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均匀传输线的分布参数计算
0 引言
传输线作为一种输送能量和传递信号的装置，由于其应用十分广泛而成为了很有意义的研究对象。在长距离输电线路、远距离通信线路、高频测量线路、计算机信号传输以及高速数控系统中均应该考虑线路参数的分布性。[1]
均匀传输线模型是电路、电磁场理论中重要而又简单的简化模型。典型的均匀传输线是由在均匀媒质中放置的两根平行直导线构成的。常见的有平行双板、同轴线、和平行双线等。当然，实际中并不存在真实的均匀线，架空线的支架、导线自身的重力都会使传输线不均匀。为了简化问题，需要忽略这些次要因素。
以平行双线为例。假设传输线是均匀的，即两导体间的距离、截面形状以及介质的电磁特性沿着整个长线保持不变，单位长度的线路电阻和电感分别为和，单位长度的线间电容和电导分别为和，如图1所示。传输线最左端为起点，即，选取距平行双线起点为的一小段进行研究。虽然传输线本质上是一个分布参数系统，但可以采用一个长度为的集中参数模型来描述。显然，越小就越接近传输线的实际情况 当时，该模型就逼近真实的分布参数系统。[2]
图1 有损均匀传输线及其等效模型

根据基尔霍夫定律，可以得到电报方程，它是均匀传输线上关于电压、电流的偏微分方程组。

方程表明，电流在传输线上连续分布的电阻中引起电压降，并在导线周围产生磁场，即沿线有电感的存在，变化的电流沿线产生电感电压降，所以，导线间的电压连续变化；又由于导线间存在电容，导线间存在电容电流，导线间的非理想电介质存在漏电导，所以还有电导电流，所以沿线的电流也连续变化。
均匀传输线方程是一组常系数线性偏微分方程，在给定的初始条件和边界条件下，可以唯一地确定和。
从方程可以知道，给定初始条件和边界条件时，影响电学量的因素就是分布参数、、、。
利用电磁场理论，我们可以根据传输线的位置、尺寸、形状、材料等参数求出这几个分布参数。下面以圆柱平行双线为例，说明计算分布参数的方法。其他常见的几种传输线，比如平行双板、同轴线的计算类似。
1 模型说明
仅考虑低频时参数的计算。
(1) 导体媒质的电导率很高。传输线常用的材料是铝合金，铝的电导率是3.82×107（S/m），远大于磁导率和介电常数。跟据欧姆定律（γ是电导率），电流在百安及千安级别时，导线中的电场强度极小，可以忽略。
(2) 两导线间距远小于电磁波波长，即。工频供电时，电磁波波长为6000km，一般的输电线路都满足这个要求。在这种情形下，可以忽略推迟效应。
(3) 导线的材料、导线周围介质均为线性、均匀、各向同性的物质。
z

图2 平行双线示意图

平行双线的结构如图2所示。由于导线中只有轴向电流，可知磁矢位只有轴向分量，由可得；由于忽略了导线内部电场，根据电场强度在切线方向连续，可知。所以，传输线周围的电磁波只有横向分量，导线所导引的电磁波近似为TEM波（横电磁波）。导线及周围介质中的场分布可以视为平行平面场。同时，由于可以忽略导线内部的电场，可以将导线视为等电位体，导线表面是等位面。
接下来，首先计算电容、电导和电感，这三者的计算有一定共性，因为它们三个参数主要依赖于导体外介质的电磁性质，可以借由静态场的分析来处理。而分布电阻由于涉及到场和导体媒质的相互作用，计算相对复杂一些。

2 分布电容的计算
根据前文的叙述，可以知道，传输线间电容的计算可以按照静电场的方式进行。
图3 镜像法计算导线电位差示意图
在静电场中，由于两平行长直导线之间存在静电感应，导致导体表面的电荷分布不均匀，所以不能直接计算导线之间的电位差，必须利用镜像法。

如图3，导体外介质的介电常数为ε，对导体外部的电场，可以设想将两圆柱导体撤去，其表面电荷效应代之以两根长的带电细线，图中相距2b的两根电荷线密度分别为 +p和-p。
文献[3]中给出了镜像带电细线位置的计算过程。两镜像带电细线的位置满足
，
所以两导线之间的电位差为
，
则两导线间单位长度的电容为
（2.1）
其中，
这是两平行圆柱导线间单位长度电容的准确解。在实际中，导线的半径往往远小于导线间距，即，于是，

（2.2）
式（2.2）是常用的计算公式，但当不能忽略导线间的相互作用时，应当利用（2.1）式计算。

3 分布电导和电感的计算
在恒定场中，根据电导和电容的定义式：

可得公式，需要注意的是这里的ε和γ都是指导体外介质的电磁特性，故只能用来计算漏电导，不能计算电阻。
在计算电容时，考虑到传输线线所导引的电磁波近似为TEM波，导线及周围介质中的场分布为平行平面场，所以利用静电场的方式计算电容。同理，电导的计算也可以按照恒定电场的方式进行。
于是，由，可知
，
类似的，在时，由于，有
。
下面讨论电感的计算。
在多数文献里，计算二线传输线的分布电感（自感）时，都采用定义式

其中Ψ是磁链，I是和磁链交链的电流，在考虑导线半径时，需要区分内自感和外自感。
例如文献[3]中，当图2所示的平行双线通有恒定电流时，得到的电感值为（）。
事实上，这种方法没有考虑两导线的相互作用，所以在计算时按照电流均匀分布进行的，当然，在时，所得到的结果是足够准确地。
如果考虑两导线间的相互作用，那么还需要利用对电流的镜像法，这比较复杂，通过对传输线电磁场分布的分析，可以得到下面一个简单的方法，在一些文献，例如[4]、[5]中有介绍。
根据麦克斯韦方程组，可以推导出无源区导电媒质内的平面波。根据前文对传输线的描述，电磁波的传播方向为+z。
在谐变场的条件下，可得到场量满足的波动方程

其中， （3.1）
k称为传播常数。
注意到正弦激励下传输线方程（电报方程）的形式

其中，，称为传播常数。
可以发现传输线方程和平面电磁波方程形式相同，而相同的方程对应的解的形式也必然相同，显然，两个传播系数所代表的物理意义也是统一的。
按照前文的叙述，由于导线电导率很大，同时忽略了导体内部电场，所以这里的分布电阻和传播常数相比可以忽略。
于是，传输线的传播系数可化为
（3.2）
对比（3.1）3.2）两式，由于，可知
。
根据前文电容的计算值，可以得到分布电感的值为

于是，在时，由于，有
，
这和直接利用电感定义式所计算的近似结果是一致的，可以互相印证。
可以注意到电容、电导和电感在形式上有一致性，这是三者都依赖于导线外空间的电磁性质，以及无源区电场和磁场的对称性所决定的。在低频情况下，可认为这三者和电学量没有关系。
文献[5]中，利用静态时电场和磁场的相互关系，推导了平行平面场情形下电容和电感满足关系。这两种分析方法有所不同，利用电磁波的传播系数对比的方法，更能显示传输线作为导波系统，对电磁波的引导作用，但是，所必须的是忽略分布电阻对空间电磁场的影响。而利用静态场引出等式，但是其物理意义不如前者明显。当然，这两种方法都做了不同的近似。
4 分布电阻的计算
电阻的存在使得电源必须向其提供电压，以使得电流能够维持持续的流动。而电阻本身会产生热损耗，以焦耳定律表示。于是电阻有两种计算方式，一是根据
，
其中γ是导线电导率；二是根据焦耳定律，来计算。
先考虑直流稳态时的情形。对于直流电路，有熟知的公式，其中ρ是电阻率。对直流稳态而言，如果忽略两导线间的相互影响，则均匀传输线只是延长了线路，而不影响电学量的分布，故在直流稳态时分布电阻仍应按照此公式进行 ，即
。
对于交流电路，电阻的计算十分复杂。首先，导体媒质内电磁波的传播规律不同于理想介质，电磁波的波速和波长较介质会减小许多，甚至可能出现波长与导线半径同一数量级的情况。而且，磁场和电场会产生相位差，对应于电路理论就是复数电阻，电阻部分会产生损耗，而电抗部分对应无功分量。同时，由于存在趋肤效应，场量是矢径的函数。
为了简化问题，下面仅考虑一种情况。对于正弦稳态电路，场量按正弦规律变化。假设电流仅在导线表面一薄层内均匀流动，薄层的厚度取趋肤效应的透入深度

这个值是通过解良导体（）中的波动方程，并认为数值减少至最大值的得到的。直接利用波动方程的解析解求交流电阻的方法，文献[6]有所介绍。
根据上面的假设，交流电路使得电流所分布的截面面积减少而增大电阻，所以，有
，
乘2是由于考虑到平行双线，下标c是为了说明是导体的电导率和磁导率。

5 结论
根据前文的计算，可将平行双线的四个分布参数列于下表1。这些是一般文献中可以查到的公式。

表1 分布参数的表达式
常数
公式
近似公式

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参考文献
[1] 孙韬.传输线方程解析解的研究,2005.
[2] 王小艳.一般有损均匀传输线中电流电压的瞬态过程分析[J].2008.
[3] 冯慈璋,马西奎.工程电磁场导论.北京:高等教育出版社[M].2000.
[4] David K.Cheng.电磁场与电磁波.北京:清华大学出版社[M].2007.
[5] 冯慈璋.电磁场. 北京:高等教育出版社[M].1983.
[6] 张小林,徐精华.信号传输线趋肤效应的分析[J].大学物理,2009(7):10-12.