与圆的切线有关的计算与证明.doc

与圆的切线有关的计算与证明（1）
类型之一　与切线的性质有关的计算或证明
【经典母题】
如图Z12－1，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点，若∠P＝30°，⊙O的半径为1，则PB的长为__1__．

图Z12－1 　　　经典母题答图
【解析】 如答图，连结OC.
∵PC为⊙O的切线，∴∠PCO＝90°，
在Rt△OCP中，∵OC＝1，∠P＝30°，
∴OP＝2OC＝2，
∴PB＝OP－OB＝2－1＝1.
【思想方法】　(1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直．
【中考变形】
[2017·天津]已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D.
(1)如图Z12－2①，求∠T和∠CDB的大小；
(2)如图②，当BE＝BC时，求∠CDO的大小．

图Z12－2
解：(1)如答图①，连结AC，
∵AT是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴AT⊥AB，即∠TAB＝90°，
∵∠ABT＝50°，∴∠T＝90°－∠ABT＝40°，
由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°－∠ABC＝40°，∴∠CDB＝∠CAB＝40°；

中考变形答图① 　　中考变形答图②
(2)如答图②，连结AD，
在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝50°，
∴∠BCE＝∠BEC＝65°，∴∠BAD＝∠BCD＝65°，
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝65°，
∵∠ADC＝∠ABC＝50°，
∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝65°－50°＝15°.
【中考预测】
[2017·宿迁]如图Z12－3，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P.
(1)求证：AP＝AB；
(2)若OB＝4，AB＝3，求线段BP的长．

　图Z12－3 　　　中考预测答图
解：(1)证明：∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，
∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB，
∴∠OBA＝90°，∴∠ABP＋∠OBC＝90°，
∵OC⊥AO，∴∠AOC＝90°，
∴∠OCB＋∠CPO＝90°，∵∠APB＝∠CPO，
∴∠APB＝∠ABP，∴AP＝AB；
(2)如答图，作OH⊥BC于H.在Rt△OAB中，∵OB＝4，AB＝3，
∴OA＝＝5，∵AP＝AB＝3，
∴PO＝2.
在Rt△POC中，PC＝＝2，
∵PC·OH＝OC·OP，
∴OH＝＝，
∴CH＝ ＝，
∵OH⊥BC，∴CH＝BH，∴BC＝2CH＝，
∴BP＝BC－PC＝－2＝.
类型之二　与切线的判定有关的计算或证明
【经典母题】
已知：如图Z12－4，A是⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C，点B在圆上，且AB＝BC，∠A＝30°，求证：直线AB是⊙O的切线．

图Z12－4　　 　经典母题答图
证明：如答图，连结OB，
∵OB＝OC，AB＝BC，∠A＝30°，
∴∠OBC＝∠C＝∠A＝30°，
∴∠AOB＝∠C＋∠OBC＝60°.
∵∠ABO＝180°－(∠AOB＋∠A)＝180°－(60°＋30°)＝90°，
∴AB⊥OB，又∵OB为⊙O半径，∴AB是⊙O的切线．
【思想方法】　证明圆的切线常用两种方法“作半径，证垂直”或者“作垂直，证半径”．
【中考变形】
1．[2016·黄石]如图Z12－5，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于A，B)，AD⊥CD.
(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的值；
(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．

图Z12－5 　　　中考变形1答图
解：(1)∵AB是⊙O直径，C在⊙O上，
∴∠ACB＝90°，又∵BC＝3，AB＝5，
∴由勾股定理，得AC＝4；
(2)证明：如答图，连结OC，
∵AC是∠DAB的平分线，
∴∠DAC＝∠BAC，
又∵AD⊥DC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，∴∠DCA＝∠CBA，
又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠OAC＋∠OBC＝90°，∴∠OCA＋∠ACD＝∠OCD＝90°，
∴直线CD是⊙O的切线．
2．[2017·南充]如图Z12－6，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连结DE并延长交AC的延长线点F.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若CF＝2，DF＝4，求⊙O直径的长．

图Z12－6 　　 　中考变形2答图
【解析】 (1)连结OD，欲证DE是⊙O的切线，需证OD⊥DE，即需证∠ODE＝90°，而∠ACB＝90°，连结CD，根据“等边对等角”可知∠ODE＝∠OCE＝90°，从而得证；
(2)在Rt△ODF中，利用勾股定理建立关于半径的方程求解．
解：(1)证明：如答图，连结OD，CD.
∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.
∴∠BDC＝90°.又∵E为BC的中点，
∴DE＝BC＝CE，∴∠EDC＝∠ECD.
∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.
∴∠EDC＋∠ODC＝∠ECD＋∠OCD＝∠ACB＝90°.
∴∠ODE＝90°，∴DE是⊙O的切线；
(2)设⊙O的半径为x.在Rt△ODF中，OD2＋DF2＝OF2，
即x2＋42＝(x＋2)2，解得x＝3.∴⊙O的直径为6.
【中考预测】
如图Z12－7，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC.
(1)求证：DE与⊙O相切；
(2)若BF＝2，DF＝，求⊙O的半径．

图Z12－7 　　 　中考预测答图
解：(1)证明：如答图，连结OD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＋∠ABC＝90°，
∵∠BOD＝2∠BCD，∠A＝2∠BCD，
∴∠BOD＝∠A，
∵∠AED＝∠ABC，∴∠BOD＋∠AED＝90°，
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，∴DE与⊙O相切；
(2)如答图，连结BD，过点D作DH⊥BF于点H.
∵DE与⊙O相切，∴∠ACD＋∠BCD＝∠ODB＋∠BDE＝90°，
∵∠ACD＝∠OBD，∠OBD＝∠ODB，∴∠BDE＝∠BCD，
∵∠AED＝∠ABC，∴∠AFC＝∠DBF，
∵∠AFC＝∠DFB，∴△ACF与△FDB都是等腰三角形，
∴FH＝BH＝BF＝1，∴HD＝＝3，
在Rt△ODH中，OH2＋DH2＝OD2，即(OD－1)2＋32＝OD2，
∴OD＝5.即⊙O的半径是5.
与圆的切线有关的计算与证明（2）
1.如图8，CD是⊙0的切线，切点为A,AB是⊙0的直径.E,F⊙0上的点,
(1)求证：∠DAE=∠FDE//A B.
(2)若EF//CD,求证:△AEF是等腰三角形

2.如图7⊙0的半径为1，过点A(2，0)的直线切
⊙0于点B，交y轴于点C.
(1)求线段AB的长；
(2)求以直线AC为图象的一次函数的解析式．
3、在△ABC中，AB=AC，内切圆O与边BC、AC、AB分别切于D、E、F.
（1）求证：BF=CE；
（2）若∠C=30°，，求AC.
4.如图10，在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=，
（1）求∠BAC的度数； （2）求⊙O的周长
5 已知：如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，OC垂直AD于F交⊙O于E，连结DE、BE，且∠C=∠BED．
C
E
D
A
F
O
B
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OA=10，AD=16，求AC的长．
6. 如图，切于点直线交于点、，弦
(1)求证：
M
P
A
O
C
B

(2补充)连结CM,当四边形BCMO为菱形时,求∠P的度数
或反过来问:当时,判断四边形BCMO的形状,并说明理由.
A
O
B
M
N
C

7. 如图，在中，，以为直径的交于点，于点．
（1）求证是的切线；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
8 如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，若∠MAC=∠ABC ．
M
N
A
E
D
C

G
B

F
（1）求证：MN是半圆的切线；
（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC 于G，
过D作DE⊥AB于E，交AC于F．
求证：FD＝FG．
9. 如图，半圆的直径，点C在半圆上，．
（1）求弦的长；
P
B
C
E
A

（2）若P为AB的中点，交于点E，求的长．
A
O
E
C
D
B
10. 已知：如图，为的直径，交于点，交于点．
（1）求的度数；
（2）求证：．
11. 如图，在中，，是角平分线，平分交于点，经过两点的交于点，交于点，恰为的直径．
O
B
G
E
C
M
A
F
求证：与相切；
12. 如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．
C
B
E
F
A
D
O

（1）求证：；
（2选做）若，⊙O的半径为3，求BC的长．
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