勾股定理提高训练.doc

桃林教育成都温江（千禧新城校区） 北师大八年级数学—— 勾股定理提高
上课时间：2014年1月12日
一、复习回顾基础知识
勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.证明方法：赵爽弦图。
勾股定理的应用：勾股定理常用于直角三角形中的计算。
常用的勾股定理模型：

巩固练习;在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．
(1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b；

(2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；

(3)若c－a＝4，b＝16，求a、c；

(4)若∠A＝30°，C＝24，求C边上的高hc；

(5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．

二、经典例题
考点一 直角三角形中的有关计算
例1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为BC和AC的中点，AD＝5，求AB的长．

针对训练：如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝20，AB＝10，延长AB到D，使CD＋DB＝AC＋AB，求BD的长．

例2、已知：如图，△ABC中，AC=4，∠A=45°，∠B=60°，求AB.

针对训练：如图，Rt△ABC中，∠C=90°AD平分∠BAC， AC=6cm，BC=8cm.
（1）求线段CD的长；
（2）求△ABD的面积.

延伸训练：1、如图，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分线，BC=4，CD=，求AC的长．

2、在直角ΔABC中，斜边长为2，周长为2+，求ΔABC的面积．

考点二 折叠问题中的计算
例3、如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的长．

针对训练：如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长．

考点三 直角三角形中有关的证明
例4、．已知：如图△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高．
求证：AB2-AC2=BC(BD-DC)．

针对训练：已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：AE2＋BF2＝EF2．

延伸训练：已知：如图，△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，D、E分别为斜边AB上的点，且∠DCE＝45°．求证：DE2＝AD2＋BE2．

考点四：与勾股定理有关的探索规律题
例5、如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，……，已知正方形AB－CD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，……，Sn(n为正整数)，那么第8个正方形的面积S8＝________，Sn＝__________．

针对训练：细心观察图，认真分析各式，然后解答同题：

(1)用含有(是正整数)的等式表示上述变化规律；
(2)推算出的长；
(3)求出的值.

考点五 勾股定理的实际应用
例6、小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先将旗
杆上的绳子接长一些，让它垂到地面还多1米，然后将绳子
下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部5米，
你能帮它计算一下旗杆的高度．

针对训练：如图，两个村子A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1千米，BD＝3千米，CD＝3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W．

总结提高：

三、上次作业讲评
四、课后作业
1．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是
A．13 B．26 C．47 D．94
2.如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°

3．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一5
20
15
10
C
A
B

只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（　　　）
A． B．25 C． D．

4．某楼梯的侧面视图如图4所示，其中米，
B
C
A
30°
，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为 ．
5．已知Rt△ABC的周长是，斜边上的中线长是2，则S△ABC＝_______
6．如图，等腰中，，是底边上的高，若A
C
D
B
6题
，则 cm． 7题
C
A
B
S1
S2

7．如图，已知在中，，，分别以，为直径作半圆，面积分别记为，，则+的值等于 ．
8.已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3,则图中阴影部分的面积为 ． 9题
20米
乙
C
B
A
甲
10米
？米
20米

8题
9．如图，甲、乙两楼相距20米，甲楼高20米，小明站在距甲楼10米的处目测得点 与甲、乙楼顶刚好在同一直线上，若小明的身高忽略不计，则乙楼的高度是 米．
10、长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m．
11． (2009年安顺)图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝6，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，
得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周
长（图乙中的实线）是______________。

12．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边_PQ上，那么APQR的周长等于 ．

13、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的平分线，AD＝20，求BC的长．

14．如图，△ABC中，∠C＝90°，
(1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形(如图①)，探究S1＋S2与S3的关系；
(2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形(如图②)，探究S1＋S2与S3的关系；
(3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图③)，探究S1＋S2与S3的关系．

图① 图② 图③

15、如图，已知△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜边BC的中点，F、F分别是 AB、AC边上的点，且DF⊥DF，若BE=12，CF=5，求△DEF的面积．

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