262用函数观点看一元二次方程同步测控优化训练含答案.doc

26.2 用函数观点看一元二次方程一、课前预习 (5分钟训练)1.二次函数y=x2+4x3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，则ABC的面积为( )A6 B4 C3 D12当a0，=b24ac_0时，二次函数y=ax2+bx+c的值恒为正；当a_0，= b24ac_0时，二次函数y=ax2+bx+c的值恒为负3已知一抛物线与x轴的交点为A（1，0）、B（m，0），且过第四象限内的点C（1，n），而m+n=1，mn=12，则此抛物线关系式是_二、课中强化(10分钟训练)1抛物线y=ax2+bx+c（a0）和直线y=kx+d（k0）有两个交点的条件是_，只有一个交点的条件是_，没有交点的条件是_2抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），x1x2，则不等式ax2+bx+c0的解集为_，不等式ax2+bx+c0，x24x30)的图象与x轴相交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且A，B两点间的距离为d，例如，通过研究其中一个函数y=x25x+6及图象(如图2623)，可得出表中第2行的相关数据y=x2+px+qpqx1x2dy=x25x+6561231y=x2xy=x2+x2223(1)在表内的空格中填上正确的数；(2)根据上述表内d与的值，猜想它们之间有什么关系？再举一个符合条件的二次函数，验证你的猜想；(3)对于函数y=x2+px+q(p,q为常数，=p24q0)证明你的猜想. 图262310已知m,n是方程x26x+5=0的两个实数根，且mn，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A(m,0)、B(0,n)(1)求这个抛物线的解析式；(2)设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和BCD的面积；注：抛物线y=ax2+bx+c(a0)的顶点坐标为()(3)P是线段OC上的一点，过点P作PHx轴，与抛物线交于H点，若直线BC把PCH分成面积之比为23的两部分，请求出P点的坐标 图2624参考答案一、课前预习 (5分钟训练)1.二次函数y=x2+4x3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，则ABC的面积为( )A6 B4 C3 D1解析：解方程x2+4x3=0,得A、B为（1，0）、（3，0），当x=0时， y= 3，所以C为（0，3），所以ABC的面积为3(31)=3.答案：C2当a0，=b24ac_0时，二次函数y=ax2+bx+c的值恒为正；当a_0，= b24ac_0时，二次函数y=ax2+bx+c的值恒为负解析：当a0时，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，若与x轴无交点，则其值恒为正；当a0时，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，若与x轴无交点，则其值恒为负答案： 3已知一抛物线与x轴的交点为A（1，0）、B（m，0），且过第四象限内的点C（1，n），而m+n=1，mn=12，则此抛物线关系式是_解析：由题意，得m、n为方程x2+x12=0的两根，解得m=4，n=3或m=3，n=4又(1，n)在第四象限，n0；（bk）24a(cd)=0；（bk）24a(cd)02抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），x1x2，则不等式ax2+bx+c0的解集为_，不等式ax2+bx+c0，抛物线在x轴下方的范围是yx2或xx1；x1xx2或xx1 x1xx23利用图象求下列一元二次方程的近似值.(1)x2+x10=0; (2)2x23x+1=0解析：作图象要尽量精确一些，与x轴的交点的横坐标即为方程的近似值解：略4已知抛物线y=x2+(n3)x+n+1经过坐标原点O（1）求这条抛物线的顶点P的坐标；（2）设这条抛物线与x轴的另一个交点为A，求以直线PA为图象的一次函数的解析式解:(1)抛物线y=x2+(n3)x+n+1经过原点，n+1=0 n=1得y=x24x，即y=x24x=(x2)24抛物线的顶点P的坐标为（2，4）（2）根据题意，得点A的坐标为（4，0）设所求的一次函数解析式为y=kx+b根据题意，得解得所求的一次函数解析式为y=2x85已知抛物线y=x2mx+与抛物线y=x2+mxm2在平面直角坐标系中的位置如图2621,其中一条与x轴交于A、B两点图2621（1）试判断哪一条抛物线经过A、B两点？并说明理由（2）若A、B两点到原点的距离OA、OB满足，求经过A、B两点的抛物线的关系式解析：(1)经过A、B两点的抛物线的：（2）可根据一元二次方程根与系数关系来解.解法一：（1）y=x2mx+,中1=m22m2=m2抛物线不过原点，m0.m20.10，抛物线y=x2mx+不经过A、B点抛物线yx2+mxm2与y轴交于（0，m2），m20，解得m1.又m1,得m1.5如图2622，抛物线y=(x+1)22，图2622（1）设此抛物线与x轴交点为A、B（A在B的左边），请你利用图象求出A、B两点的坐标；（2）有一条直线y=x1，试利用图象法求出该直线与抛物线的交点坐标；（3）P是抛物线上的一个动点，问是否存在一点P，使SABP=2?若存在,则有几个这样的点P?并写出它们的坐标解析：（1）读图易得;（2）画图精确度要高一点;（3）设P点坐标为（a，b）,则ABP中AB边上的高为b，而|b|=1,代入抛物线解析式可求得P点坐标解：（1）A（3,0），B（1,0）（2）交点坐标为（1,0）和（1，2）（3）设P点坐标为（a，b）,则ABP中，AB边上的高为b，又SABP=2,从而得|b|=1.把b=1,b=1分别代入抛物线解析式可求得P点坐标分别为P(1,1);P(1,1);P(1,1);P(1,1)6已知抛物线y=2x2和直线y=ax+5（1）求证：抛物线与直线一定有两个不同的交点；（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线与直线的两个交点，点P是线段AB的中点，且点P的横坐标为，试用含a的代数式表示点P的纵坐标；(3)设A,B两点的距离d=x1x2,试用含a的代数式表示d.解：（1）将y=ax+5代入y=2x2,消去y得2x2ax5=0,=(a)242(5)=a2+400，方程有两个不相等的实数根不论a取何值，抛物线与直线一定有两个不同的交点（2）x1、x2是方程2x2ax5=0的两个根,x1+x2=,x1x2=点P的纵坐标为(x1+x2)+5=+5=+5（3）x1+x2=,x1x2=x1x2=.d=.7画出函数y=x24x3的图象，根据图象回答下列问题：（1）图象与x轴交点的坐标是什么？（2）方程x24x3=0的解是什么？（3）不等式x24x30，x24x30的解为x4.6；不等式x24x30的解为0.65x0)的图象与x轴相交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且A，B两点间的距离为d，例如，通过研究其中一个函数y=x25x+6及图象(如图2623)，可得出表中第2行的相关数据图2623y=x2+px+qpqx1x2dy=x25x+6561231y=x2xy=x2+x2223(1)在表内的空格中填上正确的数；(2)根据上述表内d与的值，猜想它们之间有什么关系？再举一个符合条件的二次函数，验证你的猜想；(3)对于函数y=x2+px+q(p,q为常数，=p24q0)证明你的猜想.解：(1)第二行q=0,x1=0；d=；第三行p=1,=9，x2=1；(2)猜想：d2=.例如：y=x2x2中,p=1,q=2,=9;由x2x2=0得x1=2，x2=1,d=3,d2=9,d2=(3)证明:令y=0，得x2+px+q=0，0，设x2+px+q=0的两根为x1,x2.则x1+x2=p,x1x2=qd2=(x1x2)2=(x1x2)2=(x1+x2)24x1x2=(p)24q=p24q=.10已知m,n是方程x26x+5=0的两个实数根，且mn，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A(m,0)、B(0,n)(1)求这个抛物线的解析式；(2)设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和BCD的面积；注：抛物线y=ax2+bx+c(a0)的顶点坐标为()(3)P是线段OC上的一点，过点P作PHx轴，与抛物线交于H点，若直线BC把PCH分成面积之比为23的两部分，请求出P点的坐标图2624解:（1）解方程x26x+5=0，得x1=5,x2=1.由mn，m=1,n=5,所以点A、B的坐标分别为A（1，0）,B（0，5）将A（1，0）,B（0，5）的坐标分别代入y=x2+bx+c,得解这个方程组得所以，抛物线的解析式为y=x24x+5.（2）由y=x24x+5，令y=0，得x24x+5=0，解这个方程得x1=5,x2=1,所以C点的坐标为（5，0）由顶点坐标公式计算得点D（2，9）过D作x轴的垂线交x轴于M则SDMC=9(52)=，S梯形MDBO=2(9+5)=14，SBOC=55=，所以，SBCD=S梯形MDBO+SDMCSBOC=14+=15（3）设P点的坐标为（a,0），因为线段BC过B、C两点，所以BC所在的直线方程为y=x+5那么，PH与直线BC的交点坐标为E(a,a+5)，PH与抛物线y=x24x+5的交点坐标为H(a,a24a+5)由题意，得EH=EP，即(a24a+5)(a+5)=(a+5).解这个方程，得a=或a=5（舍去）.EH=EP，即(a24a+5)(a+5)=(a+5)，解这个方程,得a=或a=5（舍去），P点的坐标为(,0)或(,0)