石墨烯电子的能带和狄拉克方程.doc

石墨烯电子能带之数理演绎 （2015年2月20日）

（为苦研物理学理论的探路者提供数理基础的参考）

作者： 北京东之星应用物理研究所

伍 勇 ， 贺 宁（计算机软件工程师）

1. 石墨烯晶格的基矢和倒格子基矢

图1中
（1）

这里=1.42是C-C最近邻原子间距，即正六边形单胞的边长（晶格常数）。

由正格子基矢（1）可计算出倒格子基矢（2）：
（2）

由此计算图2第一布里渊区的两个狄拉克(Dirac)点，的坐标是：

（3）

下面能带计算表明只有第一布里渊区的六个顶点在费米面上，称费米点，又称Dirac点或()点

2. 石墨电子紧束缚近似二次量子化形式的哈密顿量
（4）

上式还可表为矩阵形式：

模型不考虑电子自旋，表示只对最近邻格点的电子跃迁求和，是单电子2pz轨道能量

石墨晶格是由两类几何环境彼此不等价的碳原子A，B构成，任意选定一个格点位矢是的A原子为参考原子，环绕它的是三个最近邻B类原子,和，如图3.
（）是位于（）的电子的产生（消灭）算符，
（4）中的对算符表示的物理过程描述被在处消灭一个电子后又在由产生一个电子，此过程等同于电子由跃迁到最近邻，跃迁能=2.8eV。
考虑电子算符的傅里叶变换:
（5）

这里N是晶格原胞数。跃迁发生在A，B两个不等价子晶格之间，A，B两原子相对位矢(图3)：

（6)

将（5），（6）代入（4），将哈密顿量傅里叶展开，先考虑跃迁项

利用公式：

哈密顿跃迁项化为：
(7)

类似计算哈密顿的原子位能项，可得

(8)

由(7）（8）代入(4),得到动量表象的紧束缚模型二次量子化哈密顿是

(9)

3求解薛定谔方程和能量本征值
石墨烯是单层2维晶体，碳原子的，，，轨道通过 轨道杂化形成共面键，而电子形成垂直于共价平面之上的离域大键。象铺垫的刚性平面之上自由流动的电子气，电子参与石墨烯的一切外在物理过程和化学反应，决定了石墨烯的电子结构和性质。

根据电子薛定谔定态方程
(10)

石墨烯一个原胞内包含两个不等价原子A，B，其2Pz电子态基矢分别选取为：
，

这里 是粒子真空态。

（9）表达的紧束缚哈密顿可以写为矩阵形式：

(11)

设系统的电子态矢量（波函数）为：

代入薛定谔定态方程（10）有

(12)

由矩阵表达式（11）及方程 (12）有非平凡解的条件得到久期方程如下：

(13)

下面先计算哈密顿矩阵（11）的矩阵元，将（9）代入（11），

同样计算方法可得
，

将以上结果代入（13）得：

(14)

对应石墨烯是理想结构的情况，可以选取原子轨道能级 作为 能带能量的参考点。展开（14），解得石墨烯的能带：

其中

经过初等三角函数和差运算后，得到石墨烯能带，即 电子的色散关系:

(15)

作者将（15）尝试用Mathematica软件作图，如图4所示，-号对应较低轨道能谱，+号对应较高的反键轨道能谱.。
作者曾在参考文献（2）（3）粗略计算过石墨烯原子片的电子态密度（Density of states (DOS)）,如图5所见，EF以下的价带（）完全被电子占据，近满带，而EF以上导带（）空空荡荡，视为空穴占据，近空带，导带与价带是连通的，在狄拉克点附近DOS接近零。
对于零温，由（15）描述的能带， 带与带关于E=EF=0完全对称，二者在布里渊区高度对称的六个K点相交，费米面也刚好穿过，或说费米面在这里退缩为共面的六个点，位于价带导带之间，成为石墨烯导带和价带的对称面，所以石墨烯是零带隙的半导体，因而有卓越的导电性。
在K点附近，图（4）所描绘的能量与动量的色散关系是线性的，这直线在K点绕布里渊区(B.Z)平面的垂线旋转一周，形成对顶的双圆锥，称狄拉克锥。这种独特的能带结构，决定了石墨烯电子的无质量狄拉克费米子的属性，不能再用传统薛定谔方程描述，必须建立石墨烯的狄拉克方程，关于石墨烯2维狄拉克方程的数理演绎请见我们将撰写上传的后续文档。
图6是用MATLAB软件制作的能带图，它在复制到Word过程中，在狄拉克锥尖端细节丢失较多,但海浪与彩虹交映齐飞的景象，可能更显示石墨烯的独特不凡，我们愿意将它呈现在这篇文档里。

参考文献
1). A. H. Castro Neto, F. Guinea et al.: The electronic properties of graphene, 14 January 2009
2). 伍 勇：碱金属在石墨表面化学吸附的EHT研究，复旦学报（自然科学版），No.2 /2000
3).伍 勇：Theoretical Study on Electronic Properties of Potassium Adsorption on Graphite Surface,
发光学报，No.1 /2004.
4)伍 勇，贺 宁：石墨烯能带旋转图，石墨烯能带旋转图b, 视频剪辑 (.avi) 2015‎年‎2‎月‎22‎日