变量的交互图。本例中选择因素A为横坐标。6、如需要将因素A各水平间均值进行两两比较，单击Post Hoc按纽，打开Post Hoc Multiple多重比较对话框如图2.15所示。从Factor框中选择因素变量进入Post Hoc Test for框中，然后选择多重比较方法。本例中各组方差相等，选择LSD方法。图2.15 Univariate：Post Hoc多重比较对话框7、单击Save 按纽，打开保存对话框，如图2.16所示。选择需要保存的变量。 图2.16 Univariate ：Save对话框l Predicted Value 预测值栏，选择此栏系统将给出根据模型计算的有关预测值的选择项。l Diagnostics 诊断异常值栏，有库克距离和杠杆值（leverage value）。l Save to New File 保存新文件栏l Residual 残差栏，有非标准化和标准化残差、学生化和剔除残差等。本例中不作选择。8、单击Options按纽，打开Univariate：Options对话框，从中选择需要输出的显著性水平，默认值为0.05。本例中不作选择。在进行所有的选择后，单击OK，就可以得到输出结果。由多重比较LSD表中得到不同地区销售量的比较表2.12。表2.12 Multiple Comparisons多重比较表Dependent Variable: 商品S LSD (I) 因素A(J) 因素AMean Difference (I-J)均值Ai-均值AjStd. Error标准误Sig.P值95% Confidence Interval95%的置信区间 Lower BoundUpper BoundA1A2-6.0800(*).99340.000-8.1859-3.9741A3-4.5800(*).99340.000-6.6859-2.4741A42.5000(*).99340.023.39414.6059A5-.5000.99340.622-2.60591.6059A2A16.0800(*).99340.0003.97418.1859A31.5000.99340.151-.60593.6059A48.5800(*).99340.0006.474110.6859A55.5800(*).99340.0003.47417.6859A3A14.5800(*).99340.0002.47416.6859A2-1.5000.99340.151-3.6059.6059A47.0800(*).99340.0004.97419.1859A54.0800(*).99340.0011.97416.1859A4A1-2.5000(*).99340.023-4.6059-.3941A2-8.5800(*).99340.000-10.6859-6.4741A3-7.0800(*).99340.000-9.1859-4.9741A5-3.0000(*).99340.008-5.1059-.8941A5A1.5000.99340.622-1.60592.6059A2-5.5800(*).99340.000-7.6859-3.4741A3-4.0800(*).99340.001-6.1859-1.9741A43.0000(*).99340.008.89415.1059Based on observed means.* The mean difference is significant at the .05 level.从表2.12中可以看到地区之间的差异比较结果，如A1与A2，A1与A3的差异就比较大，而A1和A5之间的没有显著差异。 图2.17 因素A与因素B的交互作用图由图2.17可以看出，两个因素变量地区和时期的折线之间无交叉，因此两个因素之间基本上没有交互作用。实验练习题二1、为了比较两种材料的质量，选择15台不同设备对这两种材料进行特别处理，假设未处理前两种材料的指标数据均为10，一星期后经测量得到两种材料的指标数据如下：试根据下面的数据检验两种材料的质量有无显著差异？材料A7.67.08.38.25.29.37.98.57.87.56.18.96.19.49.1材料B8.06.48.87.96.89.16.37.5706.54.47.74.29.49.12、下面给出的是两个大文学家马克.吐温的8篇小品文及斯诺特格拉斯的10篇小品文中由3个字母组成的词的比例。马克吐温0.2250.2620.2170.2400.2300.2290.2350.217斯诺特格拉斯0.2090.2050.1960.2100.2020.2070.2240.2230.2200.201设两组数据分别来自正态总体，试检验两位作家写的小品文稿中包含由3 个字母组成的词的比例是否有显著的差异？并且检验两组数据的方差是否相等？3、现有甲、乙、丙3家企业生产同一种型号电池，为评比其质量，从每个生产企业各随机抽取12只进行寿命测试，数据如下表所示：工厂 寿 命 （h）甲乙丙40 48 38 42 45 43 42 39 48 44 47 4326 31 30 34 34 35 29 28 37 32 37 3539 41 40 42 41 42 47 50 43 50 48 43试在显著性水平0.05下，检验三企业生产的电池的平均寿命1、2、3有无显著差异，并求1-2，1-3，2-3的95置信区间。4、下表中给出了某种化工过程在三种浓度、四种温度水平下的得率，浓度（）温度（）1024385221410111113910124971087116106511131412131410假设在诸水平的搭配下的总体服从正态分布且方差相等，试在水平0.05下检验不同的浓度及不同的温度下的得率的差异是否显著？交互作用的效应是否显著？