坐标正算反算公式讲解.doc

一 方位角：
在高斯直角坐标系中，由坐标纵轴方向的北端起，顺时针量到直线间的夹角，称为该直线的坐标方位角，常简称方位角，用a表示。
1、第一象限的方位角

图1

2、第二象限的方位角

图2

3、第三象限的方位角

图3

4、第四象限的方位角

图4
方位角计算公式：

方位角的计算器计算程序：Pol(XA-XO,YA-YO)
直线OA方位角度值赋予给计算器的字母J，0≤J＜360。
直线段OA的距离值赋予给计算器的字母I,I＞0
直线OA与直线AO的方位角关系：
1、 当直线OA的方位角≤180°时，其反方位角等于a+180°。
2、 当直线OA的方位角＞180°时，其反方位角等于a-180°。
二 方位角的推算
（一）几个基本公式
1、坐标方位角的推算

或：
注意：若计算出的方位角>360°，则减去360°；若为负值，则加上360°。
例题:方位角的推算
已知：α12=30°，各观测角β如图，求各边坐标方位角α23、α34、α45、α51。

图5

解： α23= α12-β2+180°=30°-130°+180°=80°
α34= α23-β3+180°=80°-65°+180°=195°
α45=α34-β4+180°=195°-128°+180°=247°
α51=α45-β5+180°=247°-122°+180°=305°
α12=α51-β1+180°=305°-95°+180°=30°（检查）

三 坐标正算
一、 直线段的坐标计算

图6

设起点O的坐标（XO,YO）,直线OP的方位角为Fop，求A、C、E点的坐标
1、 设直线段OA长度为L,则A点坐标为
XA=XO+L×Cos(Fop)
YA=YO+L×Sin(Fop)
2、 设直线段OB长度为LOB,直线段BC长度为LBC,则C点坐标为
XB=XO+LOB×Cos(Fop)
YB=YO+LOB×Sin(Fop)
直线BC的方位角FBC=Fop+a
IF FBC＞360°:Then FBC-360°→FBC:IfEnd
XC=XB+LBC×Cos(FBC)
YC=YB+LBC×Sin(FBC)
3、设直线段OD长度为LOD,直线段DE长度为LDE,则E点坐标为
XD=XO+LOD×Cos(Fop)
YD=YO+LOD×Sin(Fop)
直线DE的方位角FDE=Fop-a
IF FDE＜0°:Then FDE+360°→FDE:IfEnd
XE=XD+LDE×Cos(FDE)
YE=YD+LDE×Sin(FDE)
二、 缓和曲线段的坐标计算

设完整缓和曲线起点O的坐标为O（XO,YO）,方位角为F，曲线长度为LS,曲线上任一点的曲线长度为L,
当线路右转时直线CP的方位角Fcp=F+90°
IF Fcp＞360°:Then F cp-360°→Fcp:IfEnd
当线路左转时直线CP的方位角Fcp=F-90°
IF Fcp＜0°:Then Fcp+360°→Fcp:IfEnd

XP=XO+Abs(xO) ×Cos(F)+Abs(yO) ×COS(FCP)
YP=YO+Abs(xO) ×Sin(F)+Abs(yO) ×Sin(FCP)
三、 圆曲线段的坐标计算
圆曲线的已知点数据为起点S的桩号Ks、走向方位角αs、起点S坐标为（Xo,Yo）、圆曲线半径为R与曲线长为L。设半径为R的圆曲线中线上任意点j的桩号为Kj,求Zj点的坐标？
图8

解：
弦长sj的弦切角与弦长为
弦切角 θsj=(Lj/(2R))×(180°/π)=(90°×Lj)/( πr)
弦长Csj=2Rsin(θsj)
则 弦长sj的方位角为αsj=αs±θsj
圆曲线上任意j点的方位角为αj=αs±2θsj
求得圆曲线上任意点j的计算公式为
Xj=XO+Csj×Cos(αsj)
Yj=YO+Csj×Sin(αsj)
四 坐标反算
1、直线段坐标反算

图9
反算原理
如图9所示，直线 se的点斜式为
y-yp=tanαs(x-xp) (公式1)
将起点S的坐标代入解得
yp= ys- tanαs(xs-xp) (公式2)
因直线jp垂直于直线sp，故p点中桩坐标因满足垂线jp的下列点斜式方程 yp-yj= -(xp-xj) / tanαs (公式3)
将公式2代入公式3得
ys- tanαs(xs-xp)- yj=-(xp-xj) / tanαs
tanαs(ys-yj)- tan2αsxs+ tan2αsxp=-xp+xj
简化后得

2、圆曲线段坐标反算原理
图10
反算原理
如图10所示，设j点为圆曲线附近任意边桩点，坐标为j(X,Y)，已知点S点坐标为（X0，Y0），则圆心点C的坐标为

Xc=X0+R×COS(αs±90°)
Yc=Y0+ R×sin(αs±90°)
再根据圆心点C与j点的坐标算出直线cj的方位角αcj与距离dcj,则j点的边距为dj=R-dcj,由圆心点坐标反算垂足点p的中桩坐标为
XP=XC+R×COS(αcj)
YP=YC+ R×sin(αcj)
再根据S点的坐标和P点的坐标求出弦长SP的距离
Csp=√((X0-XP)2+(Y0-YP)2)
再根据弦长SP的距离和反三函数的关系，求出弦切角θsp值(单位为度)。

求出弦切角后就可以求出弧长sp的值及P点的走向方位角αp的值：

αp=αs±2θsp

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