电动力学复习总结电磁现象的普遍规律2012答案.doc

第一章 电磁现象的普遍规律
一、 填空题
1.已知介质中的极化强度，其中A为常数，介质外为真空，介质中的极化电荷体密度 ；与垂直的表面处的极化电荷面密度分别等于
和 。
答案: 0, A, -A
2.已知真空中的的电位移矢量=（5xy+）cos500t，空间的自由电荷体密度为 。
答案:
3.变化磁场激发的感应电场的旋度等于 。
答案:
4.介电常数为的均匀介质球，极化强度A为常数，则球内的极化电荷密度为 ，表面极化电荷密度等于
答案0,
5.一个半径为R的电介质球,极化强度为,则介质中的自由电荷体密度为 ,介质中的电场强度等于 　.
答案:
二、 选择题
1.半径为R的均匀磁化介质球，磁化强度为，则介质球的总磁矩为
A． B. C. D. 0
答案:B
2.下列函数中能描述静电场电场强度的是
A． B.
C. D.（为非零常数）
答案: D
3.充满电容率为的介质平行板电容器，当两极板上的电量（很小），若电容器的电容为C，两极板间距离为d，忽略边缘效应，两极板间的位移电流密度为：
A． B. C. D.
答案:A
4.下面矢量函数中哪一个不能表示磁场的磁感强度?式中的为非零常数
A．(柱坐标) B. C. D.
答案:A
5.变化磁场激发的感应电场是
A.有旋场,电场线不闭和 B.无旋场,电场线闭和
C.有旋场,电场线闭和 D.无旋场,电场线不闭和
答案: C
6.在非稳恒电流的电流线的起点.终点处,电荷密度满足
A. B. C. D.
答案: D
7.处于静电平衡状态下的导体,关于表面电场说法正确的是:
A.只有法向分量; B.只有切向分量 ;
C.表面外无电场 ; D.既有法向分量,又有切向分量
答案:A
8.介质中静电场满足的微分方程是
A. B.;
C. D.
答案:B
9.对于铁磁质成立的关系是
A. B. C. D.
答案:C
10线性介质中,电场的能量密度可表示为
A. ; B.; C. D.
答案:B

三、 思考题
1、 有人说：“当电荷分布具有某种对称性时，仅要根据高斯定理的积分形式这一个方程就可以求解静电场的分布。”对此你的看法如何？
答：从物理意义上看，高斯定理只反映了静电场性质的一个侧面（有源场），它对静电场性质的描述是不完备的，只有在特殊情况下，才能依据这种不完备的描述，来确定电场的分布。在电场分布不具有高度对称的情形下，应配合环路定理，才能充分描述静电场。
从数学上看，在积分结果一定情况下，被积函数不能唯一确定，一般情况下，不能单靠高斯定理求解的函数关系，只当电场分布高度对称时可以作出这样的高斯面。高斯面应满足：（1）高斯面一定要通过待求场强的那一点；（2）高斯面的积分部分或者与垂直，或者与平行；（3）与垂直的那部分高斯面上各点场强相等；（4）高斯面的形状比较简单，只有这样作为常量可从积分号中提出，才能由高斯定理求解出。
2、 有人说：“只要力线不是涡旋状的，矢量场的旋度就一定等于零。”这句话对否？你能否找到一个反例？
答：这句话不对。力线是涡旋状的场，一定会有一些点的旋度不等于零。是有旋场；但力线不是涡旋状的场，却不一定处处无旋。例如：匀速运动的点电荷，电场线仍然不是涡旋状的，但电场的旋度不等于零,。
3、 平行板电容器的极板面积为S，板间距离为d，所带电荷为，求任一板所受的电场力是，还是。
答：因每个极板受的力是另一板产生的电场对它的作用力，每个极板产生的电场为，所以
4、 有人说：“当稳恒电流的分布具有某种对称性时，只要根据安培环路定律就可以求解稳恒电流的磁场分布”。对此你的看法如何？
答：可以利用环路定理求解磁场的电路，要求找到这样的积分路径在此路径上各点沿路径方向的分量相同，可以把它从积分号中提出来，即，这时只对路径积分，而这个路径积分很容易算出的；还有一种情况是，在所选积分路径上的某些部分，在其余部分为一恒量，这时也可以求出磁场，但是，如果电流回路是任意的，磁场没有较强的对称性，我们就只能由安培环路定理计算的环流，而求不出。
5、 有人说电磁场的场源是电荷、电流，有人说除此之外还有变化的电场和变化的磁场，你的看法如何？
答：后者说法正确。因为变化的磁场激发电场（法拉第电磁感应定律），变化的电场也激发磁场（麦克斯韦位移电流假设）。
6、 说明传导电流和位移电流的异同。
答：区别——传导电流：（1）由电荷运动产生与电荷宏观定向移动相关；（2）存在于导体中，方向始终与电场方向相同，；（3）有热效应，遵从焦耳—楞次定律。
位移电流：（1）由变化的电场产生，与电荷宏观运动无关；（2）可存在于真空、介质和导体中，方向与电场方向可以相同，也可以相反，；（3）在导体中无热效应，在介质中发热，不遵从焦耳—楞次定律。
联系：（1）都可以激发磁场；（2）都遵从安培环路定理；（3）都具有相同的单位安培。
7、 有人说：“高斯定理本是由库仑定律推证出来的，当随时间改变时，高斯定理仍然成立，但库仑定律却需要修改。推证出发点的适用范围小于结果的适用范围，这不合逻辑。应该如何解释这个问题。
答：库仑定律是直接从实验中总结出来的，是整个静电学理论的实验基础，由于它只是从电荷相互作用的角度研究静电现象局限性较大，只适用于相对静止的点电荷的场。高斯定理和环路定理是库仑定理的推论，由于它们是用场的观点，从两个不同侧面，对静电场的基本性质给出了完整描述。适用于一切场源电荷激发的场，这是经过实验验证，说明高斯定理更具有普遍意义。
当然，从另外一个角度，也可以先从实验中总结出高斯定理和环路定理，再由它们导出库仑定律。比如：可根据检验空腔导体内不带电的实验得出高斯定理，再将高斯定理应用于中心置一点电荷的闭合球面，即可导出库仑定理，因此高斯定理和环路定理又叫静电场第一、二定律，此时库仑定理只处于推论地位。
8、 有人说：“只要自由电荷分布相同，有介质存在时静电场中矢量与真空中静电场的关系都是”。这种说法对吗？正确的说法是什么？
答：不对. 正确的说法是:当自由电荷分布相同时，而且均匀介质充满整个空间或者分区充满整个空间,但分界面必须是等势面, 才有.
9、 根据边值关系完成下列场矢量图。
1），，已知D2，画出D1； 2），，已知E1，画出E2；
3），，已知H2，画出H1； 4），，已知B1，画出B2。
D2
t
n
(a)
B1
t
n
(d)
E1
t
n
(b)
H2
t
n
(c)
思考题2-9
D1
E2
H1
B2
答：（a），（b）（c），（d）

10、 说明体电荷密度ρ和面电荷密度σ的定义和它们之间的关系。
答：所谓电荷的体密度，就是单位体积内的电荷。考虑带电体内某点P，取一体积元包含P点，设内全部电荷代数和为，则P点电荷体密度定义为，是数学上抽象，实际只要宏观上看足够小即可。称为电荷面密度，它的物理意义是单位面积电荷，也应是宏观看很小，微观看很大。
我们可以将表面层抽象出一个没有厚度的几何面，如下，可以设表面层厚度为，层内电荷体密度，取面积为的一块表面层，它的体积为，其中包含电荷，,设想，，保持乘积为有限值。
11、 在双线传输的直流电路中，电磁能流是由电源流向负载的，还是由正极流向负载，再把剩余的带回负极？
答：是由电源流向负载的。在直流电路中电磁能并非通过电流传输，而是通过导线周围的电磁场场从电源传输至负载。
12、 通过导体中各处的电流密度不同，那么电流能否是恒定电流？为什么？举例说明
答:可以是恒定电流。恒定电流只是要求,.某处电流密度与时间无关.但可以是空间坐标的函数.
如恒定电流通过粗细不均的导体，导体中各处的电流密度不同.
13、 简述真空中麦克斯韦方程组的建立过程。
①      由高斯定理和库仑定律得真空中静电场的微分方程：
，
②      由毕奥——萨伐尔定律得真空中静磁场的微分方程：
，
③      加上电磁感应定律和位移电流假设得真空中麦克斯韦方,

14、 考察真空中的麦克斯韦方程组,总结电场、磁场的产生方式及性质。
电场有两种产生方式：
a.  电荷产生的电场是有源无旋场，
b  .  变化的磁场产生的电场是无源有旋场。
磁场有两种产生方式：
 a .电流产生的磁场是有旋无源场，
 b. 变化的磁场产生的电场是有旋无源场。
15、 介质中可以有几种电流密度？
答：三种（1）自由电流密度；（2）在外磁场下分子电流的规则取向形成的磁化电流密度；（3）电场变化时介质的极化强度发生变化产生的极化电流密度。
16、 麦克斯韦方程组描述了电磁场的规律,而微分形式的麦克斯韦方程组却不能用于介质界面上，是否能得出在介质界面上电磁规律失效？
答：不能，在介质界面上，场量会有跃变，因而场量的微分不再存在，使微分方程失效，而不是电磁规律失效；积分形式的麦克斯韦方程组仍然有效。
17、 什么因素引起界面两侧 ，，法向分量跃变？什么因素引起界面两侧,,切向分量跃变？
答：：自由电荷面密度引起法向分量的跃变。
,极化电荷面密度引起法向分量的跃变。
；总电荷面密度引起法向分量的跃变。
,自由电流线密度引起切向分量的跃变。
;磁化电流线密度引起切向分量的跃变。；总电流线密度引起切向分量的跃变.
18、 静场中存在能流吗？试证明在同一空间中存在静止电荷的静电场和永久磁铁的磁场.此时可能存在物理量，以及,但没有能流。对空间任意闭和曲面，有
答：静场中不存在能流，因为能流是描述电磁场的能量运动的物理量，静场虽然具有能量，但能量是静态分布，不传播，不运动。
证明：
对静电场，又因为空间只有永久磁铁，传导电流。且为静场
根据Maxwell方程
故
19、 我们在推导Maxwell方程，应用了电磁感应定律

当回路相对于观察者（实验室）静止不动时，上式变为
，
我们有知道不仅磁场变化可以产生感应电动势，导体回路运动时也可以产生感应电动势，显然上式推导过程中未考虑动生电动势，那么的出的结果具有普遍性吗？你怎样理解？
答：虽然结果是从特殊情况得出的，但却是普遍成立的。下面来讨论普遍情况：当回路相对于观察者（实验室）以速度v沿着某一方向运动时，dt时间内回路上线元运动过的位移，则

所以
第一项代表回路L不动,而磁场B变化产生的感生电动势.第二项代表磁场B恒定不变而回路L运动产生的动生电动势，但等式左端的是相对于回路L的感生电场，不是相对于实验室的，磁场B是实验室参考系中的测量结果。
，
令 ，
则有：

其中即是实验室参考系中的测量的感生电场。变换式就是不考虑相对论效应时，不同参考系中电磁场的变换关系，参阅第七章狭义相对论内容。
四、 计算与证明
1. 若干运算公式的证明

（利用公式得）

2. 根据算符的微分性与向量性，推导下列公式：

解：（1）

（2在（1）中令得：
，
所以
即
3. 设是空间坐标的函数，证明：
， ，
证明：
（1）

（2）

（3）

4. 设为源点到场点的距离，的方向规定为从源点指向场点。
（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：
； ； ；
， 。
（2）求 ， ， ， ，及
，其中、及均为常向量。
（1）证明：

可见

可见

，
（2）解：

因为，为常向量，所以，， ，
又，

为常向量，，而，
所以

5. 应用高斯定理证明，应用斯托克斯（Stokes）定理证明
证明：（I）设为任意非零常矢量，则

根据矢量分析公式 ，
令其中，，便得

所以

因为是任意非零常向量，所以

（II）设为任意非零常向量，令，代入斯托克斯公式，得
（1）
（1）式左边为：

（2）
（1）式右边为： （3）
所以 （4）
因为为任意非零常向量，所以

6. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 ，利用电荷守恒定律证明p的变化率为：
证明：方法（I）

因为封闭曲面S为电荷系统的边界，所以电流不能流出这边界，故
，
同理 ，
所以
方法（II）

根据并矢的散度公式得：

7. 若m是常向量，证明除点以外，向量的旋度等于标量的梯度的负值，即，其中R为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。
证明：

其中 ， （）
， （）
又

所以，当时，

8. 有一内外半径分别为和的空心介质球，介质的电容率为，使介质球内均匀带静止自由电荷，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。
解：（1）设场点到球心距离为。以球心为中心，以为半径作一球面作为高斯面。
由对称性可知，电场沿径向分布，且相同处场强大小相同。
当时，， 。
当时，
， ，
向量式为
当时，

向量式为
（2）当时，

当时，

当时，

9. 内外半径分别为和的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流，导体的磁导率为，求磁感应强度和磁化电流。
解：（1）以圆柱轴线上任一点为圆心在垂直于轴线平面内作一圆形闭合回路，设其半径为。由对称性可知，磁场在垂直于轴线的平面内，且与圆周相切。
当 时，由安培环路定理得：
当 时，由环路定理得：
所以 ，
向量式为
当 时，
所以 ，
向量式为
（2）当 时，磁化强度为

所以
在 处，磁化面电流密度为

在 处，磁化面电流密度为

向量式为
10. 证明均匀介质内部的体极化电荷密度总是等于体自由电荷密度的倍。
证明：在均匀介质中
所以

11. 证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等方向相反(但两个电流元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律)
证明: 线圈1在线圈2的磁场中受的力:
,
而 ，

(1)
同理可得线圈2在线圈1的磁场中受的力：
(2)
(1)式中：

同理(2)式中：

12. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为和，电容率为和，今在两板接上电动势为E 的电池，求：（1）电容器两极板上的自由电荷面密度和；（2）介质分界面上的自由电荷面密度。(若介质是漏电的，电导率分别为和 当电流达到恒定时，上述两物体的结果如何？)
解：忽略边缘效应，平行板电容器内部场强方向垂直于极板，且介质中的场强分段均匀，分别设为和，电位移分别设为和，其方向均由正极板指向负极板。当介质不漏电时，介质内没有自由电荷，因此，介质分界面处自由电荷面密度为
取高斯柱面，使其一端在极板A内，另一端在介质1内，由高斯定理得：

同理，在极板B内和介质2内作高斯柱面，由高斯定理得：
在介质1和介质2内作高斯柱面，由高斯定理得：
所以有 ，
由于 E
所以 E
当介质漏电时，重复上述步骤，可得：
， ，

介质1中电流密度
介质2中电流密度
由于电流恒定，，

再由 E 得
E

E E
E E
13. 证明：
（1）当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的曲折满足

其中和分别为两种介质的介电常数，和分别为界面两侧电场线与法线的夹角。
（2）当两种导电介质内流有恒定电流时，分界面上电场线的曲折满足

其中和分别为两种介质的电导率。
证明：（1）由的切向分量连续，得 （1）
交界面处无自由电荷，所以的法向分量连续，即
（2）
（1）、（2）式相除，得
（2）当两种电介质内流有恒定电流时

由的法向分量连续，得 （3）
（1）、3）式相除，即得
14. 试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流情况下，导体内电场线总是平行于导体表面。
证明：（1）设导体外表面处电场强度为，其方向与法线之间夹角为，则其切向分量为。在静电情况下，导体内部场强处处为零，由于在分界面上的切向分量连续，所以 因此
即只有法向分量，电场线与导体表面垂直。
（2）在恒定电流情况下，设导体内表面处电场方向与导体表面夹角为，则电流密度与导体表面夹角也是。导体外的电流密度，由于在分界面上电流密度的法向分量连续，所以
因此
即只有切向分量从而只有切向分量，电场线与导体表面平行。
15. 内外半径分别为a和b的无限长圆柱形电容器，单位长度荷电为，板间填充电导率为的非磁性物质。
（1）证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消，因此内部无磁场。
（2）求随时间的衰减规律。
（3）求与轴相距为的地方的能量耗散功率密度。
（4）求长度l的一段介质总的能量耗散功率，并证明它等于这段的静电能减少率。
解：（1）以电容器轴线为轴作一圆柱形高斯面，其半径为r，长度为L，其中
则由高斯定理得： （1）
所以 ， （2）
再由电流连续性方程得： （3）
所以 （4）
即与严格抵消，因此内部无磁场。
（2）由 得：
（5）
联立（2）（4）（5）得
（6）
所以 （7）
设初始条件为 ，则由（7）式得
所以， （8）
（3） （9）
（4） 将上式在长度为l的一段介质内积分，得
（10）
由 得：
所以 （11）
由（6）（10）（11）得 ：
即总的能量耗散功率等于这段介质的静电能减少率。
A
B
R1
R2
图4-16
16. 有一个金属圆环，由电阻分别为R1和R2的两个半圆环组成，R1>R2。此圆环放在如图所示的均匀磁场B中，当B增加时，比较A、B两分界面电势的高低。
解:由法拉第电磁感应定律知,金属环内的感生电场方向是逆时针的,而且在R1段，R2段中的电动势相等,与材料无关.相当于两个电动势顺接串联
.
由闭合电路欧姆定律,
所以
17. 在介质中存在稳恒电流条件下，导出介质分界面上电流密度的边值关系；并证明在界面上电流线的偏折为： 式中、分别为介质的电导率，、为界面两侧电流线与界面法线的夹角。
证明：(1)对稳恒电流：，在介质界面上满足 作如图所是的圆柱形闭合曲面，
上下底面无限靠近界面，则有：

题4-17图
，
即：
（2）利用（1）的结果及电场的边值关系：

得：，两式相除便得：
，即：
18. 半径为R,厚为h(h<的电场强度。
解:（1）由于得:
（2）极化电荷面密度：，分布于盘的边缘，
，极化电荷在中心的场为：，方向与极化方向相反.
19. 已知某一区域给定电流密度,其中c为大于零的常数。 1）在此瞬间电荷密度的时间变化率是多少？(2)求此时以原点为球心,a为半径的球的总电荷的时间变化率.
解: ，根据电荷守恒定律：

。
20. 有一介质球，半径为a，沿矢径极化，极化强度与矢径之长度成正比，，求极化电荷体密度和表面电荷密度，并证明总电荷为零。
解:（1）极化电荷体密度
（2）表面极化电荷密度
（3）介质球总电荷
说明介质球在电场作用下发生极化电荷分布发生变化，但电荷总量不变。
dF
B
v
dq
题4-21图
21. 一个电介质圆柱，电容率为，绕其轴以角速度旋转。设圆柱置于均匀外磁场中，的方向与圆柱轴线平行，试问介质圆柱内及表面有极化电荷分布吗？若有，计算极化电荷密度。
解:介质圆柱内及表面都有极化电荷分布。在由于介质圆柱
内取一体积元dv，它受到的磁场力
，
此力等效于一电场作用于体积元dv上，等效电场

极化强度
极化体电荷密度

极化面电荷密度
22. 如图4-22所示，假如静电场某一部分的电场线的形状是以O点为中心的同心圆弧,该部分上每点的电场强度都与该点离O点距离成反比吗? 试加以证明.
o
r
题4-22图
解: 该部分每点的电场强度都应与该点离O点距离成反比.证明如下: 取以O为原点的柱坐标系,z轴垂直于纸面.分析知: 电场方向沿
方向,且电场与z无关.只是r的函数, 即,静电场满足
,即:
于是,得 ,
结论: 此区域内的电场强度与该点离O点距离成反比.
23. 由毕—萨定律出发证明磁场的”高斯”定理.
证明:
由于

又因为

24. 下面的矢量函数中哪些可能是真空中稳恒磁场？如果是，求其源电流

解：作为稳恒磁场，必须满足
，故不能描述
故可以描述

故可以描述

25. 证明通过空间任意闭和曲面的自由电流和位移电流的总量为零。
证明：通过空间任意闭和曲面的自由电流和位移电流的总量为

根据Maxwell方程
因此
26. 计算正在缓慢充电的电容器的能流.
解: 设电容器由半径为R的两块圆形平板构成,间距为h.
h
Z R
题4-26图
如图4-26.由于

得电容器内磁场

单位时间由电容器侧面流入电容器的能量为

电容器中的能量

结论:能量不是从导线中流过来的,而是从电容器外面的空间中通过电容器侧面流进电容器的.

27. 在图4-27中,有两块无限大的理想导体，分别占据半无限大空间，各具有一个平面边界 ，两界面平行,间距为a, 两界面间为真空,但有一随时间变化的电场, 电场强度为,试求(1)相应的磁感应强度
(2)导体表面上的面电荷密度;(3) 导体表面上的面电流密度.
图4-27

将代入：

，
28. 试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直与导体表面；在恒定电流情况下，导体内电场线总是平行与导体表面。

29. 由两个圆形极板组成的平行板容器漏电。证明直流电源供电时进入电容器的能流等于它损耗的焦耳热。

30. 证明当恒定电流从良导体流入不良导体中时，界面近似为一等势面。