西大2014概率论作业答案6次作业已整理.doc

西南大学2014年秋季学期概率论作业答案（6次作业,已整理）第一次作业1：判断题ABC”表示三事件A、B、C至少有一个发生。参考答案：正确2：判断题从一堆产品中任意抽出三件进行检查，事件A表示抽到的三个产品中合格品不少于2个”，事件B表示抽到的三个产品中废品不多于2个”，则事件A与B是互为对立的事件。参考答案：错误3：判断题已知：P(A)=0.2, P(B)=0.5,P(AB)=0.1,则P(AB)=0.6参考答案：正确4：判断题设A、B、C为三事件，若满足：P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则三事件A、B、C必然相互独立。参考答案：错误5：判断题每一个连续型随机变量均有方差存在。参考答案：错误6：判断题设X、Y是随机变量，若E(XY)=EXEY,则X与Y相互独立. 参考答案：错误7：判断题X为随机变量，a,b是不为零的常数，则E(aX+b)=aEX+b. 参考答案：正确8：判断题XN(3,4),则P(X3). 参考答案：正确9：判断题任意随机变量均存在数学期望。参考答案：错误10：判断题一批产品有10件正品，3件次品，现有放回的抽取，每次取一件，直到取得正品为止，假定每件产品被取到的机会相同，用随机变量表示取到正品时的抽取次数，则服从几何分布。参考答案：正确11：单选题设X是随机变量，且EX=DX,则X服从（）分布。A：二项B：泊松C：正态D：指数参考答案：B12：单选题（）是离散型随机变量的分布。A：正态分布B：指数分布C：均匀分布D：二项分布参考答案：D13：填空题一部五卷的文集，按任意次序放到书架上，则（1）第一卷及第五卷出现在旁边”的概率为 ；（2）第一卷出现在旁边”的概率为 。参考答案：(1)0.1 (2)0.414：填空题在某城市中，共发行三种报纸A、B、C。在这城市的居民中，订阅A报的占45%,订阅B报的占35%,订阅C报的占30%,同时订阅A报及B报的占10%,同时订阅A报及C报的占8%,同时订阅B报及C报的占5%,同时订阅A、B、C三种报纸的占3%，则（1）只订A报及B报的”概率为 ；（2）只订A报的”概率为 . 参考答案：(1)0.07,(2)0.315：论述题判断题：1设一口袋中有a只白球,b只黑球,从中取出三只球(不放回),则三只球依次为黑白黑的概率为. 【 】2.设服从的均匀分布，则的密度函数为。 【 】3.已知随机变量的联合分布、边际分布如下表则相互独立。 【 】参考答案：1、对 2、对 3、对第二次作业1：判断题X为随机变量，a,b是不为零的常数，则D(aX+b)=aDX+b.参考答案：错误2：判断题设X服从参数为的泊松分布，则D(2X+1)=2。参考答案：错误3：判断题随机向量（X,Y）服从二元正态分布，则X的边际分布为正态分布，Y的边际分布也为正态分布.参考答案：正确4：判断题若XB(3,0.2),YB(5,0.2),且X与Y相互独立，则X+YB(8,0.2).参考答案：正确5：判断题特征函数f ( t )具有性质：f ( 0 ) = 1。参考答案：正确6：单选题C为常数，则E(C)=( ).A：0B：1C：CD：不存在参考答案：C7：单选题若X服从泊松分布P(10),则EX=( ).A：10B：1C：100D：1/10参考答案：A8：单选题已知X在1，3上服从均匀分布，则X的方差DX=( ).A：2B：1C：3D：1/3参考答案：D9：填空题 填空题：1. 先抛掷一枚硬币，若出现正面（记为Z）,则再掷一颗骰子，试验停止；若出现反面（记为F），则再抛一次硬币，试验停止，则该试验的样本空间为 .2、设则 . 3. 设的概率密度为，则_;_. 4. 设X与Y为相互独立的随机变量,Y的密度函数为,则（1）E(X+Y)= ；（2）D(X-Y)= . 5.设随机变量X、Y、Z，已知E(X)=1,E(Y)=2,E(Z)=3,D(X)=9,D(Y)=4,D(Z)=1,则（1）E(X+Y+Z)= ；(2) D(X+Y+Z)= . 6. 设随机变量和的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，相关系数为-0.5，则_。7、抛两个骰子，则点数之和为6的概率为 .8、抛两个骰子，则点数之和不超过6的概率为 .9.一袋中有编号为0，1，2，9的球共10只，某人从中任取3只球，则（1）取到的球最小号码为5的概率为 ；（2）取到的球最大号码为5的概率为 。10、若A、B为二事件，则 。 11. 设随机事件A的概率为P(A)=0.5, 随机事件B的概率为P(B)=0.4，条件概率，则= 。12、最近来某房产公司的100为顾客中有一位顾客购买了该公司的一所房子，根据这个比例，在接下来到的50位顾客中恰好有一位购买该公司房子的概率是 。13. 设。14. 设二维离散型随机向量的可能取值为(0,0),(-1,1),(-1,2),(1,0)且取这些值的概率依次为1/6,1/3,1/12,5/12，则的边际分布列为 .15随机变量的特征函数为，则的特征函数=_.16. 掷硬币出现正面的概率为P，掷了n次，则至少出现一次正面的概率为 。17某公安局在长度为 的时间间隔内收到紧急呼救次数服从参数为的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计），则某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼叫的概率为 . 18.设二维随机向量的概率密度为则= . 19. 设随机变量的分布律为.则的特征函数 .参考答案：填空题：1. 23. -1/2 ； 1/12 4.（1） 5/8 ；（2） 49/192 . 5. （1） 6 ；(2) 19 . 6. 1/12 7. 5/3685/12 9.（1）（2）10 0.7 11. 0.8 12 0.3 13. 14. -101P5/122/125/1215. 16. 17 18. 19.第三次作业1：判断题A.B为任意二随机事件，则P(A-B)=P(A)-P(B). 参考答案：错误2：判断题对二项分布b ( k ; n , p ) = Cnkpk( 1- p )n- k, k = 0 , 1 , n，当k = n p时，概率值b ( k ; n , p )达到最大。参考答案：错误3：判断题X、Y相互独立，则X、Y必不相关. 参考答案：正确4：判断题设两个相互独立的随机变量、的方差分别是4和2，则D( 3- 2) = 44。参考答案：正确5：判断题cov(X,Y)=0等价于D(X+Y)=DX+DY.参考答案：正确6：判断题(,)（1，2；12，22； ），则 与 是相互独立的充分必要条件为 = 0。参考答案：正确7：判断题设k为两两不相关的随机变量序列，Dk +，且存在常数C，使得DkC,k=1,2,，则k服从大数定律。参考答案：正确8：判断题随机变量X服从二项分布b (n,p),当n充分大时，由中心极限定理，X近似服从正态分布N(np,np(1-p).参考答案：正确9：判断题相互独立的随机变量序列，如果具有有限的数学期望，则该序列服从大数定律。参考答案：错误10：判断题n个相互独立的随机变量之积的特征函数等于他们的特征函数之积.参考答案：错误11：判断题设随机变量的特征函数为f ( t )，且它有n阶矩存在，则当kn时，有ikf(k)(0) = Ek。参考答案：错误12：论述题 单选题（补充部分）1. 箱中有10个产品，其中2个次品，现从中任取3个产品，用A表示“取到的3个中恰有一个次品”，B表示“取到的3个中没有次品”，C表示“取到的3个都是次品”， D表示“取到的3个中次品数小于3”，则上述四个事件中为基本事件的是( ). (A) A (B) B (C) C (D) D2. 从6双不同的手套中任取4只，则取出的4只中恰有一双配对的概率为（ ）。(A) (B) (C) (D) 3. 两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟既可离去，则这两个人能会面的概率为（ ）. (A) 0 (B) (C) (D)14. ，( ).(A) (B)(C) (D)5. 设，则必有（ ）.(A) (B) (C) (D) 6.对事件A、B，下列说法正确的是（ ）.(A)若 A与B互不相容，则与也互不相容(B)若 A与B相容，则与也相容(C)若 A与B互不相容，则A与B相互独立(D)A与B相互独立，则与也相互独立7. 设事件、的概率均大于零，且与互为逆事件（或对立事件），则有（）. (A)与相互独立 (B)与互不相容 (C)与相等 (D)包含或包含 8. 已知随机变量X的分布函数为:则( ). (A) (B)(C). (D)1 9.下列函数可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（ ）.(A) (B) (C) (D)10.设随机变量的概率密度函数为 则随机变量的概率密度为（ ）.（A） (B) (C) (D)11.设随机变量的分布函数为则其中常数为（ ）.(A) A=1,B= -1 (B) A= -1,B=1 (C) A=1,B=1 (D) A=-1,B=-112对于任意两个随机变量与，下面（ ）说法与协方差不等价。(A) 相关系数 (B) (C) (D) 与相互独立13、设二维随机向量的概率密度为则（ ）.(A) (B) (C) (D) 14袋中装有1，2，N号球各一只，现从中不放回的摸球，则第k次摸球时首次摸到1号球的概率为（ ）.(A) (B) (C) (D) 15设随机变量 x 服从参数为 l 的泊松分布，则Ex2 =（ ）.A lB l2C l2l D l2l16下列函数中，( )可以作为连续型随机变量的分布函数.(A). (B) (C) (D)17.下面是几个随机变量的概率分布，其中期望不存在的为（ ）.(A) . (B).(C) . (D)18. 设随机变量X的概率密度为且，则（ ）.（A）k=2,b=1 （B）k=1,b=2(C) k=1,b=1 (D) k=2,b=219. 设随机变量XB(n,p),且E(X+1)= 6,D(X+1)= 4,则n = ( ).(A)20； (B)25； (C)10； (D)50.20. 设随机变量XN(),且EX=3,EX2=10,则P(-1X1)= ( ).(A)； (B)；(C)； (D).21.设随机变量X服从二项分布 ,由切比雪夫不等式有 ( ).(A) (B)(C) . (D) 22已知二维随机变量的联合分布律为-101 00010则( ).(A) 与相互独立、不相关 (B) 与不相互独立且相关(C) 与相互独立且相关 (D) 与不相互独立、不相关23. 设X、Y为相互独立的随机变量，且,则E(X-Y),D(X-Y)分别为（ ）.(A)-1，7； (B)-1，25；(C)1，7； (D)1，25。24. 设随机变量服从两点分布，其分布律为X01Pqp其中则的特征函数为（ ）.(A) (B)(C) (D)25设两个相互独立的随机变量、 ，,则（ ）.(A) (B) (C) (D) 26.设随机变量序列，对应的分布函数列为，特征函数列为，随机变量对应的分布函数为，特征函数为，则下面不成立的为（ ）.（A）若，则 (B) 若，则 (C) 若，则(D) 若，则27. 设连续型随机变量的概率密度函数为 则a =（ ） . (A)2； (B)4； (C)6； (D)8.28. 设随机变量X的概率密度为且，则（ ）.(A) k= 2 ，b= 1 ；(B) k= 1 ，b= 2；(C) k= 2 ，b= 2；(D) k= 1 ，b= 1.29. 设随机变量X的分布列为则常数C( ).(A)1； (B)2； (C)4； (D)5.30、在半径为R的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，即交点在直径上一个区间内的可能性与这个区间的长度成比例，则任意画弦的长度大于R的概率为（ ）。(A)0； (B)1/2； (C) ； (D)1参考答案：1.B 2.B 3.C 4.A 5.A 6.D 7.B 8.C 9.D 10.C11.B 12.D 13.D 14.A 15.C 16.B 17.B 18.A 19.B 20 B21.B 22.D 23.B 24.A 25.D 26.D 27.D 28.A 29.C 30.C第四次作业计算题：1.在长度为的线段内任取两点将其分为三段，求此三线段能构成三角形的概率。2.设随机变量的分布密度为 试求（1）函数；（2） 落在内的概率；（3） 的分布函数。3.设随机变量的分布函数为 ，求（1） ；（ 2） 。4. 将3个球随机地放入4个杯子中去，设表示杯子中球的最大个数，求（1）的分布律；（2）E；(3) 的特征函数.5.设连续型随机变量X的分布函数为：(1)确定常数A及P(-1x1/2)(2) 求Y=2X的分布函数及密度函数. 6.设随机变量的概率密度函数为，求（1）常数；（2）概率；（3）的密度函数。7.从1，2，3，4中随机取一数记为，再从1，2，中任取一数记为，求的联合分布列及概率。8.若的密度函数为试求：（1）常数；（2）；（3）的边际分布；（4）；（5）。9.设的联合密度函数为，求（1）的边际密度函数，的边际密度函数，并说明与是否独立？（2）条件密度函数.10.设在平面上以原点为心1为半径的圆内服从均匀分布，（1）求的联合密度函数；（2）是否相互独立？为什么？(3)求的协方差.【答案】计算题解答概要：1.在长度为的线段内任取两点将其分为三段，求此三线段能构成三角形的概率。解：设分别表示其中二条线段的长度，第三条线段的长度为，则，又设=“三条线段能构成一个三角形”=,的面积为， 则所求概率为。 2.设随机变量的分布密度为 试求（1）函数；（2） 落在内的概率；（3） 的分布函数。解： （1） 解得 ； （2）由（1）知， （3） 3.设随机变量的分布函数为 ，求（1） ；（ 2） 。解：（1）因为分布函数，故应满足分布函数的三个性质。由 解得 （2）由（1）知 。4. 将3个球随机地放入4个杯子中去，设表示杯子中球的最大个数，求（1）的分布律；（2）E；(3) 的特征函数.解：（1）可求得123P6/169/161/16 （2）可求得E=.=。 (3) 的特征函数为 5.设连续型随机变量X的分布函数为：(1)确定常数A及P(-1x1/2)(2) 求Y=2X的分布函数及密度函数. 解：(1)因是连续型随机变量X的分布函数，所以在1处连续故 F（1）= F（1+0）= F（10） 可得A=1 (2) Y的分布函数为 Y的密度函数为 6.设随机变量的概率密度函数为，求（1）常数；（2）概率；（3）的密度函数。解：（1）可求得常数=2 . （2）； （3）故 7.从1，2，3，4中随机取一数记为，再从1，2，中任取一数记为，求的联合分布列及概率。解：取值为1，2，3，4，取值为1，2，3，4，则同理有故所求联合分布律为123411/400021/81/80031/121/121/12041/161/161/161/16 从而 =25/48. 8.若的密度函数为试求：（1）常数；（2）；（3）的边际分布；（4）；（5）。解：（1）解得 （2）（3）（4）（5） 当时，9.设的联合密度函数为，求（1）的边际密度函数，的边际密度函数，并说明与是否独立？（2）条件密度函数.解：（1）可求得，；因为，故与不独立。 （2）当时，。 10.设在平面上以原点为心1为半径的圆内服从均匀分布，（1）求的联合密度函数；（2）是否相互独立？为什么？(3)求的协方差.解：（1）联合密度函数为 （2）， 故不相互独立。 （3），故. 第五次作业应用题1. 甲、乙两市都位于长江的下游，根据上百年来的气象记录知，一年中甲市雨天的概率为0.2，乙市雨天的概率为0.14，两地同时下雨的概率为0.12，求：（1）两市至少有一市下雨的概率；（2）两市都不下雨的概率。（3）已知甲市下雨的情况下，乙市下雨的概率；（4）仅有乙市下雨的概率。2. 假设某地区位于甲、乙两河流交汇处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾，设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1，乙河流泛滥的概率为0.2，当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，求：(1)该时期内这个地区遭受水灾的概率；(2)当乙河流泛滥时，甲河流泛滥的概率;(3) 该时期内只有甲河流泛滥的概率。 。 3发报台分别以0.7和0.3的概率发出信号0和1，由于通信系统受到干扰，当发出信号0时，收报台分别以0.8和0.2的概率收到信号0和1；又当发出信号1时，收报台分别以0.9及0.1的概率收到信号1和0。求收报台收到信号0，此时原发信号也是0的概率. 4炮战中，在距目标250米，200米，150米处射击的概率分别为0.1、0.7、0.2,而在各处射击时命中目标的概率分别为0.05、0.1、0.2,（1）求目标被击毁的概率；（2）现在已知目标被击毁，求击毁目标的炮弹是由距目标250米处射出的概率。5. 已知产品中96是合格品，现有一种简化的检验方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98，而误认废品为合格品的概率为0.05，求：(1) 产品以简化法检验为合格品的概率；（2）以简化方法检验为合格品的一个产品确实为合格品的概率。 6.一个机床有的时间加工零件A,其余时间加工零件B，加工零件A时，停机的概率为0.3,加工零件B时，停机的概率为0.4,求这个机床停机的概率。7.公共汽车车门高度是按男子与车门顶碰头的机会在0.01以下来设计的。设男子身高服从（单位：cm），试确定车门的高度。8.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（以分计）服从指数分布其概率密度函数为某顾客在窗口等待服务，若超过十分钟他就离开，他一个月要到银行五次，以表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，（1）求概率；（2）求的数学期望9.某机器生产的螺栓长度（单位：cm）服从正态分布，规定长度在范围内为合格，求一螺栓不合格的概率。10 .某计算机系统有120个终端，每个终端有5%时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试求有10个或更多终端在使用的概率。【答案】应用题答题要点：1. 甲、乙两市都位于长江的下游，根据上百年来的气象记录知，一年中甲市雨天的概率为0.2，乙市雨天的概率为0.14，两地同时下雨的概率为0.12，求：（1）两市至少有一市下雨的概率；（2）两市都不下雨的概率。（3）已知甲市下雨的情况下，乙市下雨的概率；（4）仅有乙市下雨的概率。解：设A=“甲市下雨”，B=“乙市下雨”（1）（2）（3）（4）2. 假设某地区位于甲、乙两河流交汇处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾，设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1，乙河流泛滥的概率为0.2，当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，求：(1)该时期内这个地区遭受水灾的概率；(2)当乙河流泛滥时，甲河流泛滥的概率;(3) 该时期内只有甲河流泛滥的概率。 。 解：设A:表示“甲河泛滥”，B:表示“乙河泛滥”，（1）（2）(3) 3发报台分别以0.7和0.3的概率发出信号0和1，由于通信系统受到干扰，当发出信号0时，收报台分别以0.8和0.2的概率收到信号0和1；又当发出信号1时，收报台分别以0.9及0.1的概率收到信号1和0。求收报台收到信号0，此时原发信号也是0的概率. 解：,所求概率为 4炮战中，在距目标250米，200米，150米处射击的概率分别为0.1、0.7、0.2,而在各处射击时命中目标的概率分别为0.05、0.1、0.2,（1）求目标被击毁的概率；（2）现在已知目标被击毁，求击毁目标的炮弹是由距目标250米处射出的概率。解：设A表示“目标被击中”，表示“炮弹距目标250米射出”，表示“炮弹距目标200米射出”，表示“炮弹距目标150米射出”，（1） （2）=0.043 5. 已知产品中96是合格品，现有一种简化的检验方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98，而误认废品为合格品的概率为0.05，求：(1) 产品以简化法检验为合格品的概率；（2）以简化方法检验为合格品的一个产品确实为合格品的概率。解：设A=“产品为合格品”，B=“简化法检验为合格品”（1） （2） 6.一个机床有的时间加工零件A,其余时间加工零件B，加工零件A时，停机的概率为0.3,加工零件B时，停机的概率为0.4,求这个机床停机的概率。解：设A表示“机床加工零件A”， B表示“机床加工零件B”， C表示“机床停机”，则有全概率公式知。 7.公共汽车车门高度是按男子与车门顶碰头的机会在0.01以下来设计的。设男子身高服从（单位：cm），试确定车门的高度。解：设车门的高度为cm。表示男子的身高。由题意 从而有 查表得 解得 故取为184cm即可。 8.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（以分计）服从指数分布其概率密度函数为某顾客在窗口等待服务，若超过十分钟他就离开，他一个月要到银行五次，以表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，（1）求概率；（2）求的数学期望解：（1）， 故 （2） 9.某机器生产的螺栓长度（单位：cm）服从正态分布，规定长度在范围内为合格，求一螺栓不合格的概率。解：螺栓不合格的概率为10 .某计算机系统有120个终端，每个终端有5%时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试求有10个或更多终端在使用的概率。解：设随机变量表示在某时刻同时使用的终端数，由题意知 由棣莫弗拉普拉斯中心极限定理，所求概率为即有10个或更多终端在使用的概率为0.047。 第六次作业证明题：1.设A、B为两个随机事件，且，证明：若，则A与B相互独立。 2.若随机事件A与B互斥，且，证明：3.设A、B、C三事件相互独立，证明：与C相互独立。 4、设二维随机向量的联合密度为证明：与相互独立。 5.设为非负随机变量，且E（为常数）。证明：当时，有。（）。6. 设是独立随机变量，且，证明。 7.设的联合密度函数为证明与不相互独立、但同分布。8. 设为相互独立的随机变量序列，且服从参数为的泊松分布，证明服从大数定律。 9.设是独立随机变量序列,且证明服从大数定律。10.设随机变量序列独立同分布，数学期望、方差均存在，且，证明： . 【答案】证明题答案：1.设A、B为两个随机事件，且，证明：若，则A与B相互独立。证明: 即有由定义知A与B相互独立。 2.若随机事件A与B互斥，且，证明：证明：由A与B互斥，从而 3.设A、B、C三事件相互独立，证明：与C相互独立。证明: 由定义知与C相互独立。 4、设二维随机向量的联合密度为证明：与相互独立。解：易求得， 从而对所有的，均有故与是相互独立的。 5.设为非负随机变量，且E（为常数）。证明：当时，有，（）。证明：设的分布函数为，故 。6. 设是独立随机变量，且，证明证明： 故 7.设的联合密度函数为证明与不相互独立、但同分布。解：设对从而 故不独立但同分布，即与不独立、同分布。 8. 设为相互独立的随机变量序列，且服从参数为的泊松分布，证明服从大数定律。解：由已知， 由马尔科夫大数定理知结论成立。 9.设是独立随机变量序列,且证明服从大数定律. 证明： 故满足马尔可夫条件,从而服从大数定律. 10.设随机变量序列独立同分布，数学期望、方差均存在，且，证明： .证明：设的特征函数为，由性质知：，故 ，故，从而。