1、第六讲：利用导数证明不等式及导数应用题
一、证明不等式
1．当时,证明成立.
证：(1)变形:,这是对数函数的增量形式
令
(2)在应用拉格朗日中值定理:
(3)
故有 证毕！
2．证明:成立
证：(1)构造辅助函数,
令
(2)在应用拉格朗日定理:
(3) 对于 的情形,同理可证.
证毕
3．证明:当时,有成立.
证：(1) 构造辅助函数：
∴令
(2) 在应用拉格朗日中值定理,
(3) 是单调增函数
，故有,证毕
4．当时,证明成立.
证：(1)令
(2)
在单调减少
(3) 在单调减少,且
故当时,
2、 证毕
5．当时,证明成立.
证：(1)变形,
令
(2)
令
且
从而
在单调减少
(3)∵且=0
即有成立
6．当时,证明成立.
证：(1)变形，令
(2)
(一阶导数符号不易判定,借助)
=
单调增，且
单调增加
(3)在单调增,且
,
故有
证毕
7．当时,证明:成立.
解：(1)令
(2)
令,驻点
(3) ，为极小值点.
由单峰原理,是最小值点
最小值
故有,即
证毕
8．设,证明
成立.
证：(1)令
(2)
驻点
(3)
(4)比较上述函数值的大小:
故有,即
3、
证毕
9．证明:当时,有.
证：(1)令
(2)
,
在单调增加
(3)
由,得
从而有 证毕
二、证明方程根的个数
10．证明:当时,方程仅有一个实根.
证：(1)令
单调增,故最多有一个实根
(2)
是一元五次方程
至少有一个实根
(3)综上所述:有且只有一个实根. 证毕
11．证明方程只有一个正根.
证(1)
单调增
故最多有一实根
(2)在连续且
∴由零点定理知:
至少有一个正根.
（3）综上所述:只有一个正根
12．证明方程:
有且仅有两个实根.
解：(1)令
在连续且
4、
∴由零点定理知:
在至少有一个实根
同理:=0在至少有一实根
总之, =0在至少有两个实根
(2) =0是一元二次方程,最多有两个
实根．
(３)综上所述：=0有且仅有两个实根
13．设常数
证明方程,在内有且仅有两个正根.
证：(1)令 (x>0)
(2) ;令
驻点
<0,
为极大值点.
由单峰原理:是最大值点
最大值
且,
故与轴有且仅有两个交点
(如示意图)
即在有
且只有两个实根.
三、 应用题（每小题10分，共50分）
14．已知曲线.
（1）求曲线在横坐标为的点处的切线方程.
（2）求曲线的切线被两坐标轴所截线
5、段的最短长度.
解：(1)求切线方程:切点
切线方程:
即
(2)令
令
(3)
令
(4)
最小值
15．在半径为R的半径内作一个圆柱体,求最大体积时的底半径与高.
解：(1)画出示意图
(2)依题意,设所求圆柱体体积为V
(3)求驻点
,令,
,驻点
（4）求最值点:
,
为最大值点
答:当,时,所得圆柱体体积最大
16．某客轮每小时消耗燃料的费用速度的立方正比,若该客轮从甲城到已城沿江逆流而上,设水流速度为每小时公里,求客轮最经济的速度?
解：(1)列出函数关系式:设从甲城沿江到乙城的路程为.消耗总费用为.依题意:
,
6、其中是甲城到乙城所需要的时间
(2)求驻点:
令,驻点
(3)求最值:由实际问题的意义知道:
最小值存在,且驻点唯一,当时,
客轮消耗燃料总费用最省.
17．欲做一个容积是3000的无盖圆柱形的蓄水池,已知池底单位面积造价为池壁单位面积的3倍,问蓄水池的尺寸怎样设计,才能使总造价最低?
解：(1)列出函数关系式:设池底半径为,池高为,池壁单位面积造价为元,总造价为,依题意:
(2) 求驻点:
令,驻点
(3) 求最值:
,
当时,总造价最省.
(4) 当时,
答:当时,总造价最低.
18．从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形,把留下的中心角为取多大时,做成的漏斗的容积最大?
解：(1)列出函数关系式:设漏斗体积为V
依题意:,
,
(2) 求驻点
令=0.
,驻点
又
(3) 求最值
由实际问题意义知道:漏斗最大容积存在,且驻点唯一,当时,漏斗的容积最大.
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