非次正规的偶数阶非幂零真子群的个数不超过21的非可解群.pdf

第37 卷第2 期2024年4月文章编号：10 0 4-8 8 2 0(2 0 2 4)0 2-0 12 5-0 3烟台大学学报（自然科学与工程版）Journal of Yantai University(Natural Science and EnGineerinG Edition)Vol.37 No.2Apr.2024doi:10.13951/ki.37-1213/n.230508非次正规的偶数阶非幂零真子群的个数不超过2 1的非可解群田云凤，史江涛,刘文静（烟台大学数学与信息科学学院，山东烟台2 6 40 0 5）摘要：为了进一步研究特殊子群的数量性质对有限群可解性的影响，证明了非次正规的偶数阶非幂零真子群的个数不超过2 1的非可解群仅有交错群As和特殊线性群SLz（5）。关键词：偶数阶；非幂零真子群；可解群；非可解群中图分类号：0 152.1文献标志码：A本文考虑的群都是有限群。Thompson 定理1指出如果群G具有奇数阶幂零极大子群,则G可解。进而,ROSE2刻画了具有偶数阶幂零极大子群的非可解群的结构性质。考察非幂零真子群的个数对群可解性的影响,文献3 证明了非幂零真子群个数不超过2 1的非可解群仅有交错群A，和特殊线性群SL（5）。作为推广,文献4 证明了非正规的非幂零真子群的个数不超过2 1的非可解群仅有As和SLz（5）。由文献5 知偶数阶真子群皆幂零的群即偶数阶非幂零真子群的个数等于0 的群必可解。作为文献3 的进一步推广，考察偶数阶非幂零真子群的个数对群可解性的影响，证明了下述结论的成立，证明见第2 部分。定理1设G为偶数阶非可解群,若G的偶数阶非幂零真子群的个数不超过2 1，则G=As或SL2(5)。由定理1,易知下述两个推论成立：推论1设G为偶数阶非可解群,若G的偶数阶非交换真子群的个数不超过2 1，则G=As注1上述推论1推广了文献6 定理3.1。推论2 设G为偶数阶非可解群,若G的偶数阶非素数幂阶真子群的个数不超过2 1,则G=As注2 上述推论2 推广了文献7 定理1.1。文献8 和文献9 利用不同方法分别证明了非幂零极大子群皆正规的群可解。进而,文献10 和文献11 在非幂零极大子群皆正规的群是否可解的基础上分别证明了该类群具有Sylow塔。特别地,文献5 定理1.8 得到了如果群G的每个非幂零极大子群皆正规,则对IGI的任意素因子p，均有G或为p-幂零或为 p-闭。注意任一非次正规子群必然为非正规子群。作为文献4 定理1.3的进一步推广,考察非次正规的偶数阶非幂零真子群的个数对群可解性的影响,得到了下述结论,证明见第3部分。定理2 设G为偶数阶非可解群,若G的非次正规的偶数阶非幂零真子群的个数不超过2 1,则G=As 或 SL2(5)。由定理2，易得下述两个推论成立：推论3设G为偶数阶非可解群,若G的非次正规的偶数阶非交换真子群的个数不超过2 1，则G=A5。注3上述推论3推广了文献12 定理1.3。推论4设G为偶数阶非可解群,若G的非次正规的偶数阶非素数幂阶真子群的个数不超过2 1，则 G=As。注4上述推论4推广了文献7 定理1.2。1 引 理收稿日期：2 0 2 3-0 5-12基金项目：国家自然科学基金资助项目（117 6 10 7 9）；山东省自然科学基金资助项目（ZR2017MA022,ZR2020MA044）；烟台大学研究生科研创新基金（GGIFYTU2312）。通信作者：史江涛（），副教授，博士，主要研究方向为有限群论及其应用。126引 理 1 13 (1)射影特殊线性群PSL（p），其中p3且5不整除p?-1;(2)射影特殊线性群PSL（2），其中q为素数；（3)射影特殊线性群PSL（3），其中q为奇素数；(4)射影特殊线性群PSL(3);(5)Suzuki群S（2），其中q为奇素数。引理 2 5 论设G为群,p为IGI的任意素因子。如果G的每个极大子群或幂零或正规或具有p-阶，则G可解。2定理1的证明证明假设G为偶数阶非幂零真子群个数不超过2 1 的非可解群,则存在MG使得M为内可解群,即M非可解但M的每个真子群均可解。于是M/Q(M)为极小非交换单群,而且M/(M)的偶数阶非幂零真子群的个数不超过2 1。令M=M/Q(M）。由引理1,分五种情形进行讨论：(1)如果M=PSL（p）,其中p3 且5不整除p-1。由文献14 知,此时PSL,（p)含阶分别为2.P+1和2.卫-1的子群为二面体群。22(i)如果2为奇数,则p7,且阶为 2 .P_12的二面体子群为PSL（p）的偶数阶非幂零真子群，p(p?-1)它的共轭类长等于22.P-12设矛盾。(i)如果为偶数,则P1为奇数,p5,且22阶为2.卫+1的二面体子群为PSL（p）的偶数阶非2p(p?-1)2幂零真子群，它的共轭类长等于2.卫+12p(p-1)由假设，p(p-1)21,得p=5或7。注22意p=7 时,P_1为奇数,与假设写为偶数矛盾。22当p=5时，易知PSL（5)的偶数阶非幂零真子群的个数恰等于2 1。(2)如果M=PSL（2 ）,其中q为素数。由文献14 知,此时PSL（2 ）含阶分别为2（2+1和烟台大学学报（自然科学与工程版）极小非交换单群共有以下五类群：2(2-1)的偶数阶非幂零真子群,它们的共轭类长2(29+1)2(2 1)29-(2+1)。由假设,2 -(2-1)+2 -(2+1)=2221,得q=2,此时PSLz（4)=PSL(5)的偶数阶非幂零真子群的个数恰等于2 1。(3)如果M=PSLz（3）,其中q为奇素数。由文献14 知,此时PSLz（3）的极大子群A4为偶数3(324-1)2阶非幂零真子群，它的共轭类长等于1281921,与假设矛盾。（4）如果M=PSL，（3），由文献14知，PSL（3)的极大子群S4为偶数阶非幂零真子群，它的共轭类长等于.24:33:1312(5）如果M=S.（2 ）,其中q为奇素数。由文献15 知,此时S（2）的Sylow2-子群的正规化子阶为2 2(2-1），它是S（2 ）的偶数阶非幂零真子群且为极大子群，它的共轭类长等于(2+1)2(2-1)=2+165 21,亦与假设矛224(24-1)盾。由上述讨论,得M/Q(M)=PSL(5)=As此时M/（M)恰含2 1个偶数阶非幂零真子群且它们恰为M/(M)的2 1个极大子群,从而M恰含2 1个偶数阶非幂零真子群且它们恰为M的2 1个极大子群。故由假设，得M=G。于是G/(G)=As，且G的2 1 个极大子群恰为它的2 1个偶数阶非幂零真子群，从而G的每个极大子群均p(p+1)28,与假2第37 卷21,与假设矛盾。为极小非幂零群。设H,K,L为C的极大子群，分别满足：H/(G)=A4,K/Q(G)=S3,L/Q(G)=Dio。由文献16知K=K,K 2,其中K,为K的Sylow3-子群，K,为K的Sylow2-子群且K,循环。L=Ls L2,其中L，为L的Sylow5-子群，L，为L的Sylow2-子群且L,循环。因为(G)KnL,故(G)=1或为循环2-群。如果 (G)=1,则 G=As。如果(G)为循环2-群,令I(G)I=2,其中l。如果2,因为K,/Q(G)=Z,且 K,循环,则G的Sylow2-子群中含有8 阶元。但是，因为H/Q(G)=A4 且H为极小非幂零群,则由文献16 第IV章定理4.2,知H=H,H,其中H,是H的Sy-low2-子群,H,是H的Sylow3-子群，且exp（H,）4。注意H,也是G的Sylow2-子群，说明G的Sylow2-子群中不含8 阶元,矛盾。故I(G)I=2,且由N/C-定理易得(G)=Z(G)=Z2。故 G=SL,(5)。第2 期3定理2 的证明证明因为G非可解,则存在MG使得M为内可解群,从而M/(M)为极小非交换单群。由假设知M/(M)的非次正规的偶数阶非幂零真子群的个数不超过2 1,又M/(M)的每个偶数阶非幂零真子群皆非次正规,于是M/(M)的偶数阶非幂零真子群的个数不超过2 1。因为M/(M）是非交换单群且(M)幂零,则 M的每个偶数阶非幂零真子群皆非次正规，于是由假设知M的偶数阶非幂零真子群的个数不超过2 1。从而由定理1得M=A,或 SL(5)。若 MG,因为M 的非次正规的偶数阶非幂零真子群的个数恰等于G的非次正规的偶数阶非幂零真子群的个数,说明G的每个偶数阶非幂零极大子群皆正规于G,于是由引理2 知G可解,矛盾。故G=M=A,或 SL2(5)。参考文献：1 FROBINSON D J S.Infinite soluble groups M/ACourse in the Theory of Groups.New York:Springer,1996:450-478.2ROSE J S.On finite insoluble groups with nilpotent max-imal subgroups J.Journal of Algebra,1977,48(1):182-196.3 SSHI J T,ZHANG C.Finite groups with given quantitativenon-nilpotent subgroups J.Communications in 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Jiangtao,LIU Wenjing(School of Mathematics and Information Sciences,Yantai University,Yantai 264005,China)Abstract:As a further study of the influence of quantitative property of special subgroups on the solvability of finitegroups,we prove that if a non-solvable group G has at most 21 non-subnormal non-nilpotent subgroups of even or-der,G must be isomorphic to the alternating group As or the special linear group SL,(5).Keywords:even order;non-nilpotent proper subgroup;solvable group;non-solvable group(责任编辑李春梅)