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圆的基本概念
1、定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定点O叫做圆心；线段OA叫做半径；圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长(半径r)；反之，到定点的距离
等于定长的点都在同一个圆上（另一定义）；
以O为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O”
2.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
3.直径：经过圆心的弦叫直径。 注：圆中有无数条直径
4圆的对称性及特性：
(1)圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴;
(2)圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.
(3)一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性
5.圆弧：
(1)圆上任意两点间的部分，也可简称为“弧”
以A,B两点为端点的弧.记作,读作“弧AB”.
(2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中每一条弧都叫半圆。如弧AD.
(3)小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 (用两个字母).
(4)大于半圆的弧叫做优弧,如记作 (用三个字母).
学习重点:圆及其有关概念
学习难点:用集合的观念描述圆
【例1】 已知：如图，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，∠AOC=∠BOC，M、N分别为OA、OB的中点．求证：MC=NC．

【例2】 由于过渡采伐森林和破坏植被，使我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近来A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400km的B处，正在向西北方向移动（如图），距沙尘暴中心300km的范围内将受到影响，问A市是否会受到这次沙尘暴的影响？
【随堂针对练习】
1．圆上各点到圆心的距离都等于 ，到圆心的距离等于半径的点都在 ．
2．P为⊙O内与O不重合的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．点P到⊙O上任一点的距离都小于⊙O的半径
B．⊙O上有两点到点P的距离等于⊙O的半径
C．⊙O上有两点到点P的距离最小
D．⊙O上有两点到点P的距离最大
3．以已知点O为圆心作圆，可以作（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
4．以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
5．一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这圆的半径是 cm．
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15cm，BC=10cm，以A为圆心，12cm为半径作圆，则点C与⊙A的位置关系是 ．
7．⊙O的半径是3cm，P是⊙O内一点，PO=1cm，则点P到⊙O上各点的最小距离是 ．
8．如图，公路MN和公路PQ在P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m．假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/时，那么学样受影响的时间为多少秒？

垂径定理及其推论:
（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；
（2）推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。
垂径定理归纳为：一条直线如果具有：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分
A
B
C
D
E
.O

例题1、如图3－5，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，若CE＝，ED=b.
求：（1） = 的长；（2）AB的长.

例题2、如图所示，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，若AB=2cm，OC=1cm，则⊙O的半径长 为______cm．
例题3、（易错题）在直径为50cm的圆中，弦AB为40cm，弦CD为48cm，且AB∥CD，求AB与CD之间距离．
解：如图所示，过O作OM⊥AB，
∵AB∥CD，∴ON⊥CD．
在Rt△BMO中，BO=25cm．
由垂径定理得BM=AB=×40=20cm，
∴OM==15cm．
同理可求ON==7cm，
所以MN=OM-ON=15-7=8cm．
以上解答有无漏解，漏了什么解，请补上
【巩固练习】基础题：
1．下列命题中，正确的是（　）
　A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 　B．过弦的中点的直线必过圆心
　C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 　D．弦的垂线 平分弦所对的弧
2．下列命题中错误的有（ ）
①弦的垂直平分线经过圆心；②平分弦的直径垂直于弦；③梯形的对角线互相平分；④圆的对称轴是直径.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.在半径为25cm的⊙O中，弦AB＝40cm，则此弦和所对的弧的中点的距离为( )
A. 10cm B. 15m C. 40cm D. 10cm或40cm
4. 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，
，则AC的长为（ ）
A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm
5. 过⊙O内一点P的最长的弦长为13cm，最短的弦长5cm，则OP= .
6. 直径是1000mm的圆柱形水管面积如图所示，若水面宽mm，则水的最大深度CD为_______mm.

6题图 7题图 8题图
7. 如图，是一个水平放置的圆柱形水管的截面，已知水面高，水面宽．那么水管截面圆的半径是_________．
8. 如图，弦，直径于，且，求⊙的半径。
◆拓展创新
8．（应用题）如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为正方形并高出水面2m的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．

提高题：
1．如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点
C作弦，的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A、
B两点）上移动时，点P（ ）
A．到CD的距离保持不变 B．位置不变
C．等分 D．随C点的移动而移动
2. 圆的两条平行弦与圆心的距离分别为3和4，则此二平行弦之间的距离为 .
3. ⊙的直径为15cm.弦AB和CD互相平行，两弦之间的距离为10.5cm，AB=9cm，则CD= .
4. 如图矩形边经过⊙的圆心，，分别为，
与⊙的交点，若，，，
则⊙的径等于__________．
6. 如图，已知：在⊙中，是直径，是弦，交于，交于．
求证：．

A
C
D
B
O.
7. 如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为.求证：（相交弦定理）
A
O
B
H
E
NN
D
M
G
F
8. 已知：如图，以为圆心，，OD⊥AB, cm，矩形的两顶点、在弦上，、在上，且，求的长.
10. 如图，是⊙的直径，是弦，，于.求证：

◆课后自测
1．下列说法正确的有_______．（填序号）
①直径是弦;②弦是直径;③半圆是弧，但弧不一定是半圆;
④长度相等的两条弧是半圆

2．工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是12mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9mm，如图所示，则小孔的直径AB为______．
3．一个已知O点到圆周上的点的最大距离为5cm，最小距离为1cm，则此圆的半径为________．
4．如图所示⊙O的半径为5，弦AB长为8，点M在线段AB（包括端点A、B）上移动，则OM的取值范围是（ ）
A．3≤OM≤5 B．3≤OM<5
C．4≤OM≤5 D．4≤OM<5
5．如图所示，矩形ABCD与⊙O相交于M、N、F、E，若AM=2，DE=1，EF=8，则MN的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．如图所示，D、E分别是弧、的中点，DE交AB于M、交AC于N.求证AM=AN．

7．（教材变式题）如图所示，⊙O的直径AB垂直于弦CD，AB、CD相交于点E，∠COD=100°，求∠COE，∠D的度数．

圆心角 同步练习
例5. 如图，已知△ABC内接于⊙O，点A、B、C把⊙O三等分.
(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)求∠AOB的度数

例6. 如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，交AC于点E, BD=CE．
求证：AB=AC.

例7. 如图，在⊙O中，弦AD//BC ,DA=DC, ∠AOC=1600，则∠BCO等于( )
A. 200 B . 300 C400 D. 500

例8. 如图，P为⊙O的直径EF延长线上一点，PA交⊙O于点B, A，PC交⊙O于点D, C两点，∠1=∠2，
求证： PB=PD.
提高训练
1. 如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD 的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A, B两点）上移动时，点P（ ）
A．到CD的距离保持不变 B．位置不变
C．等分 D．随 C 点的移动而移动
2. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD是半径，且OD //AC．求证：

3. 如图，MN为半圆O的直径，半径OA⊥MN, D为OA的中点，过点D作BC//MN，
求证：( 1 ) 四边形ABOC为菱形； (2)∠MNB=∠BAC
4. 如图，AB, CD是⊙O的两条弦，且AB=CD , 点M是的中点，求证：MB=MD.
5. 如图,AB, CD是⊙O的两条直径，过点A作AE//CD交⊙O于点E，连结BD , DE.求证：BD=DE.

圆周角
【知识要点】
1． 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.
例1. 如图，在⊙O中，弦AB //CD，求证：AC=BD.
例2. 如图， A, B, C, D四点都在⊙O上， AD是⊙O的直径，且AD=6cm，若∠ABC=∠CAD．求弦AC的长．
提高训练
1. 如图，已知AB 是⊙O的直径，CD与AB相交于点E，∠ACD=600，
∠ADC=500 ，则∠AEC= ．
2. 已知3cm长的一条弦所对的圆周角是1350 , 那么圆的直径是 .

3. 如图，A, B, C为⊙O上三点，∠BAC=1200，∠ABC=450 , M, N 分别为BC, AC
的中点，则OM:ON的值为
4. 已知AB是⊙O的直径C, D是⊙O上在AB同旁的两点，且, AC与BD
的延长线相交于点 E ，线段 AE与AB有怎样的关系？请加以证明．
5. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=2∠A ,BM平分∠ABC交外接圆于点M , ME//BC交AB于点E．
试判断四边形EBCM的形状，并加以证明.

三个定理
1．相交弦定理
弦AB、CD交于点E => AE·BE=CE·DE
2. 切割线定理

AD是切线
=> AD2=DB·DC
DBC是割线
3. 割线定理

EAB是割线
=> EA·EB=EC·ED
ECD是割线
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