证明三角形的五心性质.doc

向量和三角形的五心
一、前言：
在本校自然资优班的一次数学课堂中，笔者讲到以下的性质：
在中，若点为的重心，则，其中点为任一点。
下课后，有位许同学便到办公室提出以下的问题：
（1）在中，点为的重心，可得到的结果；那么反过来， 若有一点，满足，是否保证点为的重心呢？
（2）在中，另外的四心，即内心、垂心、外心、傍心，是否也有类似充要条件的性质呢？
当时笔者告诉许同学，重心、内心、傍心有类似性质，其中重心的性质是充要条件没错；至于内心、傍心的性质是否为充要，还须再证明看看；而垂心、外心的向量充要性质老师还没看过，容老师再思考一些时间。
接到许同学的问题后，笔者便与刘国莉老师一起讨论，经过仔细探讨之后，我们得到以下的结果：
1. 重心向量性质的充要条件与证明。
2. 内心向量性质的充要条件与证明。
3. 傍心向量性质的充要条件与证明。
4. 外心向量性质的充要条件与证明。
5. 垂心向量性质的充要条件与证明。

二、重心的向量性质：
我们将三角形重心与向量性质的充要条件写成定理1如下：
定理1：如图（一），在中，则点为的重心的充要条件为（其中点为任一点）
图（一）
证明：设点为的重心，延长交于点，则，。因此，。
设点为任一点， 。
另一方面，已知，其中点为任一点，令代入得。延长交于点，设，共线，，得。因此，，故为边上的中线。同理可证：延长交于点，则为边上的中线，故点为的重心。

三、内心的向量性质：
我们先证明三角形的内分比性质的充要条件，再进一步证明三角形内心与向量性质的充要条件，分别写成性质1及定理2如下：
性质1：
图（二）
如图（二），在中，点为上的一点，则为的角平分线的充要条件为
证明：
证明省略。
图（三）
如图（三），设中，，，，因，设，，为正数。作交的延长线于点，则。可知，又，得为的角平分线。

定理2：如图（四），在中，点为任一点，则点为的内心的充要条件为
图（四）
证明：已知点为的内心，延长交于点，则， 。因此， 。
设点为任一点，
。
已知，其中点为任一点，可取点等于点代入，得。
延长交于点，设 ，因共线。，由性质1可知：为的角平分线。同理，可证为的角平分线，因此点为的内心。

四、傍心的向量性质：
我们先证明三角形的外分比性质的充要条件，再进一步证明三角形傍心与向量性质的充要条件，分别写成性质2及定理3如下：

性质2：
图（五）
如图（五），在中，则为的外角平分线（点在的延长线上）的充要条件为。
证明：
已知为的外角平分线，作平行交于点；又平行，，即得。由平行可得。
已知，作交于点， 。，。因此为的外角平分线。

定理3：如图六），在中，点为任一点，则
（1）点为所对之傍心的充要条件为。
（2）点为所对之傍心的充要条件为
图（六）
（3）点为所对之傍心的充要条件为
证明：只证明（1），而（2）与（3）同理，故省略。如图（六），点为，所对之傍心。过点作平行分别交、的延长线于、。由性质1，可设，，又且，由。所以 。
设为任一点， 。
已知，令点为点代入，得。
设交于点，可设，因共线 。，由性质1知：为的内角平分线。
另一方面，令点为点代入，得，，。又为的内角平分线；因此，。，由性质2可知：为的外角平分线。同理可证：为的外角平分线。故为中所对之傍心。

五、外心的向量性质：
我们将三角形外心与向量性质的充要条件写成定理4如下：

定理4：如图（七），在中，点为任一
图（七）
点，则点为的外心的充要条件为，（其中表的面积）
证明：如图（七），已知点为的外心，，，。设于点，于点，则。同理，。
设 -------（＊），由方程组（＊）可得。由海龙公式，其中，可知。
由方程组（＊）可得，。所以 。
设平面上任一点， 。
已得到，利用面积公式，及余弦定理、、代入上式，即可得。

图（八）
已知，点为平面上任一点，令点为点代入，得。如图（八），设点为中点，，。因此
。
所以，直线为的中垂线。同理可证为的中垂线。故点为的外心。
六、垂心的向量性质：
我们将三角形垂心与向量性质的充要条件写成定理5如下：

定理5：如图（九），在中，点为任一点，则点为的垂心的充要条件为（其中表的面积）
图（九）
证明：如图（九），中，，，。于点，于点，点为的垂心。则 ，，；因此， 。
设 ------（＊＊）。由方程组（＊＊）可得。，。
设平面上任一点，
接者，将面积公式，及余弦定理、、代入，即可得。
如图（九），已知，点为任一点。令点为点代入，得。。因此，直线垂直。同理可证，直线垂直，故点为的垂心。
七、结论：
我们在本文的探讨研究中，发现学生有时会提出看似平凡而却容易被遗漏的问题，而这些问题在被提出后，往往是令人觉得深思的问题。平常在教学过程中，看到三角形的重心，便自然想到向量的性质的口诀，甚至很少特别提出这是三角形重心的充要条件；内心、傍心亦复如是。匆匆岁月，经过学生提问，才激励我们将三角形五心与向量性质的充要条件，作进一步的整理，并完成五心与向量性质充要条件的证明，实在是感恩学生的提问与智慧。
从探讨中我们深深感到教学相长的真实，学生的提问有时会激发老师另ㄧ层的深入思考，难怪古人说：「有天才学生，没有天才老师。」因此，在此提出，千万不可忽视学生的任何一个问题，好好去思考，一方面可为学生解决问题；另ㄧ方面，可以深入自己的思考视野。虽然内心、傍心、外心、垂心的向量性质的充要条件很烦杂；但可以不必背，而可以纯欣赏即可。可见数学是千变万化，实在美不可言喻。