平面与平面的平行关系教学设计.doc

9.2.4 平面与平面的平行关系
【教学目标】
1．掌握平面与平面的位置关系的分类．掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理，并会简单应用．
2．通过直观演示，提高学生的空间想象能力．
3．通过动手探究，体验数学学习的快乐，激发学习热情，初步培养创新意识．
【教学重点】
平面与平面平行的判定定理和性质定理．
【教学难点】
平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用．
【教学方法】
主要采用讲练结合法．通过动手实践，引导学生“实践—观察—猜想—归纳”，得出平面与平面的位置关系的判定定理和性质定理．利用文字语言、符号语言和图形语言的相互转化，深化对定理的理解，通过例题，使学生明确定理应用的关键，培养学生将立体问题转化为平面问题的解题思想．
【教学过程】
环节
教学内容
师生互动
设计意图
导
入
学生观察长方体，感受平面与平面的位置关系．并根据公共点的情况，对平面与平面的位置关系进行分类．
C¢
D¢

D
C
B
B¢
A¢
A

师：观察如图所示的长方体 ABCD-A¢B¢C¢D¢，下列各组中的两个平面有几个公共点：
(1) 平面A¢B¢C¢D¢与平面ABCD；
(2) 平面ABB¢A¢ 与平面ABCD．
学生观察并回答．
由实例感知上升到理性分类．

新
课

新
课

新
课

新
课

1. 平面与平面的位置关系
如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行．
如果两个平面有一个公共点，那么由基本性质2可知，它们相交于经过这点的一条直线，这时，我们就说这两个平面相交．
平面与平面的位置关系如下表所示：
位置关系
两平面平行
两平面相交
公 共 点
没有公共点
有一条公共直线
符号表示
a // b
a ∩ b＝a
图形表示
a
b

a
a

b

问题1 如图，在平面 a 内，作两条相交直线 a，b，并且 a ∩ b＝P，将直线 a，b 同时平移出平面a 到直线a¢，b¢ 的位置，a¢ ∩ b¢ ＝P¢ ，相交直线a¢，b¢ 所确定的平面记为平面 b．平面 a 与平面 b 的位置关系是什么？
a
b
P
P¢
b¢

a¢
b
a

2.平面与平面平行的判定定理
判定定理 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
用符号表示为：
若 aÌb，bÌb，a∩b＝P，a//a，b //a，则b//a．
利用平面与平面平行的判定定理，我们可以得到：
推论 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．
用符号表示为：
如果a Ì a，b Ì a，a ∩ b＝P，a¢ Ì b，b¢ Ì b，a // a¢，b // b¢，那么a // b ．

2. 平面与平面平行的性质定理
问题2 如图，a // b，g ∩a＝a，g ∩b＝b，那么直线a，b的位置关系是什么？
b
a
g

a
b

性质定理 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行．
举例：观察长方体的教室，天花板面与地面是平行的．一个墙面分别与天花板面、地面相交所得到的两条直线是平行的．

例1 已知空间四边形PABC，连接PB，AC，且D，E，F分别是棱PA，PB，PC的中点(如图)．
求证：平面 DEF // 平面 ABC．
B
A
E
C
D
F
P

证明 在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，所以
DE // AB．
又因为DE Ë平面ABC，所以
DE // 平面ABC．
同理EF // 平面ABC．
又因为DE∩EF＝E，AB∩BC＝B，所以
平面DEF//平面ABC．

例2 已知平面a //平面b，AB和CD为夹在a，b 间的平行线段(如图)．
求证：AB＝CD（即夹在两个平行平面间的两条平行线段相等）．
a
b

D
A
B
C

证明：连接AD，BC．
因为AB//CD，所以AB和CD确定平面AC．
又因为
平面AC∩a＝AD，平面AC∩b＝BC，a // b，
所以 AD//BC，从而ABCD是平行四边形．

因此AB＝CD．

例3 已知平面a //平面b //平面g，且两条直线l，m分别与平面a，b，g 相交于点A，B，C和点D，E，F(如图)．
求证：＝．
a
b
A
C
g
F
B
D
E
G

证明 连接DC，与平面b相交于点G，则平面FCD与平面a，b分别相交于直线GE，CF．
因为a // b ，b // g，所以
BG //AD，GE //CF．
因此＝，＝，所以
＝ ．
本例结果通常可叙述为：两条相交直线被三个平行平面所截，截得的对应的线段成比例．

练习
1．判断下列命题的真假；
（1）如果两个平面不相交，那么它们就没有共公点；
（2）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
（3）如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
（4）已知两个平行平面中的一个平面内有一条直线，则在另一个平面内有且只有一条直线与已知直线平行；
（5）分别在两个平面内的两条直线平行．
（6）过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面平行；
（7）过平面外一条直线，有且只有一个平面与这个平面平行；
2．已知长方体 ABCD-A¢B¢C¢D¢ (如图)．
C¢
D¢
A
求证：平面 AB¢D¢ // 平面 BC¢D．
B¢
A¢

D
C

B

师：如果没有特别说明，一般我们说两个平面是指不重合的两个平面．
给出定义，并利用表格对比说明两种位置关系（见课件）．
学生理解并记忆．

师：画法．在画两个平行平面时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行线．

复习线面平行的判定定理．
师：直线a¢与平面a什么关系？b¢与平面a什么关系？
生：a¢// a，b¢// a．
师：由相交直线a¢与b′确定的平面b与平面a什么关系？
生：b // a，

教师边画图边强调定理中的关键词语：“平面内”“两条相交直线”．

师：a，b分别在两个平行平面a，b内，它们有没有公共点？
生：没有．
师：a，b都在平面 g 内吗？
生：在．
师：直线a，b的位置关系是什么？
生：平行．
师：由此可得到面面平行的性质定理．

师：你能举出类似的例子吗？
生：思考并举例．

教师画完空间四边形PABC，连接PB，AC后，问：图中有哪几个平面？
生：平面PAB，平面PBC，平面PAC，平面ABC．
连接D，E，F后，师再问：要证面DEF //面 ABC，怎么证？

师：已知AB//CD，要证AB＝CD．说明四边形ABCD是什么图形？
生：平行四边形．
师：要证ABCD是平行四边形，已知AB//CD，还要证什么？
生：AD//BC．
师：已知中还有什么条件？
生：a //b．
师：由平面a//b 要证AD//BC，用什么定理？

师：两条直线l，m一定共面吗？
生：不一定．
师：能不能连接A，D和B，E，来证明AD//BE？为什么？
生：不能．因为AD与BE可能是异面直线．
师：连接D，C后，除平面a，b，g 外，图中还有哪几个平面？
进一步分析如何应用平面与平面平行的性质定理．

学生抢答．教师点评．

教师简单点拨，学生自行解决，教师巡视并加以指导，同时请两名学生板演．
通过表格归纳，有利于学生将知识条理化，便于记忆．

从文字语言、图形语言和符号语言三方面加深对位置关系的理解．

采用直观操作和教师问题引导下的思辨论证，归纳出平面与平面平行的判定定理，比直接给出定理，更符合学生的特点，容易被学生接受．

利用文字语言、符号语言和图形语言的相互转化，有助于学生理解定理的本质，明确利用定理证明的关键．

教师为突破难点设计了几个问题，把主动权交给学生，使学生在自主探索中发现问题、解决问题．

通过实例的分析，加深对定理的理解，体会生活中处处有数学．

求证两平面平行，题目不必过难，重点在于理解面面平行的性质定理．
教师边画图边提问，帮助学生看明白图示，有助于培养学生将立体问题转化为平面问题的解题能力．

从要证的结论出发，教师用问题一步步引导学生分析证明思路．

从学生易犯的错误入手，分析连接DC的必要性．然后分析如何应用面面平行的性质定理？

　　通过练习可检验学生对本节课的掌握情况，以便于老师能针对学生薄弱或易错处强调总结．

再次巩固证面面平行的思路与步骤．
小
结
1. 平面与平面的位置关系的分类．
2. 平面与平面平行的判定和性质，并会简单应用定理．
师生合作．
深化理解，区别记忆．
作
业
教材P124 练习A组第2题，练习B组第3题．

巩固拓展．