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第七章 无穷级数
考试内容
　　常数项级数的收敛与发散的概念　收敛级数的和的概念　级数的基本性质与收敛的必要条件　几何级数与 级数及其收敛性　正项级数收敛性的判别法　交错级数与莱布尼茨定理　任意项级数的绝对收敛与条件收敛　函数项级数的收敛域与和函数的概念　幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域　幂级数的和函数　幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法　初等函数的幂级数展开式 函数的傅里叶（Fourier）系数与傅里叶级数　狄利克雷（Dirichlet）定理　函数在 上的傅里叶级数　函数在 上的正弦级数和余弦级数
考试要求
　　1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。
　　2．掌握几何级数与 级数的收敛与发散的条件。
　　3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。
　　4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。
　　5。 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。
　　6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。
　　7．理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。
　　8．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。
　　9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
　　10．掌握 ，，及的麦克劳林（Maclaurin）展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。
11．了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在 上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在 上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式。
一.无穷级数概论
1.无穷级数定义
设为一个数列，称为无穷级数.
注记1：但只是一种形式上的记法.只有讨论了收敛性，才有意义.
2.无穷级数收敛的定义
(1)部分和、部分和数列的定义
对任意，称数列前项和为级数的部分和.
称数列为级数的部分和数列.
(2)无穷级数收敛的定义
若级数的部分和数列是收敛的，则称级数是收敛的，并且记
.
3.无穷级数收敛的性质
(1)无穷级数收敛的必要条件I
若无穷级数收敛，则其部分和数列有界.反之不然.
事实上，由于收敛，因此，其部分和数列收敛，于是，有界.但有界，却未必收敛.例如，级数部分和数列为，有界，但不收敛.
例1.不收敛.
事实上，
于是，不收敛，即不收敛.
(2)无穷级数收敛的必要条件II
若收敛，则.
事实上，假设部分和为，则收敛，记，于是，
.
但反之结论不成立.例如，虽然，但无穷级数不收敛.
(3)无穷级数收敛的必要条件III
若无穷级数收敛，则对其任意加括号都收敛，而且级数和不变.
假设加括号后的级数写为
这里，.则其部分和为.由于收敛，于是，收敛，于是，其任意子列收敛，且收敛值与的一样，即级数收敛，且.
(4)无穷级数收敛的充分必要条件I
无穷级数收敛当且仅当且(或)收敛.
必要性是显然的.至于充分性，我们利用了这样一个事实：数列收敛当且仅当.现在，收敛了，而，而，于是，.故也收敛.若收敛，也是同理的.
(5)无穷级数收敛的充分必要条件II
无穷级数收敛当且仅当且收敛.
或者说也可以.
必要性是显然的.至于充分性，若收敛，则其部分和数列
是收敛的，但，因此，收敛.又，因此，由(4)的结论，无穷级数收敛.若收敛，则其部分和数列
也收敛.又，因此，也收敛.又由于，因此，由(4)，无穷级数收敛.
4.无穷级数的运算性质
(1)若无穷级数和收敛，则也收敛，且
.
事实上，假设的部分和为，的部分和为， 部分和为，则显然有.由于收敛，因此，，存在.于是，存在，且，即收敛，且.
(2)设常数，则收敛性与相同，且若收敛，则.
二.正项级数
1.正项级数的定义
每一项都非负的级数称为正项级数.
2.正项级数收敛的基本定理
正项级数收敛当且仅当其部分和数列有界.
事实上，若收敛，则其部分和收敛，因此，有界，这是容易知道的。另一方面，是一个单调不减的数列，如果有界，则有极限，即是收敛的。
3.比较判别法及其极限形式

(1)比较判别法
设，都是正项级数.假设存在一个正常数以及正整数，使得当，总有.若收敛，则收敛.
事实上，我们假设的部分和为，的部分和为，则对任意，
若收敛，则有界，于是，有界。于是，收敛.
(2)比较判别法的极限形式
设和为正项级数.如果.当，若收敛，则收敛.当，则与的敛散性相同.当，若收敛，则
收敛.
事实上，若，存在一个，当，有，即.由比较判别法，若收敛，则收敛.若，则存在一个，使得当，由，即.若收敛，由比较判别法，收敛.若收敛，由比较判别法，收敛.若，则.则由收敛，收敛.
4.比值判别法及其极限形式
(1)假设为正项级数.若存在一个和，使得当，有，则收敛.若存在一个和，使得当，有，则发散.
事实上，若，当，有

由于，因此，级数是收敛的.由比较判别法，级数收敛.
若，当，类似地，有.由于，因此，级数是发散的.由比较判别法，级数是发散的.
(2)比较判别法的极限形式
设为正项级数.假设.若，则收敛.若，则发散.若，此法失效.
事实上，若，任取(例如)，则存在一个，当，有.由于，由比值判别法，收敛.若，任取(例如)，则存在一个，当有，有.由比值判别法，发散.若，取，则，但级数发散.又取，则发散.但，，而，
，因此，是收敛的.这说明当，此法失效了.
备注：比较判别法及其极限形式也适用于任意项级数.这不难从证明过程中看出.
这时候，表述应该相应叙述如下：
假设数列满足.若，则收敛(事实上，它还绝对收敛).
若，则发散.若，此法失效.
事实上，若，按照正项级数的比较判别法，级数是收敛的，由于，因此，级数与收敛.于是，
收敛.
若，对任意，总有常数，使得当，有.这样，当，有，于是，.这样，级数是发散的.
若，道理同上.
型7。1 判定数项级数的敛散性
1。（02,3）设，且，则级数
(A)发散； 　　 (B)绝对收敛；
(C)条件收敛； (D)收敛性不能判定．
2。（04,4）设为正项级数，下列结论中正确的是
(A) 若=0，则级数收敛。
（B） 若存在非零常数，使得，则级数发散。
(C) 若级数收敛，则。
3。（06,4）若级数收敛，则级数
（A）收敛。 （B）收敛。
（C）收敛。 （D）收敛。
4。（09,4）设有两个数列，若，则
（A）当收敛时，收敛。 （B）当发散时，发散。
(C)当收敛时，收敛。 (D)当发散时，发散。
题型7。2 证明数项级数的敛散性
5。
题型7。3 求幂级数的收敛半径，收敛区间及收敛域
6。（08,4）已知幂级数在处收敛，在处发散，则幂级数的收敛域为。
题型7。4 求幂级数的和函数
7。（02,7）　１．验证函数（）满足微分方程；
　　２．求幂级数的和函数．
8。（05,12）求幂级数的收敛区间与和函数f(x)
9。（07,10）设幂级数在内收敛，其和函数y(x)满足

(I)证明：
(II)求y(x)的表达式。
10。（10,10）求幂级数的收敛域及和函数。
题型7。5 求数项级数的和
11。（09，9）设为曲线与所围成区域的面积，记
，求与的值。
题型7。6 求函数的幂级数展开式
12。 （01,8）设=将展开成的 幂级数，并求 的和．
13。（03,12）将函数展开成x的幂级数，并求级数的和。
14。（06,12）将函数展开成x的幂级数。
题型7。7 傅里叶级数
15。（03,4）设，则= 1 。
16。（08,11），用余弦级数展开，并求的和。