007解斜三角形.doc

第 7 课时 课题：解斜三角形

【教学目标】
（1）掌握正余弦定理的应用；
（2）掌握解三角形的题型。
【教学重难点】理解并熟练掌握正余弦定理、应用题型
【知识点归纳】
一、正弦定理
1、三角形面积公式：
S=absinC=bcsinA=acsinB
2、正弦定理
===2R（R为△ABC的外接圆的直径）
3、 正弦定理的几种常见变形应用
（1）asinB=bsinA，bsinC=csinB，asinC=csinA；
（2）a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；
（3）sinA=，sinB=，sinC=；
（4）a：b：c=sinA：sinB：sinC

【例题精讲】
【例1】已知中，，求.

【练习】已知在中，求（结果保留两位小数）.

【例2】已知中，,外接圆半径,求

【练习】已知中，,,求

【基础练习】
1．在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，则b= 。

2．已知在△ABC中，c=10，A=45°，C=30°，求a、b和B。

3．在△ABC中，已知a=，b=，B=45°，求A，C和c的长。

二、余弦定理
1、a=b+c﹣2bccosA， b=c+a﹣2accosB， c=a+b﹣2abcosC
2、 余弦定理的变形公式
cosA=，cosB=，cosC=
【例题精讲】
【例3】已知在中，，求

【练习】已知中，,且最大边长和最小边长恰好是方程的两根，求第三边.

【例4】在中，，三条边长，求实数的取值范围？

【练习】钝角三角形的三边分别是，且最大内角不超过，求实数的取值范围？

【例5】已知中，，边BC 上的中线，求边长

【练习】（1）设P是正方形ABCD内一点，点P到顶点A、B、C的距离分别是求正方形的面积？

（2）设P是正方形ABCD内一点，求的大小？

【基础练习】
1、在△ABC中，a=b+c+bc，则A= 。

2、在△ABC中，已知：a=2，b=2，C=15°，求角B和边c。

3、已知△ABC中，a：b：c=2：：（+1），求△ABC各角的弧度数。

三、解三角形在实际问题中的应用

1、 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：

2、 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：

3、 三角形的面积公式总结：

4、 三角形内切圆的半径：

5、 三角形中的射影定理：

6、 两内角与其正弦值:

7、 三内角与三角函数值得关系：

【例题精讲】
【例6】已知是内的一点，它到两边的距离分别是2和11，求OQ的长？

【练习】（1）在中，已知分别是内角A，B,C所对的三边；
求证：.

（2） 在中，已知和，求（用表示）.

【例7】在三角形ABC中，若,试判断三角形的形状，并说明理由？

【练习】判断下列三角形的形状：
（1）

（2）；

（3）；

（4).

【例8】已知在中，，，BC=1，试证明：过边BC上的任意一点D，可以作出以D为顶点的内接正三角形（三顶点分别在三边上的正三角形），并求内接正三角形的周长的最小值？

【练习】（1）已知中，，求的最大值?

(2)已知中，，求的周长的最小值及面积的最大值？

【课后练习1】
1、隔河看两地A与B但不能到达，在岸边选取相距千米C、D两点，测得∠ACB=75°，
∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（A、B、C、D在同一平面内），求两目标A、B
之间的距离。

2、在山脚测得山顶仰角∠CAB=45°，沿坡度为30°的斜坡走1 000m至D点，又测得山顶
仰角∠BDE=75°，求山高BC。

3、在海岸处，发现北偏东45°方向，距离（﹣1）海里的B处有一艘走私船，在A处
北偏西75°方向，距离A 2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船。
此时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方
向能最快追上走私船？

【课后练习2】
1．在△ABC中，3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1，求C。

2．已知，在△ABC中，满足acosA=bcosB，试判定△ABC的形状。

3．要使a，a+1，a+2为钝角三角形的三边，求a的取值范围。

【拓展讲解】
注意：
正弦定理可以解决的两类问题：
1．已知两角和任一边，求其他的角和边
2．已知两边和其中一边的对角，求另一边和另一边的对角

余弦定理可以解决的两类问题
1．已知三边，求三个角
2．已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角

求三角形外接圆半径的常用方法
1．直角三角形
2．正弦定理

解三角形常用关系式
1．三角形内角和等于180°
2．三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
3．三角形中大边对大角，小边对小角
4．两角和与差的三角比值在三角形中的变式
sin（A+B）=sinC，cos（A+B）=﹣cosC，tan（A+B）=﹣tanC
sin=cos，cos=sin，tan=cot

【练习一】
1．在△ABC中，已知a=，b=4，A=30°，则B= 。
2．在△ABC中，c=6，b=，A=60°，则S= 。
3．在△ABC中，已知AB=3，BC=5，AC=7，则B= 。
4．在△ABC中，已知BC=12，A=60°，B=45°，则AC= 。
5．在△ABC中，已知a=2，c=2，C=30°，则S= 。
6．在△ABC中，已知b=3，c=3，B=30°，则a= 。
7．已知下列条件解三角形，其中有唯一解的是 （ ）
（A）a=20，b=28，A=40°
（B）a=18，b=20，A=150°
（C）b=20，c=34，B=70°
（D）b=60，c=50，B=45°
8． 在△ABC中，若==，则△ABC是 （ ）
A直角三角形 （B）等边三角形 （C）钝角三角形 （D）等腰直角三角形
9． 解下列三角形：
（1）在△ABC中，a=2，A=30°，B=45°，求b，S；
（2）在△ABC中，a=2，B=45°，S=3+，求A，C，b，c
10．如图所示，在△ABC中，AC=2，BC=1，cosC=
（1）求AB的值； （2）求sin（2A+C）的值

11．在△ABC中，求证：++=2

12． 在某点B处测得古塔AE的顶端A的仰角为，延BE方向前进30 m到达点C，在C处测得顶端A的仰角为2，继续前进10 m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小及塔高AE

【知识点归纳】
1、三角形面积公式

2、正弦定理及其扩充

3、余弦定理

【例题讲解】
例1、设中，，，则的值是 （ ）A． B．
C． D． 或
例2、在中，已知，求的大小。

例3、在中，，外接圆的半径，求的周长。
例4、在中，已知，，求a与c的长。
例5 、根据下列条件，确定三角形的形状:
（1） ；
（2）且；
（3）；
（4）且。
例6 、在中，已知，求证: 为直角三角形。

例7 、在与水平方向成角的斜坡上有一座塔AD，从B、C测得塔的张角分别为与，若，求塔高AD。

例8、如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形AOB． 小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD． 已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟． 若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长(精确到1米)。

v 回顾反思
1、 主要方法：
① 正确区分两个定理的不同作用，围绕三角形面积公式及三角形外接圆直径展开三角形问题的求解；
② 两个定理可以实现将“边、角混合”的等式转化成“边或角的单一”等式；
③ 余弦定理中，涉及到四个量，利用方程思想，知道其中的任意三个量可求出第四个量；
④ 余弦定理还有很多地方的应用，如立体几何中求球面距离．
2、 易错、易漏点:
① 三角形的内角和定理检验增根；
② 特别注意一些有关的术语，如坡度、仰角、俯角、方位角． 其中以特定基准方向为起点(一般为北方)，依顺时针方式旋转至指示方向所在位置，两者所夹的角度称之为方位角，方位角的取值范围是．
课后练习
1、在锐角三角形中，若，，则t的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
2、在中，，，，则的范围是 （ ）
A． B．
C． D．
3、在中．
（1） ，则___________；
（2），则的取值范围是_______

4、在中．
（1）若，则的形状为_________；
（2）若，则的形状为________。

5、两条笔直的公路相交成角，两辆汽车P、Q同时从角的顶点出发，分别沿两条公路行驶，已知汽车P的速度是每小时48千米． 若要使这两辆汽车在出发1小时后相距43千米，那么汽车Q的行驶速度应为________千米/小时。

6、在中，已知，求此三角形最大角的大小。

7、在中，已知，外接圆半径R为，求边c。

8、已知边长为a的正方形ABCD，点P、Q分别在BC、CD边上，且，求四边形APCQ面积的最大值。

9、如图，某园林单位准备绿化一块直径为的半圆形空地，外的地方种草，的内接正方形为一水池，其余的地方种花，若，设的面积为，正方形的面积为。
（1） 用表示、； （2）当a固定，变化时，求取最小值时的角。

【附加题】
1、等腰三角形的顶角的正弦为，则底角的正弦大小为___________．
2、在中，若，则的取值范围是___________．
3、锐角三角形中，若，则c的取值范围是___________．
4、在中，若，确定的形状。

5、在中，，，内有一点D，使，且．
问当为何值时，与的面积之差有最大值? 求出这个最大值。

6、在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，求角B的取值范围。