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1、课题】9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角 【教学目标】 知识目标： （1）了解两条异面直线所成的角的概念； （2）理解直线与平面垂直、直线与平面所成的角的概念，二面角及其平面角的概念． 能力目标： 培养学生的空间想象能力和数学思维能力． 【教学重点】 异面直线的概念与两条异面直线所成的角的概念、直线与平面所成的角的概念、二面角及其平面角的概念． 【教学难点】 两条异面直线所成的角的概念、二面角的平面角的确定． 【教学设计】 两条异面直线所成的角可用来刻画两条异面直线之间的位置关系，它是本节教学的难点．学生一般会有疑问：异面直线不相交怎么能成角？教学
2、时要讲清概念． 例1是求异面直线所成的角的巩固性题目，一般来说，这类题目要先画出两条异面直线所成的角，然后再求解． 斜线在平面内的射影是本节的重要概念之一，是理解直线与平面所成的角的基础．要讲清这一概念，可采取“一边演示，一边讲解，一边画图”的方法，结合图形讲清斜线、斜足、斜线段、垂足、垂线段、斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影．要讲清斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影的区别． 两个平面相交时，它们的相对位置可用两个平面所成的角来确定．教材从观察建筑房屋、修筑河堤两个实例，结合实验引入二面角的概念，二面角的概念可以与平面几何中的角的概念对比进行讲解． 二面角的平面角的大小只
3、与二面角的两个面的相对位置有关，而与平面角的顶点在棱上的位置无关．因此二面角的大小可以用它的平面角来度量．规定二面角的范围为． 【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】 教 学 过 程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间 *揭示课题 9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角 *创设情境 兴趣导入 在图9−30所示的长方体中，直线和直线是异面直线，度量和，发现它们是相等的． 如果在直线上任选一点P，过点P分别作与直线和直线平行的直线，那么它们所成的角是否与相等？ 图9−30 介绍
4、 质疑 引导 分析 了解 思考 启发 学生思考 0 5 *动脑思考 探索新知 我们知道，两条相交直线的夹角是这两条直线相交所成的最小的正角． 经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角． 如图9−31（1）所示，∥、∥，则与的夹角就是异面直线与所成的角．为了简便，经常取一条直线与过另一条直线的平面的交点作为点（如图9−31（2）） n
5、 m o (1) n m o 图9-31(2) 讲解 说明 引领 分析 仔细 分析 关键 语句 思考 理解 记忆 带领 学生 分析 12 *巩固知识 典型例题 例1 如图9−32所示的长方体中，，求下
6、列异面直线所成的角的度数： (1) 与； (2) 与 . 解 （1）因为 ∥，所以为异面直线与所成的角．即所求角为. （2）因为∥，所以为异面直线与所成的角． 在直角△中 ，， 所以 ， 即所求的角为. A B C D 图9−32 说明 强调 引领 讲解 说明 观察 思考 主动 求解 通过
7、例题进一步领会 17 *运用知识 强化练习 9.3.1题图 在如图所示的正方体中，求下列各对直线所成的角的度数： （1）与； （2）与． 提问 指导 思考 解答 领会知识 21 *创设情境 兴趣导入 正方体中（图9−33），直线与直线、BC、CD、AD、AC所成的角各是多少？ 可以发现，这些角都是直角． 图9−33 质疑 引导
8、 分析 思考 启发 学生思考 26 *动脑思考 探索新知 如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，那么就称直线与平面垂直，记作．直线叫做平面的垂线，垂线与平面的交点叫做垂足. 画表示直线和平面垂直的图形时，要把直线画成与平行四边形的横边垂直（如图9−34所示），其中交点是垂足． 图9−34 讲解 说明 引领 分析 思考 理解 带领 学生 分析
9、 30 *创设情境 兴趣导入 将一根木棍PA直立在地面上，用细绳依次度量点P与地面上的点A、B、C、D的距离（图9−35），发现PA最短． 图9−35 质疑 思考 带领 学生 分析 32 *动脑思考 探索新知 如图9−35所示，，线段PA叫做垂线段，垂足A叫做点P在平面内的射影． 直线PB与平面相交但不垂直，则称直线PB与平面斜交，直线PB叫做平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．点P与斜足B之间的线段叫做点P到这个平面的斜线段． 过垂足与斜足的直线叫做斜线在平
10、面内的射影．如图9−35中，直线AB是斜线PB在平面内的射影． 从上面的实验中可以看到，从平面外一点向这个平面引垂线段和斜线段，垂线段最短．因此，将从平面外一点P到平面的垂线段的长叫做点P到平面的距离． 讲解 说明 引领 分析 仔细 分析 讲解 关键 词语 思考 理解 记忆 带领 学生 分析 40 *创设情境 兴趣导入 如图9−36所示，炮兵在发射炮弹时，为了击中目标，需要调整好炮筒与地面的角度． 图9−36 质疑
11、 思考 带领 学生 分析 42 *动脑思考 探索新知 斜线l与它在平面内的射影的夹角，叫做直线l与平面所成的角．如图9−37所示，就是直线PB与平面所成的角． 规定：当直线与平面垂直时，所成的角是直角；当直线与平面平行或直线在平面内时，所成的角是零角．显然，直线与平面所成角的取值范围是． 【想一想】 如果两条直线与一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？ 图9−37 讲解 说明 引领 分析 仔细 分析 讲解 关键 词语 思
12、考 理解 记忆 带领 学生 分析 47 *巩固知识 典型例题 例2 如图9−38所示，等腰ABC的顶点A在平面外，底边BC在平面内，已知底边长BC=16，腰长AB=17，又知点A到平面的垂线段AD=10．求 图9−38 （1）等腰ABC的高AE的长； （2）斜线AE和平面所成的角的大小（精确到1º）． 分析 三角形是直角三角形，知道斜边和一条直角边，利用勾股定理可以求出的长；是AE和平
13、面所成的角，三角形ADE是直角三角形，求出的正弦值即可求出斜线和平面所成的角． 解 (1) 在等腰ABC中，，故由BC=16可得BE=8. 在AEB中，∠AEB=90°，因此 . （2）联结DE.因为AD是平面的垂线，AE是的斜线，所以DE是AE在内的射影.因此是AE和平面所成的角. 在ADE中， ， 所以 . 即斜线AE和平面所成的角约为. 【想一想】 为什么这三条连线都画成虚线？ 说明 强调 引领 讲解 说明 观察 思考
14、 主动 求解 思考 通过例题进一步领会 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 55 *运用知识 强化练习 长方体ABCD −中，高DD1=4cm，底面是边长为3cm的正方形，求对角线D1B与底面ABCD所成角的大小（精确到1′）. 练习9.3.2图 提问
15、巡视 指导 思考 求解 及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况 60 *创设情境 兴趣导入 在建筑房屋时，有时为了美观和排除雨水的方便，需要考虑屋顶面与地面形成适当的角度（如图9−39（1））；在修筑河堤时，为使它经济且坚固耐用，需要考虑河堤的斜坡与地面形成适当的角度（如图9−39（2））． （2） 图9−39 （1） 在白纸上画出一条线，沿着这条线将白纸对折，然后打开进行观察． 质疑 引导 分析 思考
16、 启发 思考 63 *动脑思考 探索新知 平面内的一条直线把平面分成两部分，每一部分叫做一个半平面． 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．以直线l（或CD）为棱，两个半平面分别为的二面角，记作二面角（或）（如图9−40）． 图9−40 C D 图9−41 l o N M C D 过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角．如图9−41所示，在二面角−−
17、的棱上任意选取一点，以点为垂足，在面与面内分别作、，则就是这个二面角的平面角． 讲解 说明 引领 分析 仔细 分析 讲解 关键 词语 思考 理解 记忆 带领 学生 分析 70 *创设情境 兴趣导入 用纸折成一个二面角，在棱上选择不同的点作出二面角的平面角，度量它们是否相等，想一想是什么原因． 质疑 思考 启发
18、 思考 72 *动脑思考 探索新知 二面角的平面角的大小由的相对位置所决定，与顶点在棱上的位置无关，当二面角给定后，它的平面角的大小也就随之确定．因此，二面角的大小用它的平面角来度量． 当二面角的两个半平面重合时，规定二面角为零角；当二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角为平角．因此二面角取值范围是． 平面角是直角的二面角叫做直二面角．例如教室的墙壁与地面就组成直二面角，此时称两个平面垂直．平面与平面垂直记作 讲解 说明 引领 分析 思考 理解 记忆 带领 学生 分析
19、 76 *巩固知识 典型例题 例3 在正方体中（如图9−42），求二面角的大小． 图9−42 解 AD为二面角的棱， 与是分别在二面角的两个面内并且与棱AD垂直的射线，所以为二面角的平面角． 因为在正方体中，是直角．所以二面角为90°. 说明 强调 引领 讲解 说明 观察 思考 主动 求解 通过例题进一步领会
20、 81 *运用知识 强化练习 在正方体中，求二面角的大小. 练习9.3.3题图 提问 巡视 指导 思考 求解 及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况 86 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 异面直线所成的角、二面角的平面角的概念？ 结论： 经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角． 过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的
21、最小正角叫做二面角的平面角． 质疑 归纳强调 回答 及时了解学生知识掌握情况 87 *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ 引导 回忆 *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？ 在正方体中，求平面与平面所成的二面角的大小． 提问 巡视 指导 反思 动手 求解 检验 学生 学习 效果
22、 89 *继续探索 活动探究 (1)读书部分：教材 (2)书面作业：教材习题9.1 A组（必做）；9.1 B组（选做） (3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的异面直线实例 说明 记录 分层次要求 90 【教师教学后记】 项目 反思点 学生知识、技能的掌握情况 学生是否真正理解有关知识； 是否能利用知识、技能解决问题； 在知识、技能的掌握上存在哪些问题； 学生的情感态度 学生是否参与有关活动； 在数学活动中，是否认真、积极、自信； 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服； 学生思维情况 学生是否积极思考； 思维是否有条理、灵活； 是否能提出新的想法； 是否自觉地进行反思； 学生合作交流的情况 学生是否善于与人合作； 在交流中，是否积极表达； 是否善于倾听别人的意见； 学生实践的情况 学生是否愿意开展实践； 能否根据问题合理地进行实践； 在实践中能否积极思考； 能否有意识的反思实践过程的方面；
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