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高考圈题（新课标I数学理）
题组８ 随机变量与统计
一、考法解法
(一)命题特点分析
1、考查简单随机抽样的基本方法与用样本估计总体的思想：①抽样方法及抽样中的计算，以分层抽样为主；②频率分布直方图的识读与计算；③茎叶图的识读与计算；④样本数字特征的计算.
2、考查变量的相关性与统计案例：主要考查基础知识和简单应用.
3、考查随机变量及其分布：①离散型随机变量的分布列、期望与方差.②几种常见的
分布（超几何分布、二项分布、正态分布等）.这一部分是高考的重点必考内容，一般要命制一个大题.
(二)解题方法荟萃
1、统计知识的复习重点应放在理清基本概念、方法上，特别是分层抽样、频率分布直方图与样本的平均数、样本的方差等基础知识一定要熟练掌握.
2、离散型随机变量及其分布列是高考必考内容，应将每一种概率分布和条件概率的特
点弄清楚，能熟练地将实际问题转化为概率问题.
二、真题剖析
1、（2015•新课标I卷理科）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）
A. 0.648 B. 0.432 C.0.36 D.0.312
答案：A
解析：
点评：本题主要考查独立重复试验中概率的求法，属于常见题型，较简单.独立重复试验是在相同条件下各次之间相互独立地进行的一种试验；每次试验只有“成功”或“失败”两种可能结果；每次试验“成功”的概率都p，“失败”的概率为1-p.
2、（2015•新课标I卷理科）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值，

46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中。
（Ⅰ）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润与的关系为，根据（Ⅱ）的结果回答下列问题；
（i）年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii）年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据，其回归直线的余率和减距的最小二乘估计分别为
。
解析：（Ⅰ）由散点图可以判断，适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型.
（Ⅱ）令w=，先建立y关于w的线性回归方程，由于
，
，所以关于的回归方程为，
因此关于的回归方程为
（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y的预报值，
年利润z的预报值
（ii）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值

所以当，即x=46.24时，取得最大值，故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.
点评：本题综合考查函数的应用、散点图、回归方程以及根据回归方程进行预报等统计知识，符合概率与统计的基本思想：数据的收集与整理→数据的分析与处理→根据结论做出判断.题目有一定的难度，属中档题.
3、（2013•新课标I卷理科）为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中
抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有
较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )
A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样
C．按学段分层抽样 D．系统抽样
答案：C
解析：因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选C.
点评：本题主要考查抽样方法的特点及适用情况，由于学生视力男女差异不大，但小初高学生视力差异较大，故应按学段进行分层抽样.题目比较简单，属容易题.
4、（2014•新课标I卷理科）从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

(I)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（II）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
(i)利用该正态分布，求；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值
位于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求.
附：≈12.2.
若～，则=0.6826，=0.9544.
解析：(I) 抽取产品质量指标值的样本平均数和样本方差分别为

（II）（ⅰ）由(I)知～，从而
.
（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826
依题意知∽，所以.
点评：本题信息量很大，包含抽样、频率分布直方图、样本均值与方差、正态分布、数学期
望等，但只是考查的层次不是很深刻，只要掌握基本概念和公式即可轻松应对.
5、（2012•新课标I卷理科）某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.
（1）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量
（单位：枝，）的函数解析式.
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
（i）若花店一天购进枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列，
数学期望及方差；
（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？
请说明理由.
解析:（1）当时，;
当时，.
得：
（2）（i）可取，，.

的分布列为

（ii）购进17枝时，当天的利润为

因为，所以花店每天应购进17枝玫瑰花.
点评：本题综合考查分段函数、随机变量的分布列、期望、方差等知识， 在此基础上进行实际的应用.符合概率与统计的基本思想：数据的收集与整理→数据的分析与处理→根据结论做出判断.题目有一定的难度，属中档题.

三、高考圈题
1、将参加夏令营的500名学生分别编号为001，002，…，500，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到350在第二营区，从351到500在第三营区．若采用分层抽样的方法抽取一个容量50的样本，则三个营区被抽取的人数分别为( )
A．20，15，15 B．20，16，14
C．12，14，16 D．21，15，14
圈题理由：高考对抽样方法的考查主要集中在分层抽样和系统抽样上.本题比较简单，属容易题.
答案：A
解析：根据分层抽样是按比例抽取的特点，可知三个营区分别应抽取的人数为20，15，15.
2、为了解今年某校高三毕业班报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3组的频率之比为1：2：3， 其中第2组的频数为12.
（I）求该校报考飞行员的总人数；
（II 以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望.
圈题理由：本题把概率和统计的相关知识有机地结合起来，既有统计中的计算，又有分布列和数学期望的考查，符合高考考查的特点.
解析:（I）设报考飞行员的人数为,前三小组的频率分别为，则由条件可得：

解得，
又因为故.
(II)由（I）可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为

，
∴随机变量X的分布列为：

P

则，或．
3、如图所示是2014年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统
计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为( )

A．85，84 B．84，85 C．86，84 D．84，86
圈题理由：茎叶图是数据统计中常用的一种统计图表，高考中对茎叶图的考查也比较频繁，
属于高频考点.
答案：A
解析：由题意可知，所剩数据的平均数为＝85，众数为84.

四、分层训练
1、从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．

答案：0.030 3
解析：由所有小矩形面积为1不难得到a＝0.030，而三组身高区间的人数比为3：2：1，由分层抽样的原理不难得到[140,150]区间内的人数为3人．
2、如图是根据某校10位高一同学的身高(单位：cm)画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，从图中可以得到这10位同学身高的中位数是( )

A．161 cm B．162 cm C．163 cm D．164 cm
答案：B
解析：通过茎叶图可知这10位同学的身高是155 cm，155 cm，157 cm,158 cm,161 cm,163 cm,163 cm,165 cm,171 cm,172 cm.这10个数据的中位数是将这些数据从小到大(或从大到小)排列后中间两个数据的平均数，即为161 cm和163 cm这两个数据的平均数，所以应选B.

3、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )

A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，10
答案：A
解析：本题考查统计图表的实际应用．根据图题中的图知该地区中小学生一共有10 000人，由于抽取2%的学生，所以样本容量是10 000×2%＝200.由于高中生占了50%，所以高中生近视的人数为2000×2%×50%＝20.
4、由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以“x，y”代替)，其表如下：
X
1
2
3
4
5
6
P
0.20
0.10
0.x5
0.10
0.1y
0.20
则丢失的两个数据依次为________．

答案：2和5
解析：由于0.20＋0.10＋0.x5＋0.10＋0.1y＋0.20＝1，得0.x5＋0.1y＝0.40，于是两个数据分别为2和5.
5、如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1、a2，则一定有( )
A．a1>a2 B．a2>a1 C．a1＝a2 D．a1，a2的大小与m的值有关
答案：B
解析：去掉一个最高分和一个最低分后，甲选手叶上的数字之和是20，乙选手叶上的数字之和是25，故a2>a1.故选B.
6、假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：

(1)估计甲品牌产品寿命小于200h的概率；
(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200h，试估计该产品是甲品牌的概率．
解析：(1)甲品牌产品寿命小于200h的频率为＝，用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于200h的概率为.
(2)根据抽样结果，寿命大于200h的产品有75＋70＝145个，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大于200h的产品是甲品牌的频率为＝，
用频率估计概率，所以已使用了200h的该产品是甲品牌的概率为.
7、某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其物理成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：
(1)求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)统计方法中，同一组数据用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试中的平均分．

解析：(1)设分数在[70,80)内的频率为x，根据频率分布直方图，有(0.010＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＋x＝1，可得x＝0.3，所以频率分布直方图如图所示．

(2)平均分为：x＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71(分)．
8、甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车.经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按续驶里程数R（单位：公里）可分为三类车型，A：80≤R＜150，B：150≤R＜250， C：R≥250．甲从A，B，C三类车型中挑选，乙从B，C两类车型中挑选，甲、乙二人选择各类车型的概率如下表：

若甲、乙都选C类车型的概率为.
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）求甲、乙选择不同车型的概率；
（Ⅲ）某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如下表：
车型
A

B
C
补贴金额（万元/辆）
3
4
5
记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为X，求X的分布列．
解析：（Ⅰ）因为,所以，．
（Ⅱ）设“甲、乙选择不同车型”为事件A，则．
所以甲、乙选择不同车型的概率是．
（Ⅲ）X可能取值为7，8，9，10．
， ，
； ．
所以X的分布列为：
X
7
8
9
10
P

9、一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图．

将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．
解析：(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另1天销售量低于50个”．因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，
P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.
(2)X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为
P(X＝0)＝C·(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C·0.6(1－0.6)2＝0.288，
P(X＝2)＝C·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C·0.63＝0.216.
X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
因为X～B(3，0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.
10、某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量(件)
0
1
2
3
频数
1
5
9
5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．
(1)求当天商店不进货的概率；
(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望．
解析：(1)P(“当天商店不进货”)＝P(“当天商品销售量为0件”)＋P(“当天商品销售量为1件”)＝＋＝.
(2)由题意知，X的可能取值为2,3.
P(X＝2)＝P(“当天商品销售量为1件”)＝＝；
P(X＝3)＝P(“当天商品销售量为0件”)＋P(“当天商品的销售量为2件”)＋P(“当天商品销售量为3件”)＝＋＋＝.
故X的分布列为
X
2
3
P

X的数学期望为EX＝2×＋3×＝.